2017年高考天津文科数学试题及答案(word解析版).docx

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2017年天津，文1，5分】设集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】，故选B（2）【2017年天津，文2，5分】设，则“”是“”的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解得：；解得：，故选B（3）【2017年天津，文3，5分】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】“从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔”基本事件总个数：，而事件“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”包含基本事件个数：；，故选C（4）【2017年天津，文4，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的的值为19，则输出的的值为（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为，第一次循环： ，不满足；第二次循环：，不满足；第三次循环：，满足；此时跳出循环体，输出，故选C（5）【2017年天津，文5，5分】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】因为是边长为2的等边三角形（为原点）所以，所以 直线方程为，所以渐近线方程其中一条为，所以，解之得：，故选D（6）【2017年天津，文6，5分】已知奇函数在上是增函数，若， 则的大小关系为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】因为在上是奇函数，所以有，即；又因为 在上 是增函数，且，所以，故选C（7）【2017年天津，文7，5分】设函数，其中，若，且的最小正周期大于，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】函数，振幅为2，所以如图所示：若函数图象如图表1所示，解得，不满足最小正周期大于，所以函数图象如图表2所示，解得，又因为，所以，所以，故选A（8）【2017年天津，文8，5分】已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】函数的图象如下图（左），若关于的不等式在上恒成 立，则不妨设，“在上恒成立”表示图 象与图象应如下图（右）所示找到两个临界位置: 与相切时，解得，代入，解得，（舍）；过点，代入，解得（舍），故的取值范围在与2之间，故选A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分（9）【2017年天津，文9，5分】已知，为虚数单位，若为实数，则的值为 【答案】【解析】解法一：为实数，所以， 解法二：为实数与成比例，比例为，所以（10）【2017年天津，文10，5分】已知，设函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为 【答案】1【解析】函数的导函数，所以，切点，斜率为，所以代入切线点斜式：，在轴上的截距为：，所以答案为1（11）【2017年天津，文11，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 【答案】【解析】球的表面积公式，所以棱长，计算得：，（12）【2017年天津，文12】设抛物线的焦点为，准线为，已知点在上，以为圆心的圆与轴的正半轴相切于点，若，则圆的方程为 【答案】【解析】抛物线的焦点为，准线为，所以可设，所以，在直角三角形中，所以，所以圆的圆心，半径等于1，所以圆（13）【2017年天津，文13，5分】若，则的最小值为 【答案】4【解析】（），当且仅当“”、“”同时成立时，等号成立，解之得：（14）【2017年天津，文14，5分】在中，若，且，则的值为 【答案】【解析】，则三、解答题：本大题共6题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）【2017年天津，文15，13分】在中，内角所对的边分别为已知，（1）求的值；（2）求的值解：（1）可化为，解得：，余弦定理： （2）根据，解得，所以，（16）【2017年天津，文16，13分】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告，已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数（1）用列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：（1）分别用表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数（2）设总收视人次为万，则目标函数为考虑，将它变形为，这是斜率为，随变化的一族平行直线为直线在轴上的截距，当取得最大值时，的值最大又因为满足约束条件，所以由图2可知，当直线经过可行域上的点时，截距最大，即最大解方程组，得点的坐标为所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多（17）【2017年天津，文17，13分】如图，在四棱锥中，平面，（1）求异面直线与所成的角的余弦值；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值解：（1）因为，所以等于异面直线与所成的角，平面， 所以，（2）因为平面，所以，又因为，所以， 且，所以平面（3）取上三分点，平面，所以等于直线与平面所成角，（18）【2017年天津，文18，13分】已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和解：（1）已知为等差数列，是首项为2的等比数列，且公比大于0，所以，解之得：（舍），解之得：所以，（2），不妨设数列的前项和为， -得：，整理得：（19）【2017年天津，文19，14分】设，已知函数，（1）求的单调区间；（2）已知函数和函数的图象在公共点处有相同的切线（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围解：（1），因为，所以，所以，的单调增区间，的单调减区间（2）（i）与在公共点处有相同的切线，首先，；其次，所以（ii）等价于，所以极大值点，若关于的不等式 在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立，等价于， ，当，在递增，在递减，为最大值， ，令，在递增，在递减，所以，（20）【2017年天津，文20，14分】已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为（1）求椭圆的离心率；（2）设点在线段上，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为；（i）求直线的斜率；（ii）求椭圆的方程解：（1），因为