高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1不等式的基本性质学案含解析.docx

1不等式的基本性质1实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小在数轴上，右边的数总比左边的数大(2)如果ab0，则ab；如果ab0，则ab；如果ab0，则ab.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差与0的大小；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差与0的大小2不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即abba.(2)如果ab，bc，那么ac.即ab，bcac.(3)如果ab，那么acbc.(4)如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acb0，那么anbn(nN，n2)(6)如果ab0，那么(nN，n2)3对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘一个数仍为等式，但不等式两边同乘同一个数c(或代数式)结果有三种：c0时得同向不等式；c0时得等式；cbd，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而ab0，cd0acbd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除(3)性质(5)(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且nN，n2，否则结论不成立而当n取正奇数时可放宽条件，abanbn(n2k1，kN)，ab(n2k1，kN*)实数大小的比较已知x，y均为正数，设m，n，试比较m和n的大小mn，x，y均为正数，x0，y0，xy0，xy0，(xy)20.mn0，即mn(当xy时，等号成立)比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤是：作差变形判断差的符号结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等1已知a，bR，比较a4b4与a3bab3的大小解：因为(a4b4)(a3bab3)a3(ab)b3(ba)(ab)(a3b3)(ab)2(a2abb2)(ab)20.当且仅当ab时，等号成立，所以a4b4a3bab3.2在数轴的正半轴上，A点对应的实数为，B点对应的实数为1，试判断A点在B点的左边，还是在B点的右边？解：因为10，所以1.当且仅当a时，等号成立，所以当a时，A点在B点左边，当a时，A点与B点重合.不等式的证明已知ab0，cd0，e.可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明法一：，ab0，cd0，ba0，cd0.bacd0，c0.同理bd0，(ac)(bd)0.e0，即.法二：.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件3已知x1，y1，求证：x2yxy21x2y2xy.证明：左边右边(yy2)x2(y21)xy1(1y)(1y)(xy1)(x1)因为x1，y1，所以1y0，xy10，x10.所以x2yxy21x2y2xy.4已知a，b，x，y都是正数，且，xy，求证：.证明：因为a，b，x，y都是正数，且，xy，所以，所以.故11，即.利用不等式的性质求范围(1)已知，求的取值范围(2)已知1ab1,1a2b3，求a3b的取值范围求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质(1)，且.且0.0.即的取值范围为(2)设a3b1(ab)2(a2b)(12)a(122)b.解得1，2.(ab)，2(a2b).a3b1.即a3b的取值范围为.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和5已知14，21，求2的取值范围解：设2m()n()，又14，21，2.2的取值范围为.6三个正数a，b，c满足abc2a，bac2b，求的取值范围解：两个不等式同时除以a，得将(1)，得两式相加，得112，解得.即的取值范围是.课时跟踪检测(一)1下列命题中不正确的是()A若，则ab B若ab，cd，则adbcC若ab0，cd0，则 D若ab0，acbd，则cd解析：选D当ab0，acad时，c，d的大小关系不确定2已知abc，则下列不等式正确的是()Aacbc Bac2bc2Cb(ab)c(ab) D|ac|bc|解析：选Cabcab0(ab)b(ab)c.3如果ab0，那么下列不等式成立的是()A. Babb2Caba2 D解析：选D对于A项，由ab0，ab0，故0，故A项错误；对于B项，由ab0，abb2，故B项错误；对于C项，由ab0，a2ab，即aba2，故C项错误；对于D项，由ab0，得ab0，故0，0a；0ab；a0b；ab0.能得出成立的有_(填序号)解析：由，得0，0，故可推得b1，c；acloga(bc)其中所有的正确结论的序号是_解析：由ab1，c0，得；幂函数yxc(c0)是减函数，所以acbc，所以logb(ac)loga(ac)loga(bc)，均正确答案：7已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是_解析：设z2x3ym(xy)n(xy)，即2x3y(mn)x(mn)y.解得2x3y(xy)(xy)1xy4,2xy3，2(xy)，5(xy).由不等式同向可加性，得3(xy)(xy)8，即3z0，b0，求证：ab.证明：ab(ab)，(ab)20恒成立，且已知a0，b0，ab0，ab0.0.ab.9已知6a8,2b3，分别求2ab，ab，的取值范围解：6a8，122a16.又2b3，102ab19.2b3，3b2.又6a8，9ab6.2b3，.当0a8时，04；当6a0时，30.综合得30，a1.(1)比较下列各式大小a21与aa；a31与a2a；a51与a3a2.(2)探讨在m，nN条件下，amn1与aman的大小关系，并加以证明解：(1)由题意，知a0，a1，a21(aa)a212a(a1)20.a21aa.a31(a2a)a2(a1)(a1)(a1)(a1)20，a31a2a，a51(a3a2)a3(a21)(a21)(a21)(a31)当a1时，a31，a21，(a21)(a31)0.当0a1时，0a31,