中考专题复习之函数与圆的综合应用教案.doc

【教学标题】2014年中考专题复习之函数与圆的综合应用（教案）【专题诠释】此类题型以中考压轴题形式出现，分值较高考核学生对知识的综合应用能力，突破此类题的关键在于数形结合，画图分析、分类讨论。【例题讲解】【例1】如图1，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上， 交轴于 两点，交轴于两点，且为的中点，交轴于点，若点的坐标为（2，0），(1)求点的坐标. (2)连结，求证：;(3)如图2，过点作的切线，交轴于点.动点在的圆周上运动时，的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律. 解（）点的坐标为（，）3分（）设半径，则,由得：（）解得：1分,即分,3分（）连结，则，；（说明：直接使用射影定理不扣分）即 分当点与点重合时：当点与点重合时：当点不与点、重合时：连接、综上所述，的比值不变，比值为 【例2】如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B已知抛物线过点A和B，与y轴交于点C（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（2）点Q（8，m）在抛物线上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQPB的最小值（3）CE是过点C的M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式解：（1）抛物线的解析式为故C（0，2）（说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）（2）如图，抛物线对称轴l是x4Q（8，m）抛物线上，m2过点Q作QKx轴于点K，则K（8，0），QK2，AK6，AQ又B（6，0）与A（2，0）关于对称轴l对称，PQPB的最小值AQCAMBxyODEQPK图lCAMBxyODE图（3）如图，连结EM和CM由已知，得EMOC2CE是M的切线，DEM90，则DEMDOC又ODCEDM故DEMDOCODDE，CDMD又在ODE和MDC中，ODEMDC，DOEDEODCMDMC则OECM设CM所在直线的解析式为ykxb，CM过点C（0，2），M（4，0），解得直线CM的解析式为又直线OE过原点O，且OECM，则OE的解析式为yx【例3】已知：，点在射线上，（如图1）为直线上一动点，以为边作等边三角形（点按顺时针排列），是的外心（1）当点在射线上运动时，求证：点在的平分线上；（2）当点在射线上运动（点与点不重合）时，与交于点，设，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）若点在射线上，圆为的内切圆当的边或与圆相切时，请直接写出点与点的距离图10备用图2解：（1）证明：如图3，连结，是等边三角形的外心，圆心角当不垂直于时，作，垂足分别为由，且，点在的平分线上当时，即，点在的平分线上综上所述，当点在射线上运动时，点在的平分线上图3图4（2）解：如图4，平分，且，由（1）知，定义域为：（3）解：如图5，当与圆相切时，；如图6，当与圆相切时，；如图7，当与圆相切时，图5图6图7【过手训练】1如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.（1）解：设抛物线为.抛物线经过点（0，3），.抛物线为.3分 (2) 答：与相交. 证明：当时，.为（2，0），为（6，0）.设与相切于点，连接，则.，.又，.抛物线的对称轴为，点到的距离为2.抛物线的对称轴与相交. (3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.可求出的解析式为.设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.,当时，的面积最大为.此时，点的坐标为（3，）. 2.为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在RtABC内修建矩形水池DEFG，使定点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边BC，AC上；又分别以AB，BC，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其中AB=24米，BAC=60，设EF=x米，DE=y米（1）求y与x之间的函数解析式；（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的 ？解：（1）在RtABC中，ACB=90，AB=24米，BAC=60，AC=AB=12米，BC=AC=36米，ABC=30，AD=x，BE=x，AD+DE+BE=AB，x+y+x=24，y=24-x-x=24-x，即y与x之间的函数解析式为y=24-x（0x18）；（2）y=24-x，矩形DEFG的面积=xy=x（24-x）=-x2+24x=-（x-9）2+108，当x=9米时，矩形DEFG的面积最大，最大面积是108平方米；（3）记AC、BC、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3，两弯新月面积为S，则S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，AC2+BC2=AB2，S1+S2=S3，S1+S2-S=S3-SABC，S=SABC，两弯新月的面积S=ACBC=1236=216（平方米）如果矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的，那么-（x-9）2+108=216，化简整理，得（x-9）2=27，解得x=93，符合题意所以当x为（93）米时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的3.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，-5）。