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学科教师辅导讲义1二项式定理:,2基本概念:二项式展开式:右边的多项式叫做的二项展开式。二项式系数:展开式中各项的系数.项数:共项,是关于与的齐次多项式通项:展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。3注意关键点:项数:展开式中总共有项。顺序:注意正确选择,其顺序不能更改。与是不同的。指数:的指数从逐项减到,是降幂排列。的指数从逐项减到,是升幂排列。各项的次数和等于.系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是项的系数是与的系数(包括二项式系数)。4常用的结论:令 令 5性质:二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即,二项式系数和:令,则二项式系数的和为, 变形式。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:在二项式定理中,令,则,从而得到:奇数项的系数和与偶数项的系数和:二项式系数的最大项:如果二项式的幂指数是偶数时,则中间一项的二项式系数取得最大值。 如果二项式的幂指数是奇数时,则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。系数的最大项:求展开式中最大的项,一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为,设第项系数最大,应有,从而解出来。题型一:二项式定理的逆用;例:解:与已知的有一些差距, 练:解:设,则题型二:利用通项公式求的系数;例:在二项式的展开式中倒数第项的系数为,求含有的项的系数?解:由条件知,即,解得,由,由题意,则含有的项是第项,系数为。练:求展开式中的系数?解:,令,则故的系数为。题型三:利用通项公式求常数项;例:求二项式的展开式中的常数项?解:,令,得,所以练:求二项式的展开式中的常数项?解:,令,得,所以练:若的二项展开式中第项为常数项,则解:,令,得.题型四:利用通项公式,再讨论而确定有理数项;例:求二项式展开式中的有理项?解:,令,()得,所以当时,当时,。题型五:奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;例:若展开式中偶数项系数和为,求.解:设展开式中各项系数依次设为 ,则有,,则有 将-得: 有题意得,。练:若的展开式中,所有的奇数项的系数和为,求它的中间项。解:,解得 所以中间两个项分别为,题型六:最大系数,最大项;例:已知,若展开式中第项,第项与第项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多少?解:解出,当时,展开式中二项式系数最大的项是,当时,展开式中二项式系数最大的项是,。练:在的展开式中,二项式系数最大的项是多少?解:二项式的幂指数是偶数,则中间一项的二项式系数最大,即,也就是第项。练:在的展开式中,只有第项的二项式最大,则展开式中的常数项是多少?解:只有第项的二项式最大,则,即,所以展开式中常数项为第七项等于练:写出在的展开式中,系数最大的项?系数最小的项?解:因为二项式的幂指数是奇数,所以中间两项()的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有的系数最小,系数最大。练:若展开式前三项的二项式系数和等于,求的展开式中系数最大的项?解:由解出,假设项最大,化简得到,又,展开式中系数最大的项为,有练:在的展开式中系数最大的项是多少?解:假设项最大,化简得到,又,展开式中系数最大的项为题型七:含有三项变两项;例:求当的展开式中的一次项的系数?解法:,当且仅当时,的展开式中才有x的一次项,此时,所以得一次项为它的系数为。解法: 故展开式中含的项为,故展开式中的系数为240.练:求式子的常数项?解:,设第项为常数项,则,得, .题型八:两个二项式相乘;例:解: .练:解:.练:解:题型九:奇数项的系数和与偶数项的系数和;例:解:题型十:赋值法;例:设二项式的展开式的各项系数的和为,所有二项式系数的和为,若,则等于多少?解:若,有, 令得,又,即解得,.练:若的展开式中各项系数之和为,则展开式的常数项为多少?解:令,则的展开式中各项系数之和为,所以,则展开式的常数项为.练:解: 练:解:题型十一:整除性;例:证明:能被64整除证:由于各项均能被64整除1、(x1)11展开式中x的偶次项系数之和是 1、设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是2、 2、2、4n3、的展开式中的有理项是展开式的第 项3、3,9,15,21 4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是 4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和,故令x=1,则所求和为355、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数5、,要得到含x4的项,必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项作积,第一个因式中的x3与(1-x)9展开式中的项作积,故x4的系数是6、求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展开式中x3的系数6、=,原式中x3实为这分子中的x4,则所求系数为7、若展开式中,x的系数为21,问m、n为何值时,x2的系数最小?7、由条件得m+n=21,x2的项为,则因nN,故当n=10或11时上式有最小值,也就是m=11和n=10,或m=10和n=11时,x2的系数最小8、自然数n为偶数时,求证: 8、原式=9、求被9除的余数9、 ,kZ,9k-1Z,被9除余810、在(x2+3x+2)5的展开式中,求x的系数10、在(x+1)5展开式中,常数项为1,含x的项为,在(2+x)5展开式中,常数项为25=32,含x的项为 展开式中含x的项为 ,此展开式中x的系数为24011、求(2x+1)12展开式中系数最大的项11、设Tr+1的系数最大,则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数,即有 展开式中系数最大项为第5项,T5=二项式定理1二项式定理:,2基本概念:二项式展开式:右边的多项式叫做的二项展开式。二项式系数:展开式中各项的系数.项数:共项,是关于与的齐次多项式通项:展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。3注意关键点:项数:展开式中总共有项。顺序:注意正确选择,其顺序不能更改。与是不同的。指数:的指数从逐项减到,是降幂排列。的指数从逐项减到,是升幂排列。各项的次数和等于.系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是项的系数是与的系数(包括二项式系数)。4常用的结论:令 令 5性质:二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即,二项式系数和:令,则二项式系数的和为, 变形式。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:在二项式定理中,令,则,从而得到:奇数项的系数和与偶数项的系数和:二项式系数的最大项:如果二项式的幂指数是偶数时,则中间一项的二项式系数取得最大值。 如果二项式的幂指数是奇数时,则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。系数的最大项:求展开式中最大的项,一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为,设第项系数最大,应有,从而解出来。题型一:二项式定理的逆用;例:练:题型二:利用通项公式求的系数;例:在二项式的展开式中倒数第项的系数为,求含有的项的系数?练:求展开式中的系数?题型三:利用通项公式求常数项;例:求二项式的展开式中的常数项?练:求二项式的展开式中的常数项?练:若的二项展开式中第项为常数项,则题型四:利用通项公式,再讨论而确定有理数项;例:求二项式展开式中的有理项?题型五:奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;例:若展开式中偶数项系数和为,求.练:若的展开式中,所有的奇数项的系数和为,求它的中间项。题型六:最大系数,最大项;例:已知,若展开式中第项,第项与第项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多少?练:在的展开式中,二项式系数最大的项是多少?练:在的展开式中,只有第项的二项式最大,则展开式中的常数项是多少?练:写出在的展开式中,系数最大的项?系数最小的项?练:若展开式前三项的二项式系数和等于,求的展开式中系数最大的项?练:在的展开式中系数最大的项是多少?题型七:含有三项变两项;例:求当的展开式中的一次项的系数?练:求式子的常数项?题型八:两个二项式相乘;例:练:练:题型九:奇数项的系数和与偶数项的系数和;例:题型十:赋值法;例:设二项式的展开式的各项系数的和为,所有二项式系数的和为,若,则等于多少?练:若的展开式中各项系数之和为,则展开式的常数项为多少?练:练:题型十一:整除性;例:证明:能被64整除1、(x1)11展开式中x的偶次项系数之和是 2、 2、3、的展开式中的有理项是展开式的第 项4、(2x-1

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