高等数学上册习题答案胡志兴苏永美孟艳.doc

习题 1-1(A)1填空题(1)函数的定义域为;(2)函数的定义域为;(3)函数的定义域为;(4)函数的定义域为xN时，有，则：故举例：数列的极限为1， 而数列 无极限5设，证明：证明：由极限定义可知， 取则当nN时，则7求极限解：由于 由夹逼准则可得8设，证明：数列的极限存在，并求其极限证明：显然10求下列极限(1) ；解：(2) ；解：(3) ；解：(4) ；解：(5) ；解：(6) ；解：12设数列收敛，证明：中必有最大项或最小项证明：由数列收敛，则此数列有界，即则中必有最大项或最小项13设，且ab，证明：存在某正整数N，使得当nN时，有证明：由，存在某正整数N，使得当nN时，对，有取为无穷小，则16设证明：数列收敛，并求其极限证明：显然17设，证明：数列发散证明：数列有两个子数列：=0， ，而，数列发散数列发散习题1.3（P47）1. 答案：D解：例：在处没有定义但是有极限。2. 设（1） 作出函数的图形（2） 根据函数图形写出;（3） 极限存在么？解：（1）略（2） （3）因为，所以极限不存在3. 解：当时，函数的极限不存在。（不论它多么大），使得当时，有，故它的极限不存在。4. 解：5. 解：（1）当时，无穷小（2），当时，无穷大（3），当时，无穷大（4），当时，极限为0，无穷小（5），当时，极限为0，无穷小6. 设解：因为存在，则，则，7. 解：（1）（2）8. 证：因为，则，使得当时，有，则则9. 解：（1），使得当时，有,故（2），使得当时，有,故（3），使得当时，有故（4），使得当时，有，故（5），使得当时，有，故（6），使得当时，有，故10. 解：，使得当时，有，故11. 解：（1）A，故（2）C，故（3）A考虑a=0的情况，BCD错误。习题1.4（P54）1. 解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）因为有界，则，故（12）因为，则2. 解（1） 令，则（2） 令，则（3） 令，则（4） 令，则3. 解： 4. 解：则，故，5. 解：时，有极限，没有极限。当，没有极限， 不一定有极限（，）。6. 解：时，都没有极限。不一定有极限（例如：），不一定有极限（当时，时没有极限；当时，）。7. 解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）因为，8. 解；则且=，则，习题1-5(A)1. (1) D (2) B 2. (1) e-1/2 (2) e (3)3/4 (4) e2 (5)(-1)m-n (6) ex+13. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 4. 解： 5. (1) 错，无穷小是极限为零的变量，无穷大是其值无限增大的变量(2) 错(3) 正确(4) 正确(5) 错，反例见例3.8(6) 错，反例：(7) 错，6. 解： ，故它们是等价无穷小7. 解：，故是的高阶无穷小8. 解：，故与是同阶无穷小 ，故与是等价无穷小9. (1) 0，mn(3) (4) (5) (6) (B)10. (1) D (2) B (3) D11. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 12. 证明： 原极限不存在13. 解： 原式=114. 解：15. 证明：(1) 设t=arctanx，则(2) 16. 证明：(1) 因为，故有(2) 由有 所以，故有(3) 因为，所以 因为，所以，所以所以，故有习题1-6(A)1. (1) B (2) C (3) A (4) D2. (1) -1, 1 (2) kp3. (1) (2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) 4. (1) x=1是可去间断点，x=2是无穷间断点(2) x, |x|1f(x)= -x, |x|1 f(x)= , x=1 1, |x|1 x=1是跳跃间断点5. 