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集合及集合的应用 【课标解读】 1.掌握集合的有关基本定义概念，运用集合的概念解决问题； 2.掌握集合的包含关系（子集、真子集） ； 3.掌握集合的运算(交、并、补)； 4.在解决有关集合问题时，要注意各种思想方法（数形结合、补集思想、分类讨论）的运用. 【知识梳理】 一、集合的有关概念 (一一) 集合的含义集合的含义 (二二) 集合中元素的三个特性集合中元素的三个特性 1.元素的确定性：如：世界上最高的山，反例：世界上很高的山； 2.元素的互异性：如：由“HAPPY”的字母组成的集合H,A,P,Y； 3.元素的无序性： 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合. (三三) 集合的表示集合的表示 集合的表示方法：列举法与描述法. 常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N， 正整数集： N*或 N+ ，整数集：Z，有理数集 Q， 实数集 R. 1列举法：a,b,c, 2 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法.如： xR| x-32,x|x-32. 3语言描述法：如：不是直角三角形的三角形. 4.Venn 图. (四四) 集合的分类集合的分类 1.有限集: 含有有限个元素的集合; 2.无限集: 含有无限个元素的集合; 3.空集: 不含任何元素的集合;如：x|x2=-5. 二、集合间的基本关系 2 1. “包含包含”关系关系子集子集 注意：BA 有两种可能：（1）A 是 B 的一部分；（2）A 与 B 是同一集合. 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A. 2.“相等相等”关系：关系：A=B (55，且 55，则 5=5).实例：设 A=x|x2-1=0， B=-1,1. 则 A=B. 元素相同则两集合相等,即： 任何一个集合是它本身的子集：AA； 真子集:如果 AB,且 A B,那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A). 如果 AB, BC ,那么 AC. 如果 AB , 同时 BA ,那么 A=B. 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集. 含有 n 个元素的集合，有 2n个 子集，个真子集.21 n 三、集合的运算 运算类型运算类型交交 集集并并 集集补补 集集 定义定义 由所有属于 A 且属 于 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的 交集记作 AB（读作“A 交 B” ） ，即 AB=x|x A，且 xB 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元 素所组成的集合， 叫做 A,B 的并 集记作： AB（读作“A 并 B” ） ，即 AB =x|xA，或 xB 设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中所有 不属于 A 的元素组成的集 合，叫做 S 中子集 A 的补 集（或余集）记作SA， 即 SA=,|AxSxx且 . 韦恩图示韦恩图示 S A 3 性质性质 AA=A A= AB=BA ABA ABB AA=A A=A AB=BA AB ABB (UA)( UB)= U(AB) (UA) ( UB)= U(AB) A (UA)=U A(UA)= 【方法归纳】 一、对于集合的问题：要确定属于哪一类集合（数集，点集，或某类图形集） ，然后再确定处理 此类问题的方法. 二、关于集合中的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，然后再进行运算. 三、含参数的集合问题，多根据集合的互异性处理，有时需要用到分类讨论、数形集结合的思想. 四、处理集合问题要多从已知出发，多从特殊点出发来寻找突破口. 课堂精讲练习题 考点一：集合的概念与表示考点一：集合的概念与表示 1.集合 A 中的元素由 x=a+b2(aZ,bZ)组成，判断下列元素与集合 A 的关系. （1）0； （2） 1 21 ； （3） 1 32 . 