2017年中考数学常见压轴题型分类.doc

2017年中考数学常见压轴题型分类第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1.因动点产生的相似三角形问题例1：如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线yax2bx（a0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AOBO2，AOB120（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且ABC与AOM相似，求点C的坐标思路点拨1第（2）题把求AOM的大小，转化为求BOM的大小2因为BOMABO30，因此点C在点B的右侧时，恰好有ABCAOM3根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论ABC与AOM相似 图1参考解答（1）如图2，过点A作AHy轴，垂足为H在RtAOH中，AO2，AOH30，所以AH1，OH所以A因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，设yax(x2)，代入点A，可得 图2 所以抛物线的表达式为（2）由，得抛物线的顶点M的坐标为所以所以BOM30所以AOM150（3）由A、B(2,0)、M，得，所以ABO30，因此当点C在点B右侧时，ABCAOM150ABC与AOM相似，存在两种情况：如图3，当时，此时C(4,0)如图4，当时，此时C(8,0) 图3 图4例2：如图1，已知抛物线（b是实数且b2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C（1）点B的坐标为_，点C的坐标为_（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由思路点拨1 第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等2 联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示3 第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上 图1参考解答（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0, )（2）如图2，过点P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E，那么PDBPEC因此PDPE设点P的坐标为(x, x) 如图3，联结OP所以S四边形PCOBSPCOSPBO2b解得所以点P的坐标为()图3图2（3）由，得A(1, 0)，OA1如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么OQCQOA当，即时，BQAQOA所以解得所以符合题意的点Q为()如图5，以OC为直径的圆与直线x1交于点Q，那么OQC90。因此OCQQOA当时，BQAQOA此时OQB90所以C、Q、B三点共线因此，即解得此时Q(1,4)图4 图5例3：如图1，已知抛物线的方程C1： (m0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BHEH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由思路点拨1 第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BHEH最小2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作CBFEBC45，或者作BF/EC再用含m的式子表示点F的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程 。图1 参考解答（1）将M(2, 2)代入，得解得m4（2）当m4时，所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x1，当H落在线段EC上时，BHEH最小设对称轴与x轴的交点为P，那么因此解得所以点H的坐标为（4）如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FFx轴于F由于BCEFBC，所以当，即时，BCEFBC设点F的坐标为，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程无解图2 图3 图4如图4，作CBF45交抛物线于F，过点F作FFx轴于F，由于EBCCBF，所以，即时，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2，由，得解得综合、，符合题意的m为考点伸展第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长例4：如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标思路点拨1已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2 数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程4把DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA 图1 参考解答（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的 坐标（0，2），解得所以抛物线的解析式为（2）设点P的坐标为如图2，当点P在x轴上方时，1x4，如果，那么解得不合题意如果，那么解得此时点P的坐标为（2，1）如图3，当点P在点A的右侧时，x4，解方程，得此时点P的坐标为解方程，得不合题意如图4，当点P在点B的左侧时，x1，解方程，得此时点P的坐标为解方程，得此时点P与点O重合，不合题意综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或或 图2 图3 图4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E直线AC的解析式为设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为所以因此当时，DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D点构造矩形OAMN，那么DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去CDN和ADM的面积设点D的横坐标为（m，n），那么 图5 图6由于，所以1.2.