高考数学向量及其运算习题课.doc

向量及其运算重点与难点： 1. 向量的概念：向量是既有大小，又有方向的量。向量的大小（长度）叫做向量的模，模是非负数，可以比较大小，但由于方向不能比较大小，所以，向量不可以比较大小，这是数量与向量的最大差异。 2. 向量的表示方法： （1）几何表示法。向量可以用有向线段表示，如：AB 3. 零向量与单位向量： 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0。 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。 4. 平行向量、相等向量、共线向量。 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。规定0与任一向量平行，平行向量也叫做共线向量。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。任意两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段表示。 5. 向量的加法： 法。 注意：（1）两个向量的和仍为向量。 （2）对于零向量与任一向量a有a+0=0+a=a。 6. 向量的加法法则 （1）三角形法则：（首尾连接） （2）平行四边形法则：（共起点） 7. 向量的加法运算律。 （1）交换律：a+b=b+a （2）结合律：a+(b+c)=(a+b)+c 8. 相反向量：与a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a。 零向量的相反向量为零向量。 相反向量性质： 9. 向量的减法：向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差。记 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 10. 实数与向量的积： 实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下： 11. 实数与向量的积的运算律： 12. 一个向量与非零向量共线的充要条件： 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得b=a。 13. 平面向量的基本定理：如果e1、e2是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 14. 向量坐标的概念。 若i，j分别是与平面直角坐标系内x轴，y轴方向相同的单位向量，且a=xi+yj，则x叫a在x轴上的坐标，y叫a在y轴上的坐标（不要说成横坐标，纵坐标）。记作a=(x,y)。 15. 相等向量坐标的关系。 与向量a=（x，y）相等的所有向量的坐标均为（x，y）。 16. 向量坐标公式 17. 向量的和、差及实数与向量的积的坐标公式： 18. 向量共线定理： 向量a与非零向量b共线的充要条件是：有且只有一个实数，使a=b。 19. 平行向量的坐标关系： 20. 点分有向线段所成的比的概念。 21. 分点坐标公式。 此公式叫定比分点坐标公式。在此公式中，（x1，y1），(x2，y2)，（x，y）分别表示起点，终点，分点的坐标。 22. 中点坐标公式 此即为线段的中点坐标公式。 23. 三角形重心坐标公式。 24. 向量的夹角的概念 叫做a，b的夹角。 注意：（1）两个非零向量的夹角的范围为： 25. a与b的数量积的概念 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos叫做a与b的数量积（内积），记作ab。 注意：（1）a与b的数量积的结果是一个实数（可为正数、负数或零）。 26. b在a方向上的投影。 注意：（1）b在a方向上的投影不是向量而是一个实数，它的符号取决于角的范围。 （2）a在b方向上的投影|a|cos。 27. ab的几何意义 数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos的乘积，也等于b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos的乘积。 28. 数量积的重要性质 设a，b均为非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角（则a与b的