2013届高三数学二轮复习9.2数形结合思想.ppt

理解数形结合是高中数学的重要思想方法会运用数形结 合思想方法解决问题 纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解 决数学问题，往往事半功倍数形结合的重点是研究“以 形助数”，其中主要有两种主要的应用方向：第一是直接将 代数问题转 化为几何问题，解决几何问题后将其还原为 代数问题的答案；第二是在解题过程中，画出图形，并依 据图形信息的直观启示，探索修正解题思路与解题过程 数形结合作为一种重要的思想方法，已经渗透至数学的每 一分支中在高考试题中，大部分问题都可以用到这种思 想方法，无论是选择题 、填空题还是解答题它属于高 考重点考查的内容，2012年的高考仍将会作为重要的数学 思想方法加以考查 高考试题对 数形结合的考查主要涉及： (1)考查集合及其运算问题韦恩图与数轴； (2)考查用函数图象解决有关问题(如方程、不等式问题)； (3)考查运用向量解决有关问题； (4)考查三角函数图象及应用； (5)数轴及直角坐标系的广泛应用； (6)数学概念及数学表达式几何意义的应用； (7)解析几何中的数形结合 1数形结合思想的含义 (1)所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通 过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法 数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题 简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维 ，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活 性的有机结合 这种思想方法体现在解题中，就是在处理数学问题时 ， 能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思 索，促使抽象思维和形象思维的和谐统一，通过对规 范 图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为 精确，从而使问题得到解决 (2)数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应 用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性 来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比 如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于 数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作 为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲 线的几何性质 2数形结合的途径 (1)通过坐标系“形”“题”“数”解 借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化 这一方法在解析几何中体现的相当充分(在高考中主要也是 以解析几何作为知识载体来考查的)值得强调的是，形 题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧 (这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理) 实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点 的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的 对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的 概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结 构含有明显的几何意义如等式(x2)2(y1)24. (2)通过转化构造数题形解 许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与 形进行巧妙地转化例如，将a0与距离互化，将a2与面 积互化，将a2b2aba2b22|a|b|cos(60或 120)与余弦定理沟通，将abc0且bca中的a、b、 c与三角形的三边沟通，将有序实数对(或复数)和点沟通， 将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲 线对应 等等这种代数结构向几何结构的转化常常表现 为构造一个图形(平面的或立体的)另外，函数的图象也 是实现数形化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和 数形结合思想经常相伴而充分地发挥作用 例1 (1)已知函数f(x)满足下面关系：f(x1)f(x1) ；当x1,1时，f(x)x2，则方程f(x)lgx解的个数 是( ) A5 B7 C9 D10 答案 (1)C (2)D 解析 (1)由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为0,1的 函数 又f(x)lgx，则x(0,10，画出两函数图象， 则交点个数即为解的个数又lg101，故当x10时， 无交点由图象可知共9个交点 (2)f(x)为奇函数， f(x)f(x)2f(x) 画出y2f(x)的大致图象 如图，则f(x)与x异号的区间 如图阴影所示， 解集为(1,0)(0,1)，故选D. 评析 (1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、 对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思 想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个 熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两 熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象， 图象的交点个数即为方程解的个数 (2)解不等式问题经 常联系函数的图象，根据不等式中量 的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图 象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问 题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答 (3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经 常联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象 的最高、最低点的纵坐标 已知f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当0x3时，f(x)的 图象如图所示，那么不等式f(x)cosx0的解集是( ) 解析 在平面直角坐标系中作出函数y2xm及yf(x) 的图象(如图)，由于不等式f(x)2xm恒成立，所以函数y 2xm的图象应总在函数yf(x)的图象的下方，因此， 当x2时，y4m0，所以m4，所以m的取值 范围是4，) 评析 此题属于不等式恒成立问题，先利用图象的上、 下位置关系确定直线的位置，然后再求解即可解不等式 或证明不等式问题时经 常要结合函数的图象，根据不等 式中量的特点，选择恰当的两个(或多个)函数，利用函数 图象的上、下位置关系来确定不等式的解集或证明不等式 答案 D 解析 依题意：两函数的图象如图所示： 由两函数的对称性可知：交点A1，A2，A3，A4，A5，A6， A7，A8的横坐标满足x1x82，x2x72，x3x62， x4x52，即x1x2x3x4x5x6x7x88，故选 D. 在如图所示的aOb坐标平面内，满足约束条件的点(a， b)对应的平面区域为ABC(不包括边界) (3)(a1)2(b2)2表示区域内的点(a，b)与定点(1,2)之 间距离的平方， (a1)2(b2)2(8,17) 评析 此题所用思想方法是典型的数形结合法，理解所 求式子的几何意义，将代数问题成功地转化为几何问题 是关