【解题思路解题思路】：（1）因为2000，所以A0 ； （2）因为211 12 1 ，所以A 12 1 ； （3）因为 11 312, 3,. 3232 A Z 难度分级难度分级:B 类类 2.已知集合 A=y|y=x-1，xR，B=(x,y)|y=x2-1，xR，C=x|y=x+1，y3，求()ACB. 【解题思路解题思路】： A=y|y=x-1，xR=R 是数集，B=(x,y)|y=x2-1，xR是点集， C=x|y=x+1，y3=x|x2， ()ACB=. 难度分级难度分级:A 类类 3.已知集合 A=x|x2+4ax-4a+3=0， B=x|x2+(a-1)x+a2=0，C=x|x2+2ax-2a=0， 4 其中至少有一个集合不是空集，求实数 a 的取值范围. 【解题思路解题思路】： 当三个集合全是空集时，所对应的三个方程都没有实数解. 方程都没有实数解， 即 2 1 22 2 2 3 164( 43)0 (1)40 480 aa aa aa 解此不等式组，得 3 1 2 a 所求实数 a 的取值范围为 a 3 2 ,或 a-1. 难度分级难度分级:B 类类 考点二：集合中元素的特征考点二：集合中元素的特征 4.集合3，x，x22x中，x 应满足的条件是_. 【解题思路解题思路】：x1 且 x0 且 x3. 难度分级：难度分级：A 类类 5.设集合,Pxy xy xy， 2222 ,0Qxyxy，若PQ，求, x y的值及集合P、 Q 【解题思路解题思路】：PQ且0Q，0P （1）若0xy或0xy，则 22 0xy，从而 22,0,0 Qxy，与集合中元素的互异性 矛盾，0xy且0xy； （2）若0xy ，则0x 或0y 当0y 时，, ,0Px x，与集合中元素的互异性矛盾，0y ； 当0x 时，, ,0Py y ， 22 ,0Qyy， 由PQ得 2 2 0 yy yy y 或 2 2 0 yy yy y 由得1y ，由得1y ， 5 0 1 x y 或 0 1 x y ，此时1, 1,0PQ 难度分级难度分级:B 类类 6.设 S 是满足下列两个条件的实数所构成的集合： 1S，若aS，则 1 1 S a ， 请解答下列问题： （1）若 2S，则 S 中必有另外两个数，求出这两个数； （2）求证：若，则.aS 1 1S a （3）在集合 S 中元素能否只有一个？请说明理由； （4）求证：集合 S 中至少有三个不同的元素. 【解题思路解题思路】：（1）要求的两个数为； 1 1, 2 （2）若，. 1 , 1 aSS a 则 11 1 1 1 1 S a a 1 ,1aSS a 若则 （3）集合 S 中的元素不能只有一个. 证明：假设集合 S 中只有一个元素，则根据题意知 a= 1 1 a ,此方程无解，a 1 1 a 集合 S 中的元素不能只有一个. （4）证明：由（2）知，aS， 1 1S a ， 现在证明 a， 1 1 a ， 1 1 a 三个数互不相等. 若 a= 1 1 a ,此方程无解，a 1 1 a 若 a= 1 1 a ，此方程无解，a 1 1 a 若 1 1 a = 1 1 a ，此方程无解， 1 1 a 1 1 a 综上所述，集合 S 中至少有三个不同的元素. 难度分级：难度分级：C 类类 考点二：交集、并集、补集的含义及其运算考点二：交集、并集、补集的含义及其运算 7. (2010南京模拟)已知集合 Mx|y2x1，Px|y22(x3)，那么 MP . 【解题思路解题思路】：由 M：xy211，即 Mx|x1，由 P：x y233，即 Px|x3， 1 2 6 所以 MPx|1x3 答案: x|1x3 难度分级：难度分级：A 类类 8.已知集合 A 中有 10 个元素，集合 B 中有 6 个元素，全集 U 中有 18 个元素，且有 AB，设 集合U(AB)中有 x 个元素，则 x 的取值范围是_ 【解题思路解题思路】：因为当集合 AB 中仅有一个元素时，集合U(AB)中有 3 个元素，当 AB 中有 6 个元素时，U(AB)中有 8 个元素，即 3x8 且 x 为整数 答案:3x8 且 x 为整数. 难度分级：难度分级：B 类类 9.(2010盐城模拟)设全集 UR，Ax|0，UA1，n，则 m2n2_. x1 xm 【解题思路解题思路】：由UA1，n，知 A(，1)(n，)，即不等式0 的解集为 x1 xm (，1)(n，)，所以n1，m1，因此 m1，n1，所以 m2n22. 难度分级：难度分级：B 类类 10.