（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与C有什么位置关系，并给出证明；（3）在抛物线上是否存在一点P，使ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由11解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x-3）2+4，将A（0，-5）代入求得：a=-1，抛物线解析式为y=-（x-3）2+4=-x2+6x-5（2）抛物线的对称轴l与C相离证明：令y=0，即-x2+6x-5=0，得x=1或x=5，B（1，0），C（5，0）如答图所示，设切点为E，连接CE，由题意易证RtABORtBCE，即，求得C的半径CE=；而点C到对称轴x=3的距离为2，2，抛物线的对称轴l与C相离（3）存在理由如下：有两种情况：（I）如答图所示，点P在x轴上方A（0，-5），C（5，0），AOC为等腰直角三角形，OCA=45；PCAC，PCO=45过点P作PFx轴于点F，则PCF为等腰直角三角形设点P坐标为（m，n），则有OF=m，PF=CF=n，OC=OF+CF=m+n=5 又点P在抛物线上，n=-m2+6m-5 联立式，解得：m=2或m=5当m=5时，点F与点C重合，故舍去，m=2，n=3，点P坐标为（2，3）；（II）如答图所示，点P在x轴下方A（0，-5），C（5，0），AOC为等腰直角三角形，OAC=45；过点P作PFx轴于点F，PAAC，PAF=45，即PAF为等腰直角三角形设点P坐标为（m，n），则有PF=AF=m，OF=-n=OA+AF=5+m，m+n=-5 又点P在抛物线上，n=-m2+6m-5 联立式，解得：m=0或m=7当m=0时，点F与原点重合，故舍去，m=7，n=-12，点P坐标为（7，-12）综上所述，存在点P，使ACP是以AC为直角边的直角三角形点P的坐标为（2，3）或（7，-12）【拓展训练】如图，在平面直角坐标系xOy中，一动直线l从y轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线l与直线y=x相交于点P，以OP为半径的P与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B设直线l的运动时间为t秒（1）填空：当t=1时，P的半径为 ，OA= 2，OB= 2；（2）若点C是坐标平面内一点，且以点O、P、C、B为顶点的四边形为平行四边形请你直接写出所有符合条件的点C的坐标；（用含t的代数式表示）当点C在直线y=x上方时，过A、B、C三点的Q与y轴的另一个交点为点D，连接DC、DA，试判断DAC的形状，并说明理由解：（1），OA=2，OB=2；（2）符合条件的点C有3个，如图1连接PA，AOB=90，由圆周角定理可知，AB为圆的直径，点A、P、B共线圆心P在直线y=x上，POA=POB=45，又PO=PA=PB，POB与POA均为等腰直角三角形设动直线l与x轴交于点E，则有E（t，0），P（t，t），B（0，2t）OBPC1为平行四边形，C1P=OB=2t，C1E=C1P+PE=2t+t=3t，C1（t，3t）；同理可求得：C3（t，-t）；OPBC2为平行四边形，且PB=PO，OPB=90，OPBC2为正方形，其对角线OB位于y轴上，则点P与点C2关于x轴对称， C2（-t，t）；符合条件的点C有3个，分别为C1（t，3t）、C2（-t，t）、C3（t，-t）；（3）DAC是等腰直角三角形理由如下：当点C在第一象限时，如图2，连接DA、DC、PA、AC由（2）可知，点C的坐标为（t，3t），由点P坐标为（t，t），点A坐标为（2t，0），点B坐标为（0，2t），可知OA=OB=2t，OAB是等腰直角三角形，又PO=PB，进而可得OPB也是等腰直角三角形，则POB=PBO=45AOB=90，AB为P的直径，A、P、B三点共线，又BCOP，CBE=POB=45，ABC=180-CBE-PBO=90，AC为Q的直径，DADC，CDE+ADO=90过点C作CEy轴于点E，则有DCE+CDE=90，ADO=DCE，RtDCERtADO，即，解得OD=t或OD=2t依题意，点D与点B不重合，舍去OD=2t，只取OD=t，=1，即相似比为1，此时两个三角形全等，则DC=AD，DAC是等腰直角三角形（11分）当点C在第二象限时，如图3，同上可证DAC也是等腰直角三角形 综上所述，当点C在直线y=x上方时，DAC必为等腰直角三角形【课后作业】1.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（-，0），以0C为直径作半圆，圆心为D（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MNBE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由6解：（1）由题意，得A（0，2），B（2，2），E的坐标为（-，0），则，解得，该二次函数的解析式为：y=-x2+x+2；（2）如图1，过点D作DGBE于点G由题意，得ED=+1=，EC=2+=，BC=2，BE=BEC=DEG，EGD=ECB=90，EGDECB，DG=1D的半径是1，且DGBE，BE是D的切线；（3）如图2，由题意，得E（-，0），B（2，2）设直线BE为y=kx+h（k0）则，解得，直线BE为：y=x+直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1，点P的纵坐标y=，即P（1，）MNBE，MNC=BECC=C=90，MNCBEC，则CN=t，DN=t-1，SPND=DNPD=（t-1）=t-SMNC=CNCM=tt=t2S梯形PDCM=（PD+CM）CD=（+t）1=+tS=SPND+S梯形PDCM-SMNC=-t2+t（0t2）抛物线S=-t2+t（0t2）的开口方向向下，S存在最大值当t=1时，S最大=2.如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），M经过原点O及点A、B（1）求M的半径及圆心M的坐标；（2）过点B作M的切线l，求直线l的解析式；（3）BOA的平分线交AB于点N，交M于点E，求点N的坐标和线段OE的长考点：圆的综合题专题：综合题分析：（1）根据圆周角定理AOB=90得AB为M的直径，则可得到线段AB的中点即点M的坐标，然后利用勾股定理计算出AB=10，则可确定M的半径为5；（2）点B作M的切线l交x轴于C，根据切线的性质得ABBC，利用等角的余角相等得到BAO=CBO，然后根据相似三角形的判定方法有RtABORtBCO，所以=，可解得OC=，则C点坐标为（，0），最后运用待定系数法确定l的解析式；（3）作NDx轴，连结AE，易得NOD为等腰直角三角形，所以ND=OD，ON=ND，再利用NDOB得到ADNAOB，则ND：OB=AD：AO，即ND：6=（8ND）：8，解得ND=，所以OD=，ON=，即可确定N点坐标；由于ADNAOB，利用ND：OB=AN：AB，可求得AN=，则BN=10=，然后利用圆周角定理得OBA=OEA，BOE=BAE，所以BONEAN，再利用相似比可求出ME，最后由OE=ON+NE计算即可解答：解：（1）AOB=90，。AB为M的直径，A（8，0），B（0，6），OA=8，OB=6，AB=10，M的半径为5；圆心M的坐标为（4，3）；（2）点B作M的切线l交x轴于C，如图，BC与M相切，AB为直径，ABBC，ABC=90，CBO+ABO=90，而BAO=ABO=90，BAO=CBO，RtABORtBCO，=，即=，解得OC=，C点坐标为（，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（0，6）、C点（，0）分别代入，解得，直线l的解析式为y=x