解：由得： a=2， b=-16. 证明：设f(x)=ex-2-x, 因为 f(0)f(2)=-2(e2-4)0 由零点定理知，至少存在一点(0,2)使f()=0 即，方程ex-2= x在(0,2)内至少有一个实根7. 证明：设f(x)=x-2-sinx，因为 f(0)f(3)=-2(1-sin3)0 由零点定理知，至少存在一点(0,3)使f()=0 即，方程x=2+sinx至少有一个小于3的正根8. 证明：设F(x)=f(x)-f(a+x), 则有 F(0)=f(0)-f(a)=f(2a)-f(a)， F(a)=f(a)-f(2a)所以，F(0)F(a)=- f(a)-f(2a)20若F(0)F(a)=0，则F(0)=F(a)=0；若F(0)F(a)0，则由零点定理知，至少存在一点(0,a)使F()=0；综上，至少存在一点0,a使F()=0，即至少存在一点0,a使f()=f(a+)9. 解：设F(x)=(p+q)f(x)-pf(c)-qf(d)，则有 F(c)=qf(c)-qf(d), F(d)=pf(d)-pf(c) 所以，F(c)F(d)=-pqf(c)-f(d)20 若F(c)F(d)=0，则F(c)=F(d)=0； 若F(c)F(d) 0，则由零点定理知，至少存在一点(c,d)使F()=0； 又因为abcd,所以对任何正数p,q，至少存在一点c,d(a,b),使得F()=0，即pf(c)+qf(d)=(p+q)f().(B)10. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 11. (1) x=1是可去间断点 x=是可去间断点 不存在 x=是无穷间断点 (2) x=0是无穷间断点 x=1是可去间断点 x=2是无穷间断点12. 解：由，知：a=0，b1 由存在，知：b=e 所以，a=0，b=e13. 解： x+b x0 h(x)= 2x+1 0x1f(x)= ax2+bx, |x|1 (a+b+1) x=1 (a-b-1) x=-1由 f(1-)=f(1+)=f(1) 得：a=0，b=1 f(-1-)=f(-1+)=f(-1)15. 证明：设f(x)=x3-3x2-9x+1,则f(0)f(1)=1(-10)0;F(b)=f(b)-bf(x2),则有f(x1)f(x2),由介值定理知：至少存在一点xx1,x2,使得f(x)= 若f(x1)f(x2),则有f(x1)0,取d=，对x1,x20,1，当|x1-x2|d时，就有：|x13-x32|0时： 当x0,连续;0a1,不可导;a1可导。3.（1）解： （2）解： （3）解：两边取对数再求导得： 即得 （4）解： (5) 解：先对原式进行变形： 再对两边求导数即可得： 最后将y代入即可 （6）解：当x0时 f（x）= 当x0时 f（x）= f（0）=04.（1）解：（2）解：由原式可得： 两边取对数求导得： 再次求导可得： 将y和y代入即可5.（1）解： 由已知的n次导数可得： （2）先对原式求一次导得： 则可得：继而可得：7.（1）解：由题可得： （2）解： （3）解： 8.（1）题目有错（2）证明：因为 令x=y=0 则 即函数f（x）不但可导，且导数值恒为1。 （3）解：因为 9.（1）解：由题意可知：f（1）=2f（0）=2 （3）解：要使F（x）在点x=0处连续，则有 b=f(0),而要函数在x=0处可导，则只需有 a= （4）解法一：令S=x+ 可知有 S=Sm 而 S= 则Sm=则解法二：思路，对Sm等式两旁同乘以x，然后分别减去原等式的两边进行变化即可。（5）解：由于而所求的导数是x=0点，所以只需求莱布尼茨公式的前两项即可：习题3-1（A）1证明：显然f（x）在2,3上连续、可导，且f(2)=f(3) ,显然在2,3连续。 