因动点产生的等腰三角形问题例5：如图1，抛物线yax2bxc经过A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴 （1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由思路点拨1、 第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时PAC的周长最小2第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性 图1参考解答 （1）因为抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3, 0)两点，设ya(x1)(x3)，代入点C(0 ,3)，得3a3解得a1所以抛物线的函数关系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x1当点P落在线段BC上时，PAPC最小，PAC的周长最小设抛物线的对称轴与x轴的交点为H图2由，BOCO，得PHBH2 所以点P的坐标为(1, 2) （3）点M的坐标为(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)理由如下：设点M的坐标为(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如图3，当MAMC时，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此时点M的坐标为(1, 1)如图4，当AMAC时，AM2AC2解方程4m210，得此时点M的坐标为(1,)或(1,)如图5，当CMCA时，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)图3 图4 图5例6：如图1，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B图1为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由思路点拨1用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验2本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起参考解答（1）如图2，过点B作BCy轴，垂足为C在RtOBC中，BOC30，OB4，所以BC2，图2所以点B的坐标为（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为yax(x4)，代入点B，解得所以抛物线的解析式为（3）抛物线的对称轴是直线x2，设点P的坐标为(2, y)当OPOB4时，OP216所以4+y216解得当P在时，B、O、P三点共线（如图2）当BPBO4时，BP216所以解得当PBPO时，PB2PO2所以解得综合、，点P的坐标为，如图2所示例7：如图1，已知一次函数yx7与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交于点B（1）求点A和点B的坐标；图1（2）过点A作ACy轴于点C，过点B作直线l/y轴动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？ 是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由思路点拨1把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题2求APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能3讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况参考解答（1）解方程组 得 所以点A的坐标是(3，4)令，得所以点B的坐标是(7，0)（2）如图2，当P在OC上运动时，0t4由，得整理，得解得t2或t6（舍去）如图3，当P在CA上运动时，APR的最大面积为6因此，当t2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8图2 图3 图4我们先讨论P在OC上运动时的情形，0t4如图1，在AOB中，B45，AOB45，OB7，所以OBAB因此OABAOBB如图4，点P由O向C运动的过程中，OPBRRQ，所以PQ/x轴因此AQP45保持不变，PAQ越来越大，所以只存在APQAQP的情况此时点A在PQ的垂直平分线上，OR2CA6所以BR1，t1我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4t7在APQ中， 为定值，如图5，当APAQ时，解方程，得如图6，当QPQA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP2(OROP)解方程，得如7，当PAPQ时，那么因此解方程，得综上所述，t1或或5或时，APQ是等腰三角形图5 图6 图7考点伸展当P在CA上，QPQA时，也可以用来求解1.3.因动点产生的直角三角形问题例8：如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由思路点拨1 第（2）题先用含m的式子表示线段M Q的长，再根据MQDC列方程2第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论图13第（3）题BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形参考解答 （1）由，得A(2,0)，B(8,0)，C(0,4)（2）直线DB的解析式为由点P的坐标为(m, 0)，可得，所以MQ当MQDC8时，四边形CQMD是平行四边形解方程，得m4，或m0（舍去）此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,2)，Q(4,6)所以MNNQ4所以BC与MQ互相平分所以四边形CQBM是平行四边形图2 图3（3）存在两个符合题意的点Q，分别是(2,0)，(6,4)考点伸展第（3）题可以这样解：设点Q的坐标为如图3，当DBQ90时， 所以解得x6此时Q(6,4)如图4，当BDQ90时， 所以解得x2此时Q(2,0)图3 图4例9：如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式图1思路点拨1根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个2当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合AMB90的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合AMB90的点M只有1个3灵活应用相似比解题比较简便 参考解答（1）由，得抛物线与x轴的交点坐标为A(4, 0)、B(2, 