高数课件17换元积分法.ppt

换元积分法 直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需 要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积 分的两大基本方法换元积分法和分部积分法。 在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的 方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应 的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的 积分法换元积分法。通常根据换元的先后， 把换元法分成第一类换元和第二类换元。 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 问题 解决方法利用复合函数，设置中间变量. 过程令 一、第一类换元法 说明结果正确 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 将上例的解法一般化： 设 则 如果（可微） 将上述作法总结成定理，使之合法化，可得 换元法积分公式 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 第一类换元公式（凑微分法） 说明使用此公式的关键在于将 化为 观察重点不同，所得结论不同. 定理1 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 注定理说明：若已知 则 因此该定理的意义就在于把 中的换成另一个 的可微函数后，式子仍成立 又称为积分的形式不变性 这样一来，可使基本积分表中的积分公式 的适用范围变得更加广泛。 由定理可见，虽然 是一整体记号，但可把视为自变量微分 凑微分营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积 表达式进行变形，主要考虑如何变化 凑微分法的基本思路： 与基本积分公式相比较，将不同的部分 中间变量和积分变量变成相同 步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量 例1 求 解（一） 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 解（二） 解（三） 例2 求 解 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 一般地 例3 求 解 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 例4 求 解 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 例5 解 例6 求 解 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 例7 解 注意：分子拆项是常用的技巧 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 例8 求 解 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 例9 求 解 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 例10 求 解 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 例11 求 原式 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 例12 求 解 或 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 例13 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分. 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 例14 求 解 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 例15 求 解（一） （使用了三角函数恒等变形） 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 解（二） 解（三） 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 类似地可推出 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 解 例16 设 求 . 令 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 例17 求 解 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 例18 解（一） 分子分母同乘以 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 解（二） 分子分母和差化积 解（三） 分子恰为分母的导数 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法， 不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循， 只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟 记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对 被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因 子。 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 问题 解决方法改变中间变量的设置方法. 过程令 （应用“凑微分”即可求出结果） 二、第二类换元法 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 证设 为 的原函数, 令 则 则有换元公式 定理2 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 第二类积分换元公式 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 例19 求 解 令 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 例20 求 解 令 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 例21 求 解 令 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令 注意：所作代换的单调性。对三角代换而言， 掌握着取单调区间即可。 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 说明(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代 换外还可用双曲代换. 也可以化掉根式 例 中, 令 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 说明(3) 积分中为了化掉根式是否一定采用 三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需 根据被积函数的情况来定. 例22 求（三角代换很繁琐） 解令 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 例23 求 解 令 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 说明(4) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 例24 求 解令 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 例25 求 解令 （分母的阶较高） 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 说明(5) 当被积函数含有两种或两种以上的 根式 时，可采用令 （ 其中 为各根指数的最小公倍数） 例26 求 解令 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 基 本 积 分 表 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 三、