则有介值定理可知，在2,3区间上必存在一点使得 所以罗尔定理对f（x）在区间2,3上成立2证明：显然函数在0,上连续、可导， ， 又，而-10所以由介值定理可知必存在一点，使得所以拉格朗日中值定理对f（x）在区间0,上成立3证明：令，显然其在0,1上连续、可导。 由罗尔定理知，在0,1上必存在一点使得，即 所以在0,1上柯西中值定理对f（x）和g（x）成立4证明：令则即f（x）恒等于一常数，又f（0）=0，所以5证明：令 则 即,又6解：因为，由罗尔定理可知，在0,1,1,2,2,3,3,4区间分别存在四个点，使得7证明：（1）设，显然函数在整个定义域内连续、可导，则由拉格朗日中值定理可知：，即（2）设，显然函数在整个定义域内连续、可导，则由拉格朗日中值定理可知：在a,b区间上有，即（3）设，则在b,a上函数连续、可导，由拉格朗日中值定理可知：存在一点，使得又因为，所以，即8证明：设，二者在0，上均连续、可导，并且对任意都有，由柯西中值定理知，存在使 ，即9证明：设则由拉格朗日中值定理知，使得 10证明：设，函数在a,b上连续，在（a,b）内可导 则 由罗尔定理可知，在（a,b）内至少存在一点使得： ，即11证明：设，其在0,1上连续，在（0,1）内可导 又，由罗尔定理可得 =012证明：设，利用反证法，设若方程有至少4个根，则，又f（x）在定义域内至少4阶连续、可导，则由罗尔定理可知，至少存在点，使得再次利用罗尔定理，则存在点，使得=0由罗尔定理可知，在（）内至少存在一点使得而，即不可能找到一点使得f（x）的三阶导数为零，所以假设不成立，即方程至多有3个根13证明：令，其在0,上连续，在（0,）内可导又,所以由罗尔定理可知至少存在一点，使得即14证明：令，此函数在0,1上连续，在（0，1）内可导，又因为 ，由介值定理可知，在1/2,1之间存在c使得F（c）=0=F(0)，由罗尔定理可知，在0,c内至少存在一点使得15提示：令，对f（x）和g（x）用柯西中值定理即可得证16提示：令，f（x）、g（x）在a,b上用柯西中值定理可证习题3-1（B）17证明：因为f（x）在0,3上连续，所以f（x）在0,2上连续，且在0,2上必有最大值M和最小值m，于是 故 由介值定理知，至少存在一点，使 因为f（c）=1=f（3），且f（x）在c,3上连续，在（c,3）内可导，所以由罗尔定理可知，必存在 18证明：，因为f（x）在a,b上连续，(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,则 由罗尔定理知在（a，b）内必存在一点c使得，由于所以，即内单调减在（a，x）（x0都有等式成立（2） 可知 函数的定义域为 则 曲线是凹的 根据定义可知对任意的 都有等式成立（3） 可知 函数的定义域为 则 曲线是凹的 根据定义可知对任意的x，y 0且都有等式成立 即： 成立8. 求函数图形的凹凸区间及拐点解：函数的定义域为 令x0曲线y凸拐点凹 由表可知：曲线在内是凸的，在内是凹的,拐点为（）9. 求函数图形的凹凸区间及拐点 解：函数的定义域为 故函数的图形没有拐点，处处是凹的10. 设在的某邻域内具有三阶连续导数，如果，而试问是否为拐点，为什么？ 解： 假定 则单调递增 时 时 故是的拐点11. 若对于区间内的任意两点与及任意两个数与（）有不等式（或对应地，相反的不等式成立），则称曲线在区间上是凹（凸）的习题3-61. 求曲线的渐近线解： 故y=x+2 为曲线的斜渐近线2. 求曲线的渐近线解： 故x=2,x=3为曲线的铅直渐近线 故y=1 为曲线的水平渐近线3. 求曲线的渐近线解： 故y=1 为曲线的水平渐近线 故x=为曲线的铅直渐近线4.描绘曲线的图形Y=x-1是渐进线垂直渐近线时 X=0或-2再求判断凹凸性5描绘曲线的图形偶函数时只需判断有对称性可画出6. 描绘曲线的图形时， Y=0是水平渐进线，是垂直渐近线7.描绘曲线的图形渐近线方程8. 描绘曲线的图