高数啊高数2章小结.ppt

左右极限 两个重要 极限 求极限的常用方法 无穷小 的性质 极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则 无穷小的比较 极限的运算法则 函 数 极 限 等价无穷小 及其性质 极限的性质 无穷小 两者的 关系 无穷大 左极限 右极限 无穷小: 极限为零的变量称为无穷小. 绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大: 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大. 无穷小与无穷大的关系 2、无穷小与无穷大 定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 无穷小的运算性质 定理 推论1 推论2 3、极限的运算法则 4、求极限的常用方法 a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. 5、判定极限存在的准则 (夹逼准则) 准则 开区间内单调有界函数在端点处必有极限 . 准则 极限存在充要条件左右极限存在且相等 (1) (2) 6、两个重要极限 则有拓展: 若 定义: 7、无穷小的比较 定理(等价无穷小替换定理) 8、等价无穷小的性质 极限的性质: 唯一性定理 局部有界性定理 局部保序性定理 局部保号性定理 左右连续 在区间a,b 上连续 闭区间上 连续函数的性质 初等函数 的连续性 间断点定义 连 续 定 义 连续的 充要条件 连续函数的 运算性质 振荡间断点 无穷间断点 跳跃间断点 可去间断点 第一类 第二类 1、连续的定义 定理 3、连续的充要条件 2、单侧连续 4、间断点的定义 (2) 跳跃间断点 (1)可去间断点 5、间断点的分类 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点: 可去型 第一类间断点 跳跃型 0 y x 0 y x 0 y x 无穷型振荡型 第二类间断点 0 y x 第二类间断点 6、闭区间的连续性 7、连续性的运算性质 定理 定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数. 定理2 8、初等函数的连续性 定理3 定理4 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 9、闭区间上连续函数的性质 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值. 基本定理: 在闭区间上连续的函数的值域为闭 区间. 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界. 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m之间的任何值. 求 导 法 则 基本公式 导 数 高阶导数 导数 1、导数的定义 定义 2.右导数: 单侧导数 1.左导数: 2、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式） 3、求导法则 (1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (2) 反函数的求导法则 (3) 复合函数的求导法则 (4) 对数求导法 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 适用范围: (5) 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. (6) 参变量函数的求导法则 4、高阶导数 记作 二阶导数的导数称为三阶导数, (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数) 例1 则有回顾: 若 二、例题（极限、连续） 解： 例2. 求下列极限 ： 提示: 无穷小有界 令 例4 解 例5 解 有无穷间断点 及可去间断点 解:为无穷间断点,所以 为可去间断点 ,极限存在 例6. 设函数 试确定常数 a 及 b . 例7 证明 讨论: （注意连续区间发生变化） 由零点定理知, 综上, 例8. 当 时,是 的几阶无穷小? 解: 设其为 的阶无穷小,则 因 故 三、例题（导数 ） 例1 解 例2.若且存在,求 解: 原式 = 且 联想到凑导数的定义式 例3. 且 存在, 问怎样 选择 可使下述函数在处有二阶导数. 解: 由题设存在, 因此