拉普拉斯变换及其应用.ppt

第2章 拉普拉斯变换及其应用 n拉氏变换的概念 n拉氏变换的运算定理 n拉氏反变换 n应用拉氏变换求解微分方程 2.1 拉氏变换的概念 Laplace变换是求解线性常微分方程常用的一 种数学工具。与线性常微分方程的经典求解 方法相比，Laplace变换有如下两个显著的特 点： n只需一步运算就可以得到微分方程的通解 和特解。 n微分方程通过Laplace变换转化成含有s的 一代数方程，然后运用简单的代数法则就 可以得到代数方程在s域上的解，而只要再 作一次Laplace反变换就可以得到最终我们 所需的时域上的解。 式中的 s 被称为是LaplaceLaplace算子，它是一个复数变算子，它是一个复数变 量，即有量，即有 。 Laplace（拉氏）变换的定义 定义：已知有实函数，其LaplaceLaplace变换为：变换为： 这个平面就被 我们称为是S域 或复数域 条件是式中等号右边的积分存在(收敛)。 n由于 是一个定积分， 将在新 函数中消失。因此， 只取决于 ， 它是复变数 的函数。拉氏变换将原 来的实变量函数 转化为复变量函数 。 n拉氏变换是一种单值变换。 和 之 间具有一一对应的关系。通常称 为 原函数， 为象函数。 【例2-1】 求单位阶跃函数(Unit Step Function) 1(t)的象函数。 在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信 号，相当一个开关的闭合(或断开)。 在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义 式。 在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作 用信号。它的拉氏式由定义式有： 表2-1 常用函数的拉氏变换对照表 2.2 拉氏变换的运算定理 1.叠加定理 两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换 的代数和。即: 2.比例定理 K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。 即: 3.微分定理 在零初始条件下，即： 则： 上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的 阶导数的拉氏式等于其象函数乘以 。 4.积分定理 在零初始条件下，即： 则： 上式表明，在零初始条件下，原函数的 重积分的 拉氏式等于其象函数除以 5.延迟定理 当原函数 延迟 时间，成为 时，它的拉氏式为： 上式表明，当原函数 延迟 ，即成 时，相应的象函数 应乘 以因子 。 6.终值定理 上式表明原函数在 时的数值(稳态值)， 可以通过将象函数 乘以 后，再求 的极限值来求得。条件是当 和 时，等式两边各有极 限存在。 终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统 的稳态误差，求取系统输出量的稳态值等)有着很多的 应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算定理。 2.3 拉氏反变换 n由象函数求取原函数的运算称为拉氏反变 换(Inverse Laplace Transform)。拉氏反 变换常用下式表示： 拉氏变换和反变换是一一对应的，所以通常 可以通过查表来求取原函数。 例2-2 求 的象函数。 解：由比例定理可知： 通过查表可知： 再根据叠加定理，可求得 的象函数为： 例2-2 求 的原函数。 解：首先用部分分式展开法，将所给的象函数展开： 其中，A、B是待定系数，将上式进行通分后可得： 比较以上两式的分子，可得： 通过查表，可求得： 2.4 应用拉氏变换求解微分方程 S (t=0) + - R C + - UC 这是一个一阶电路，我们取 电容两端的电压为输出电压，设 开关S闭合前，电路处于零初始状 态，即： 在t=0时，开关S闭合，电路 接入直流电源Us。则根据KVL 定理，有： s 代入电路，可得到电路的 把和 微分方程： 现在，我们就来解这个微分方程 分离变量，有： 两边同时积分： 两边再同时取指数： 整理得：并令： 则有： 将初始条件：t=0时，c(0-)=0代入上式，可得： 所以最后求得该微分方程的解为： 现在对于上面的微分方程，我们有LaplaceLaplace变换再求变换再求 解一次。解一次。 由题可知：开关闭合瞬间的输入信号可视为阶跃信号，：开关闭合瞬间的输入信号可视为阶跃信号， 且当且当t=0t=0时，时，Uc(0+)=0Uc(0+)=0，所以上式有：所以上式有： 首先，利用首先，利用LaplaceLaplace变换中的微分定理，将微分方程变换中的微分定理，将微分方程 变换成如下形