若集合 2 |10,Ax xaxxR ，集合 1,2B ，且AB，求实数a的取值范围 【解题思路解题思路】：（1）若 A，则 2 40a ，解得22a ； （2）若1A，则 2 110a ，解得2a ，此时1A ，适合题意； （3）则 2 2210a ，解得 5 2 a ，此时 5 2, 2 A ，不合题意； 综上所述，实数的取值范围为 2,2)a 难度分级：难度分级：A 类类 11.写出阴影部分所表示的集合： 图 1 B U A C U B A 图 2 【解题思路解题思路】：（1）B（UA） (2)ABC. 难度分级：难度分级：B 级级 12.（2010 辽宁理）已知 A，B 均为集合 U=1,3,5,7,9的子集，且 AB=3,U BA=9, 7 则 A= . 【解题思路解题思路】：因为 AB=3，所以 3A，又因为U BA=9，所以 9A,所以 A=3,9.本题也 可以用 Venn 图的方法帮助理解. 难度分级：难度分级：B 类类 13.设集合 A=x|x2+4x=0，xR，B=x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，xR，若 BA，求实数 a 的取值范 围 【解题思路解题思路】：A=x|x2+4x=0，xR=0，-4, BA, B=或0，-4，0，-4. 当 B=时，=2(a+1)2-4(a2-1)0， 且满足(AB)C，(AB)CR，求实数 b，c 的值 【解题思路解题思路】：因为 Ax|2x1，Bx|13 或 x0 的解集为x|x3 或 x0，C=x|x2-4ax+3a20 时，C=（a，3a）. 8 (1) 要使 ABC，结合数轴知， 0 2 33 a a a 解得 1a2； (2) 类似地，要使 UU C AC BC ，必有 0 34 2 a a a 解得 4 2 3 a . 难度分级：难度分级：B 类类 【课堂训练】 1.若集合,cbaM 中元素是ABC 的三边长，则ABC 一定不是 三角形. 【解题思路解题思路】：根据集合中元素的互异性，a、b 和 c 互不相等，所以ABC 一定不是等腰三角形. 答案：等腰 难度分级：难度分级：A 类类 2.设集合 I=1，2，3，AI,若把集合 MA=I 的集合 M 叫做集合 A 的配集，则 A=1，2的配 集有 个. 【解题思路解题思路】：A 的配集中一定含有元素 3,余下两个元素 1，2 可以全不含、仅有一个、两个都有. 答案：4 难度分级：难度分级：B 类类 3.三个元素的集合1，a，也可表示为0，a2，a+b，求 a2011+ b2012的值 b a 【解题思路解题思路】：依题意得0 a b , 则 b=0.所以1 2 a , 则 1a.由互异性知1a . 所以 a2011+ b2012=-1. 难度分级：难度分级：B 类类 4.设集合 A=5，log2（a+3），集合 B=a，b.若 AB=2，则 AB=_. 【解题思路解题思路】：AB=2，log2（a+3）=2.a=1.b=2. A=5，2，B=1，2.AB=1，2，5. 答案：1，2，5. 难度分级：难度分级：A 类类 3.设 A=x|1x2，B=x|xa，若 A B，则 a 的取值范围是_. 【解题思路解题思路】：A B 说明 A 是 B 的真子集，利用数轴（如下图）可知 a1. 9 a 1 2 答案：a1. 难度分级：难度分级：A 类类 5.(2010苏州模拟)已知全集 UR，Mx|y，Px|，yM， x1 1 2 logyx 则(U M)(U P)_. 【解题思路解题思路】：M 是 y的定义域，即 Mx|x1，U Mx|x ， 1 2 logyx 1 2 1 2 (U M)(U P)x|x0 或 0 且 a1 ,f (log a x ) = 1 2 a a (x x 1 )，求 f(x)； 【解题思路】：（1） 33 3 1111 ()()3()f xxxx xxxx ， 3 ( )3f xxx（2x 或2x ） （2） 令 t=logax(tR)，则).(),( 1 )(),( 1 )(, 22 Rxaa a a xfaa a a tfax xxttt 难度分级：难度分级：B 类类 5. 已知( )f x是一次函数，且满足3 (1)2 (1)217f xf xx，求( )f x； 【解题思路】：设( )(0)f xaxb a， 则3 (1)2 (1)3332225217f xf xaxabaxabaxbax， 2a ，7b ，( )27f xx 难度分级：难度分级：B 类类 6. 已知( )f x满足 1 2 ( )( )3f xfx x ，求( )f x 【解题思路】： 1 2 ( )( )3f xfx x ，把中的x换成 1 x ，得 13 2 ( )( )ff x xx ， 2 得 3 3 ( )6f xx x ， 1 ( )2f xx x 难度分级：难度分级：B 类类 7. 