0)对称轴是直线x1（2）ACD与ACB有公共的底边AC，当ACD的面积等于ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H由BD/AC，得DBGCAO所以所以，点D的坐标为因为AC/BD，AGBG，所以HGDG而DHDH，所以DG3DG所以D的坐标为图2 图3（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M以AB为直径的G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了联结GM，那么GMl在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtEM1A中，AE8，所以M1A6所以点M1的坐标为(4, 6)，过M1、E的直线l为根据对称性，直线l还可以是考点伸展第（3）题中的直线l恰好经过点C，因此可以过点C、E求直线l的解析式在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtECO中，CO3，EO4，所以CE5因此三角形EGMECO，GEMCEO所以直线CM过点C例10：如图1，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）（1）试说明ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设M运动t秒时，MON的面积为S 求S与t的函数关系式； 设点M在线段OB上运动时，是否存在S4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；在运动过程中，当MON为直角三角形时，求t的值思路点拨1第（1）题说明ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点2不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论3将S4代入对应的函数解析式，解关于t的方程4分类讨论MON为直角三角形，不存在ONM90的可能 图1参考解答（1）直线与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）RtBOC中，OB3，OC4，所以BC5点A的坐标是（-2，0），所以BA5因此BCBA，所以ABC是等腰三角形（2）如图2，图3，过点N作NHAB，垂足为H在RtBNH中，BNt，所以如图2，当M在AO上时，OM2t，此时定义域为0t2如图3，当M在OB上时，OMt2，此时定义域为2t5图2图3 把S4代入，得解得，（舍去负值）因此，当点M在线段OB上运动时，存在S4的情形，此时如图4，当OMN90时，在RtBNM中，BNt，BM ，所以解得如图5，当OMN90时，N与C重合，不存在ONM90的可能所以，当或者时，MON为直角三角形 图4 图5考点伸展在本题情景下，如果MON的边与AC平行，求t的值如图6，当ON/AC时，t3；如图7，当MN/AC时，t2.5 图6 图71.4.因动点产生的平行四边形问题图1例11：如图1，已知抛物线yx2bxc经过A(0, 1)、B(4, 3)两点 （1）求抛物线的解析式；（2）求tanABO的值；（3）过点B作BCx轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标思路点拨1第（2）题求ABO的正切值，要构造包含锐角ABO的角直角三角形2第（3）题解方程MNyMyNBC，并且检验x的值是否在对称轴左侧参考解答（1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入yx2bxc，得 解得b=4.5，c1所以抛物线的解析式是（2）在RtBOC中，OC4，BC3，所以OB5如图2，过点A作AHOB，垂足为H图2在RtAOH中，OA1，所以 所以， 图3在RtABH中，（3）直线AB的解析式为设点M的坐标为，点N的坐标为，图4那么当四边形MNCB是平行四边形时，MNBC3解方程x24x3，得x1或x3因为x3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M的坐标为（如图3）考点伸展第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标那么求点M的坐标要考虑两种情况：MNyMyN或MNyNyM由yNyM4xx2，解方程x24x3，得（如图5）所以符合题意的点M有4个：，图5例12：如图1，在RtABC中，C90，AC6，BC8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD/BC，交AB于点D，联结PQ点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t0）（1）直接用含t的代数式分别表示：QB_，PD_；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长思路点拨1菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在ABC的平分线上，PQ/AB先求出点P运动的时间t，再根据PQ/AB，对应线段成比例求图2图1CQ的长，从而求出点Q的速度2 探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径图3参考解答（1）QB82t，PD（2）如图3，作ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ/AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形过点P作PEAB，垂足为E，那么BEBC8在RtABC中，AC6，BC8，所以AB10 在RtAPE中，所以图4当PQ/AB时，即解得所以点Q的运动速度为（3）以C为原点建立直角坐标系图6图5如图4，当t0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)如图5，当t4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)直线EF的解析式是y2x6如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（，t）经验证，点M（，t）在直线EF上所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF例13：已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数的图象上，且MOMA二次函数yx2bxc的图象经过点A、M（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；图1（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