求下列函数的值域: (1)23 5,6yxx (2)sin, 34 yxx ） 19 (3) 2 ( )log2,5f xxx (4) 2 (, 2yx x 【解题思路】:(1) -7,15; (2); (3)（1，log25）; (4)（0，1. 32 , 22 8. 求下列函数的值域 (1) 2 65yxx； (2) 31 2 x y x ； (3)4 1yxx . 【解题思路】：（1）设 2 65xx （0） ，则原函数可化为y 又 22 65(3)44xxx ，04，故0,2， 2 65yxx的值域为0,2 （2） 313(2)77 3 222 xx y xxx ， 7 0 2x ， 7 33 2x ， 函数 31 2 x y x 的值域为|3yR y （3）4 1yxx=1 2 ( 1)4 1xx 设10tx，则 2 1xt ， 原函数可化为 22 14(2)5(0)ytttt ，5y ， 原函数值域为(,5 难度分级：难度分级：A 类类 9. 求下列函数的值域 (1) 3 2log(2,3) x yxx (2) 3 23yxx x 【解题思路】：(1)显然函数在（2，3）上单调递增，所以函数的值域为（4+log32，9） (3) 函数在（3，）上单调递增，所以函数的值域为（7，）. 难度分级：难度分级：A 类类 10. 求 y=|x-1|+x2的值域 20 【解题思路】： 2 2 11 11 xxx y xxx 当 x1 时，y1，当 x1 时，y 3 4 ，所以函数的值域为. 3 , 4 难度分级：难度分级：A 类类 11. 求证：函数 f(x)= x3+1 在区间(,+ )上是单调减函数. 【解题思路】证明：设 x1，x2R 且 x1x1，x22+x1x2+x120,所以 f(x1) f(x2)0 即 f(x1)f(x2),所以 f(x)在(,+ )上递减. 难度分级：难度分级：A 类类 12. 求证： 1 ( )f xx x 在区间(0,1)上是减函数 【解题思路】证明：设 12 01xx，则 2112 0,01xxx x . 21 ()( )f xf x 21 21 21 21 21 21 12 12 21 12 11 ()() 11 ()() () () (1) ()0 xx xx xx xx xx xx x x x x xx x x 即 21 ()( )f xf x .故 1 ( )f xx x 在区间(0,1)上是减函数 难度分级：难度分级：B 类类 13. 讨论函数 2 1 )( x ax xf) 2 1 (a在), 2(上的单调性. 【解题思路】： 1 ( ) 2 ax f x x 21 2 2 1 2 1 2 axaa x a x 设 12 2xx ，则 21 2121 12 21 2121 (2)(2)0,0 ()1 21 2 ()()(1 2 ) 22(2)(2) xxxx xxaa f xf xa xxxx 12 21 () 0 (2)(2) xx xx 当 1 2 a 时， 21 ()( )f xf x，此时函数 2 1 )( x ax xf) 2 1 (a在), 2(上是单调减函数； 当 1 2 a 时， 21 ()( )f xf x，此时函数 2 1 )( x ax xf) 2 1 (a在), 2(上是单调增函数. 难度分级：难度分级：B 类类 14. 求函数 2 0.7 log(32)yxx的单调区间； 【解题思路】：（1）单调减区间为：(2,),单调增区间为(,1). 难度分级：难度分级：B 类类 15.判断下列函数的奇偶性： (1) 3 ( )f xxx ; (2) ( )31f xx ; (3) 64 ( )8f xxx， 2,2)x ; (4)( )0f x ; (5) 42 ( )23f xxx . 【解题思路】(1) 函数 3 ( )f xxx的定义域为R，关于原点对称， 且 33 ()()()( )fxxxxxf x ，所以该函数是奇函数. (2)函数( )31f xx的定义域为R，关于原点对称， ()3() 131( )fxxxf x 且()( )fxf x ，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数， 即是非奇非偶函数. (3) 函数 64 ( )8f xxx， 2,2)x 的定义域为 2,2)不关于原点对称，故该函数是非奇非偶 函数. (4)函数( )0f x 的定义域为R，关于原点对称，()0( )( )fxf xf x ，所以该函数既是奇 函数又是偶函数. (5) 函数 42 ( )23f xxx的定义域为R，关于原点对称， 4242 ()2()3()23( )fxxxxxf x，所以该函数是偶函数. 22 难度分级：难度分级：A 类类 16. 已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x(，0)时，f(x)xlg(2x)，求 f(x)的解析式 【解题思路】 f(x)是奇函数，可得 f(0)f(0)，f(0)0. 当 x0 时，x0) f(x)Error! 即 f(x)xlg(2|x|) (xR) 难度分级：难度分级：B 类类 17. (2010温州一模)设奇函数 f(x)的定义域为5,5，当 x0，5时，函数 yf(x)的图象如图所示， 则使函数值 y0 且 a1)的图象关于直线 x1 对称，则 a_. 【解题思路】： g(x)上的点 P(a,1)关于直线 x1 的对称点 P(2a,1)应在 f(x)ax上， 1aa2.a20，即 a2. 难度分级：难度分级：B 类类 【课堂训练】 1. 求下列函数的定义域： （1）y= 2 12 )2lg( xx x +(x-1)0 ; (2)y= ) 34lg( 2 x x +(5x-4)0; (3)y= 2 25x+lgcosx; 【解题思路】：（1）由 01 , 012 02 2 x xx x 得 1 , 43 2 x x x 所以-3x2 且 x1. 故所求函数的定义域为（-3，1）(1,2). （2）由 045 , 134 034 x x x 得 5 4 , 2 1 4 3 x x x 函数的定义域为)., 5 4 () 5 4 , 2 1 ( 2 1 , 4 3 （3）由 0cos 025 2 x x ,得, )( 2 2 2 2 55 Zkkxk x 借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为.5 , 2 3 ) 2 , 2 ( 2 3 , 5 难度分级：难度分级：A 类类 2. 设函数 y=f(x)的定义域为0，1 ，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f( x 1 ); (3) y=f() 3 1 () 3 1 xfx; (4)y=f(x+a)+f(x-a). 24 【解题思路】：（1）03x1,故 0x 3 1 ,y=f(3x)的定义域为0, 3 1 . （2）仿（1）解得定义域为1，+). （3）由条件，y 的定义域是 f) 3 1 ( x与) 3 1 ( x定义域的交集. 列出不等式组, 3 2 3 1 3 4 3 1 3 2 3 1 1 3 1 0 1 3 1 0 x x x x x 故 y=f) 3 1 () 3 1 (xfx的定义域为 3 2 , 3 1 . （）由条件得, 1 1 10 10 axa axa ax ax 讨论： 当 ,11 ,1 aa aa 即 0a 2 1 时，定义域为a,1-a; 当 ,1 , aa aa 即- 2 1 a0 时，定义域为-a,1+a. 综上所述：当 0a 2 1 时，定义域为a，1-a ；当- 2 1 a0 时，定义域为-a，1+a. 难度分级：难度分级：B 类类 3. 已知 f（x）+g（x）=3x+2x，且 f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，求 f（x）的解析式. 答案： 11 ( )322 xx f xx . 难度分级：难度分级：B 类类 4. 已知函数(x)=f(x)g(x)，其中 f(x)是 x 的正比例函数，g(x)是 x 的反比例函数，且( 1 3 )=16， (1)=8求(x)的解析式，并指出定义域； 【解题思路】：设 f(x)=ax，g(x)= b x ，a、b 为比例常数，则(x)=f(x)g(x)=ax+ b x 由 8 163 3 1 8) 1 ( ,16) 3 1 ( ba ba 得 ，解得 5 3 b a （x)=3x+，其定义域为( ，0)(0，) . 5 x 难度分级：难度分级：B 类类 5. 25f xx2,5x的值域是 . 【解题思路】：9,15. 难度分级：难度分级：A 类类 6. （1） 2 25f xxx的最小值为 ，值域为 . 25 （2） 2 250,3f xxxx的值域为 . 【解题思路】：（1）4，4,；（2）4,8. 难度分级：难度分级：A 类类 7. 1 ,3, 1yx x 的值域是 . 【解题思路】： 1 1, 3 . 