标思路点拨1本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数2根据MOMA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤3第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m参考解答（1）当x0时，所以点A的坐标为(0，3)，OA3如图2，因为MOMA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为将代入，得x1所以点M的坐标为因此（2）因为抛物线yx2bxc经过A(0，3)、M，所以解得，所以二次函数的解析式为（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AECD，垂足为E在RtADE中，设AE4m，DE3m，那么AD5m因此点C的坐标可以表示为(4m，32m)将点C(4m，32m)代入，得解得或者m0（舍去）因此点C的坐标为（2，2）图3图2 例14：如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF/DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？设BCF的面积为S，求S与m的函数关系思路点拨1数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长2当四边形PEDF为平行四边形时，根据DE=FP列关于m的方程3把BCF分割为两个共底FP的三角形，高的和等于OB参考解答（1）A（1，0），B（3，0），C（0，3）抛物线的对称轴是x1图1（2）直线BC的解析式为yx3把x1代入yx3，得y2所以点E的坐标为（1，2）把x1代入，得y4所以点D的坐标为（1，4）因此DE=2因为PF/DE，点P的横坐标为m，设点P的坐标为，点F的坐标为，因此当四边形PEDF是平行四边形时，DE=FP于是得到解得，（与点E重合，舍去）因此，当m=2时，四边形PEDF是平行四边形时设直线PF与x轴交于点M，那么OM+BM=OB=3因此m的变化范围是0m3图3图2 1.5.因动点产生的梯形问题例15：如图1，把两个全等的RtAOB和RtCOD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F抛物线yax2bxc经过O、A、C三点（1）求该抛物线的函数解析式；图1（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），AOB在平移的过程中与COD重叠部分的面积记为S试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由 思路点拨1如果四边形ABPM是等腰梯形，那么AB为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分成的3小段，两侧的线段长线段2AOB与COD重叠部分的形状是四边形EFGH，可以通过割补得到，即OFG减去OEH3求OEH的面积时，如果构造底边OH上的高EK，那么RtEHK的直角边的比为124设点A移动的水平距离为m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示参考解答（1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入yax2bxc，得 解得， 所以（2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP、MM，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AMBP，因此yAy MyPyB直线OC的解析式为，设点P的坐标为，那么解方程，得，x2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在所以图2图3（3）如图3，AOB与COD重叠部分的形状是四边形EFGH，作EKOD于K设点A移动的水平距离为m，那么OG1m，GBm在RtOFG中，所以在RtAHG中，AG2m，所以所以在RtOEK中，OK2 EK；在RtEHK中，EK2HK；所以OK4HK因此所以所以于是因为0m1，所以当时，S取得最大值，最大值为1.6.因动点产生的面积问题例16：如图1，已知抛物线（b、c是常数，且c0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(1,0)图3（1）b_，点B的横坐标为_（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连结BC，过点A作直线AE/BC，与抛物线交于点E点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC设PBC的面积为S求S的取值范围；若PBC的面积S为正整数，则这样的PBC共有_个思路点拨图11用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB2OC2当C、D、E三点共线时，EHACOB，EHDCOD3求PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方4求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个数注意排除点A、C、B三个时刻的值参考解答（1）b，点B的横坐标为2c（2）由，设E过点E作EHx轴于H由于OB2OC，当AE/BC时，AH2EH所以因此所以当C、D、E三点在同一直线上时，所以整理，得2c23c20解得c2或（舍去）所以抛物线的解析式为（3）当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F直线BC的解析式为设，那么，所以SPBCSPBFSPCF因此当P在BC下方时，PBC的最大值为4当P在BC上方时，因为SABC5，所以SPBC5综上所述，0S5若PBC的面积S为正整数，则这样的PBC共有11个例17：如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(x0)交于点B(2，1)过点(p1)作x轴的平行线分别交曲线(x0)和(x0)于M、N两点（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y2上，求证：PMBPNA；（3）是否存在实数p，使得SAMN4SAMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由思路点拨1第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中2第（3）题把SAMN4SAMP转化为MN4MP，图1按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论参考解答（1）因为点B(2，1)在双曲线上，所以m2设直线l的解析式为，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得 