难度分级：难度分级：A 类类 8. 求下列函数的值域： （1）y= 52 1 x x ; (2)y=|x| 2 1x.（3）y=x+ x 4 【解题思路】：（1）(分离常数法)y=- )52(2 7 2 1 x ， )52(2 7 x 0,y- 2 1 . 故函数的值域是y|yR,且 y- 2 1 . （2） y=|x|, 4 1 ) 2 1 (1 22242 xxxx0y, 2 1 即函数的值域为 2 1 , 0. （3）任取 x1,x2,且 x1x2, 因为 f(x1)-f(x2)=x1+ 1 4 x -(x2+ 2 4 x )=, )4)( 21 2121 xx xxxx 所以当 x-2 或 x2 时，f(x)递增,当-2x0 或 0x2 时，f(x)递减. 故 x=-2 时，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2 时，f(x)最小值=f(2)=4, 所以所求函数的值域为（-，-44，+）. 难度分级：难度分级：A 类类 9. 已知 f(x)=(exa) 2 + (exa) 2 (a0). （1）f(x)将表示成 u= 2 xx ee 的函数； （2）求 f(x)的最小值 【解题思路】：（1）将 f(x) 展开重新配方得，f(x)=(ex+ex) 2 2a(ex+ex)+2a 2 2， 令 u= 2 xx ee ，得 f(x)=4u 2 4au+2 a 2 2(u1). (2)因为 f(u)的对称轴是 u= 2 a ，又 a0 , 所以当20 a时，则当 u=1 时，f(u)有最小值，此时 f(u)min =f(1)=2(a1) 2 . 26 当 a2 时，则当 u= 2 a 时，f(u)有最小值，此时 f(u)min=f ( 2 a )=a 2 2. 所以 f(x)的最小值为 f(x)min= )2(2 ),20() 1(2 2 2 aa aa . 难度分级：难度分级：C 类类 10. 若 f(x)= 2 1 x ax 在区间（2，）上是增函数，求 a 的取值范围. 【解题思路】：设 12 1212 12 11 2,()() 22 axax xxf xf x xx 1221 12 12121221 12 112212 1212 (1)(2)(1)(2) (2)(2) (22)(22) (2)(2) 22(21)() (2)(2)(2)(2) axxaxx xx ax xaxxax xaxx xx axxaxxaxx xxxx 由 f(x)= 2 1 x ax 在区间（2，）上是增函数得 12 ()()0f xf x , 210a a 2 1 . 难度分级：难度分级：B 类类 11. 求函数 y= xx2 2 ) 2 1 ( 的单调区间. 【解题思路】：定义域是 R.令xxu2 2 ，则 u y) 2 1 (. 当 1 ,(x时函数xxu2 2 为增函数， u y) 2 1 (是减函数，所以函数 y= xx2 2 ) 2 1 ( 在 1 ,(上是减函数；当), 1 x时函数xxu2 2 为减函数， u y) 2 1 (是减函数，所以函数 y= xx2 2 ) 2 1 ( 在上), 1 是增函数. 综上，函数 y= xx2 2 ) 2 1 ( 的单调增区间是), 1 ，单调减区间是 1 ,(. 难度分级：难度分级：A 类类 12. 解关于 x 的对数不等式 2 loga (x4)loga(x2). 【解题思路】：原不等式等价于 , 02 , 04 ),2(log)4(log 2 x x xx aa 27 (1)当 a1 时，又等价于 , 02 , 04 , 2)4( 2 x x xx 解之，得 x6. (2)当 01 时，为(6，+ )；当 01，nN * 负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作00 n . 当n是奇数时，aa nn ，当n是偶数时， )0( )0( | a a a a aa nn 2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1, 0( * nNnmaaa nm n m ， ) 1, 0( 11 * nNnma a a a nm n m n m 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 （1）), 0(Rsra； rsr s aaa （2） rssr aa)( ), 0(Rsra； （3）()(0,) rrr aba b arR （二）指数函数及其性质（二）指数函数及其性质 1.指数函数的概念：一般地，函数) 1, 0(aaay x 且叫做指数函数，其中 x 是自变量，函 数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1 32 2、指数函数的图象和性质 a1010f(n)，则 m、n 的大小关系 51 2 35 为_ 【解题思路】： 0f(n)，m0 且 a1)在 x1,1上的最大值为 14，求 a 的值 【解题思路】：令 axt，t0，则 yt22t1(t1)22，其对称轴为 t1.该二次函数在 1，)上是增函数 若 a1，x1,1，tax，故当 ta，即 x1 时，ymaxa22a114， 1 a，a 解得 a3(a5 舍去) 若 0log79log891log88，log79log891， 2 2 (log 9) 即19log9log9log 87 2 2 1 . x y) 2 1 (在 R 上是减函数，1 3 ) 2 1 ( 0. ( 1 2) 又n. m n 难度分级：难度分级：B 类类 2.设45100 ab ，求 12 2() ab 的值. 【解题思路】：45100 ab ,lg4lg52ab, 22 lg4,lg5 ab 12 2() ab lg4lg25lg1002. 难度分级：难度分级：B 类类 3.若函数 ylg(34xx2)的定义域为 M.当 xM 时，求 f(x)2x234x的最值及相应的 x 的值 【解题思路】：ylg(34xx2)，34xx20，解得 x3，Mx|x3， f(x)2x234x42x3(2x)2.令 2xt，x3，t8 或 08 或 08 时，f(x)(，160)， 4 4, 3 当 2xt ，即 xlog2时，f(x)max . 2 3 2 3 4 3 40 综上可知：当 xlog2时，f(x)取到最大值为 ，无最小值 2 3 4 3 难度分级：难度分级：B 类类 4.已知函数 f(x)3x，f(a2)18，g(x)3ax4x的定义域为0,1 (1)求 a 的值； (2)若函数 g(x)在区间0,1上是单调递减函数，求实数 的取值范围 【解题思路】：方法一方法一 (1)由已知得 3a2183a2alog32. (2)由(1)得 g(x)2x4x，设 0x1y1，则下列关系式中正确的序号是 . 41 axay xaya logaxlogay logxalogya 【解题思路】： 0y1，yax递减，故不正确； yxa递增，故正确； ylogax 递减，故不正确 logxalogyalogax1.301，0.71.30. 难度分级：难度分级：B 类类 4.解不等式：(1) 2 93 xx ; (2)3 42 60 xx . 【解题思路】：(1) 2 93 xx , 22 33 xx . 又3xy 在定义域上是增函数,原不等式等价于22xx ,解之得 2x . 原不等式的解集为 |2x x . (2)3 42 60 xx 可以整理为3 42 6 xx . 40,60 xx ， 42 63 x x 即 1 22 ( )( ) 33 x ， 又 2 ( ) 3 x y 在定义域上是减函数，1x . 故原不等式的解集为 |1x x 难度分级：难度分级：B 类类 5.若函数(1)xya在R上是减函数，则实数a的取值范围是 【解题思路】：(0,1) 难度分级：难度分级：A 类类 6.已知函数 f(x)=ax(a0，且 a1)，根据图象判断 2 1 f(x1)+f(x2)与 f( 2 21 xx )的大小，并加以证明. 【解题思路】：由 a1 及 00. 所以 f(x1)+f(x2)-2 f( 2 21 xx )0.即 f(x1)+f(x2) f( 2 21 xx ). 1 2 难度分级：难度分级：B 类类 7.求下列函数的定义域与值域. (1)y= 1 1 2 10 x x ；(2)y= 2 2 ) 2 1 ( xx ；(3)y= 9 1 3 12 x 【解题思路】：（1）令01 1 2 x x ，得0 1 1 x x .解得 x1 或 x1 时，恰有一实根 则正确结论的编号为 . 【解题思路】： f(-2)=-2(-3)(-1)+0.01=-5.990，即 f(-2)f(-1)0，由图知 f(x)=0 在(-1,0)上没有实数根，所以不正确 又f(0.5)=0.5(-0.5)1.5+0.01=-0.3650，即 f(0.5)f(1)0 且 f(x)在(1，+)上是增函数，f(x)0，f(x)=0 在(1，+)上没有实根 不正确并且由此可知也正确 难度分级：难度分级：B 类类 4.