解得 所以直线l的解析式为（2）由点(p1)的坐标可知，点P在直线上x轴的上方如图2，当y2时，点P的坐标为(3，2)此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(1，2)由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知PMB为等腰直角三角形由P(3，2)、N(1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知PNA为等腰直角三角形所以PMBPNA图2 图3 图4（3）AMN和AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上当SAMN4SAMP时，MN4MP如图3，当M在NP上时，xMxN4(xPxM)因此解得或（此时点P在x轴下方，舍去）此时如图4，当M在NP的延长线上时，xMxN4(xMxP)因此解得或（此时点P在x轴下方，舍去）此时考点伸展在本题情景下，AMN能否成为直角三角形？情形一，如图5，AMN90，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）情形二，如图6，MAN90，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半不存在ANM90的情况图5 图61.7.因动点产生的相切问题例18：如图1，A(5,0)，B(3,0)，点C在y轴的正半轴上，CBO45，CD/AB，CDA90点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒（1）求点C的坐标；（2）当BCP15时，求t的值；图1（3）以点P为圆心，PC为半径的P随点P的运动而变化，当P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值 参考解答解：（1），又点在轴的正半轴上， 点的坐标为（0，3）（2）当点在点右侧时，如图2.若，得.故，此时.当点在点左侧时，如图3，由，得，故.此时. 的值为或（3）由题意知，若与四边形的边相切，有以下三种情况：当与相切于点时，有，从而得到.此时.当与相切于点时，有，即点与点重合，此时.当与相切时，由题意，点为切点，如图4.于是.解处.的值为1或4或5.6.1.8.因动点产生的线段和差问题例19：在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且OAEOBA（1）如图1，求点E的坐标；（2）如图2，将AEO沿x轴向右平移得到AEO，连结AB、BE设AAm，其中0m2，使用含m的式子表示AB2BE2，并求出使AB2BE2取得最小值时点E的坐标；当ABBE取得最小值时，求点E的坐标（直接写出结果即可）图1 图2思路点拨1图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EEAAm2求AB2BE2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子3求ABBE的最小值，第一感觉是典型的“将军饮马”问题轴对称，两点之间线段最短参考解答（1）由OAEOBA，AOEBOA，得AOEBOA所以因此解得OE1所以E(0,1)（2）如图3，在RtAOB中，OB4，OA2m，所以AB216(2m)2在RtBEE中，BE3，EEm，所以BE29m2所以AB2BE216(2m)29m22(m1)227所以当m1时，AB2BE2取得最小值，最小值为27此时点A是AO的中点，点E向右平移了1个单位，所以E(1,1)如图4，当ABBE取得最小值时，求点E的坐标为图3 图4考点伸展第（2）题这样解：如图4，过点B作y轴的垂线l，作点E关于直线l的对称点E，所以ABBEABBE当A、B、E三点共线时，ABBE取得最小值，最小值为线段AE在RtAOE中，AO2，OE7，所以AE当A、B、E三点共线时，所以解得此时例20：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l/AC交抛物线于点Q试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标图1思路点拨1第（2）题探究平行四边形，按照AP为边或者对角线分两种情况讨论2第（3）题是典型的“牛喝水”问题，构造点B关于“河流”AC的对称点B，那么M落在BD上时，MBMD最小，MBD的周长最小参考解答（1）由yx22x3(x1)(x3)(x1)24，得A(1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4)直线AC的解析式是y3x3（2）Q1(2, 3)，Q2()，Q3()（3）设点B关于直线AC的对称点为B，联结BB交AC于F联结BD，BD与交AC的交点就是要探求的点M作BEx轴于E，那么BBEBAFCAO在RtBAF中，AB4，所以在RtBBE中，所以，所以所以点B的坐标为因为点M在直线y3x3上，设点M的坐标为(x, 3x3)由，得所以解得所以点M的坐标为图2 图3考点伸展第（2）题的解题思路是这样的：如图4，当AP是平行四边形的边时，CQ/AP，所以点C、Q关于抛物线的对称轴对称，点Q的坐标为(2, 3)如图5，当AP是平行四边形的对角线时，点C、Q分居x轴两侧，C、Q到x轴的距离相等解方程x22x33，得所以点Q的坐标为()或 ()图4 图5第二部分 图形运动中的函数关系问题2.1.由比例线段产生的函数关系问题例21：如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD过P、D、B三点作Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交Q于F，连结EF、BF（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时求证：BDEADP； 图1设DEx，DFy，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为21？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由 参考答案（1）直线AB的函数解析式为yx4（2）如图2，BDECDEADP；如图3，ADPDEPDPE，如图4，BDEDBPA，因为DEPDBP，所以DPEA45所以DFEDPE45因此DEF是等腰直角三角形于是得到图2 图3 图4（3）如图5，当BDBF21时，P(2,2)思路如下：由DMBBNF，知设OD2m，FNm，由DEEF，可得2m24m解得因此再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)如图6，当BDBF12时