若函数 f(x)=a x -x-a(a0 且 a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 . 48 【解题思路】： 设函数(0, x yaa且1a 和函数yxa,则函数 f(x)=a x -x-a(a0 且 a1)有两个零点, 就是函数(0, x yaa且1a 与函数yxa有两个交点,由图象可知当 10 a时两函数只有一个交点,不符合,当1a时,因为函数(1) x yaa的图象过点(0,1),而直 线yxa所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是1a . 难度分级：难度分级：B 类类 5.当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围： （1）方程 2 340axxa的两根都小于1； （2）方程02 2 axx至少有一个实根小于1 【解题思路】： （1）当0a 时，0x 满足题意 当0a 时，设 2 ( )34f xaxxa. 若要方程两根都小于 1，只要 2 33 9 160 44 33 10 22 3(1)0 0 5 a a aa a af aa 3 0 4 a 综上，方程的根都小于 1 时， 3 0 4 a （2）设 2 ( )2f xxax，若方程的两个实根都小于 1 ，则有 2 80 2 22 2 12 2 3 ( 1)0 a aa a a a f 2 23a 若方程的两个根一个大于-1，另一个小于-1，则有( 1)30fa, 3a 若方程的两个根中有一个等于1，由根与系数关系知另一根必为2， 12a ， 3a 综上，方程至少有一实根小于1时， 2 2a 难度分级：难度分级：B 类类 6.已知二次函数 2 ( )f xaxbxc和一次函数( )g xaxb，其中abc，且(1)0f， （1）求证：两函数( )f x、( )g x的图象交于不同两点A、B； 49 （2）求线段AB在x轴上投影 11 AB长度的取值范围 【解题思路】： （1）(1)0fabc，abc，0a ,0c 由 2 yaxbxc yaxb 得 2 ()0axba xcb ， 因为 2 ()40baac ,所以两函数( )f x、( )g x的图象必交于不同的两点； （2）设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，则 2 11 |AB 22 12 ()(2)4 c xx a 0abc， abc， 1 2 2 c a , 11 |AB （ 2 3 ，32） 难度分级：难度分级：B 类类 7.关于 x 的二次方程 x2(m1)x10 在区间0,2上有解，求实数 m 的取值范围 【解题思路】： 设 f(x)x2(m1)x1，x0,2， 若 f(x)0 在区间0,2上有一解，f(0)10，则应有 f(2)0， 又f(2)22(m1)21，m . 3 2 若 f(x)0 在区间0,2上有两解，则 Error!，Error!.Error!， m1. 3 2 由可知 m1. 难度分级：难度分级：B 类类 【课堂训练】 8.已知函数 axexf x 2)( 有零点，则a的取值范围是_ 【解题思路】： ( ,2ln22 . 难度分级：难度分级：A 类类 9.利用函数图象判断下列方程有没有实数根，有几个实数根： (1) 0127 2 xx；(2)0)2lg( 2 xx； (3)013 3 xx； (4)0ln3 1 x x . 10. 设全集为 R，集合 |sin(2), 642 Ay yxx ，集合|RBa关于 x 的方程 01 2 axx的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上. 求（RA）(RB). 50 【解题思路】：由2 422 xx , 51 2,sin(2)1 36626 xx ， 即 1 |1 2 Ayy,RA 1 |1 2 y yy 又关于 x 的方程 01 2 axx的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上， 设函数1)( 2 axxxf，则满足 (0)0, 20 (1)0, 520 (2)0, f a f a f ， 5 2 2 a 5 |2 2 RB a aa （RA）(RB) 15 | 21 22 xxxx 难度分级：难度分级：B 类类 11. 设 1 x与 2 x分别是实系数方程 2 0axbxc和 2 0axbxc的一个根，且 1212 ,0,0xxxx ，求证：方程