2013届高三数学一轮复习课件第三章数列数列的综合应用.ppt

2013届高三数学一轮复习课件第三章数列数列 的综合应用 考 点考 纲 解 读 1运用数列的概念、公式、 性质解决简单的实际问题 以数列知识为载体考查数 学建模和运用数列知识解 决实际问题的能力. 数列的综合应用问题既能考查学生的潜能,又具有较强的区分度,创 新应用问题选材也可以用数列为背景,在近几年的高考试题中,在解 答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不仅可与函数、方程、不 等式相关联,还可与三角、几何、复数等知识相结合,题目新颖,难度 较大,对数学思想方法的运用和各种数学能力的要求较高,学生面对 问题时的心理压力也较大.在复习中要重视紧扣等差、等比数列的 性质和定义,做到合理地分析,灵巧地选择公式或性质,找到解决问题 的突破口与思路,本节内容在高考中主要考查等差、等比的综合问 题,递推与求和的综合,数列与其他知识的综合,数列实际应用.数列 是特殊的函数,而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具,三者 的综合求解是对基础和能力的双重检验,而三者的证明题是近几年 来高考热点.一般情况下,本节内容无论是选择题、填空题还是解答 题中都是以中档题与难题为主,难度较大. 数列的综合应用通常有三种的类型 1.数列知识范围内的综合应用 (1)等差、等比数列以及递推数列之间的综合应用; (2)紧扣等差、等比数列的定义和性质,作出合理的分析,灵巧地选择 公式或性质解决问题. 2.数列的实际应用问题 (1)构造等差、等比数列的模型,然后利用数列的通项公式和求和公 式求解; (2)通过归纳得到结论,再用数列知识求解. 运用数列知识解决实际应用问题时,应在认真审题的基础上,认清问 题的那一部分是数列问题,又是哪种数列(等差数列、等比数列)的 问题,在a,d(或q),n,an,Sn中哪些量是已知的,哪些量是待求的,特别是 认准项数n为多少.充分运用“观察归纳猜想证明”的方法, 建立等差(比)数列,递推数列的模型,再综合利用其他相关知识来解 决问题. 3.数列与其他分支知识的综合应用 (1)主要为数列与函数、方程、不等式、三角等高考重点知识的综合. (2)解决有关此类综合问题时,首先要认真审题、弄清题意,分析出涉 及哪些数学分支内容,在每个分支中各是什么问题;其次,要精心分 解,把整个大题分解成若干个小题或若干步骤,使它们成为在各自分 支中的基本问题;最后,分别求解这些小题或步骤,从而得到整个问题 的结论. 1.(2011年房山区期末)已知数列an的通项公式an=log2 (nN*), 设其前n项和为Sn,则使Sn15且nN*, n的最小值为16. 【答案】D 2.(2011年范水高中高三数学期末考试)某工厂的产量第二年比第一 年增长的百分率是p1,第三年比第二年增长的百分率为p2,若p1+p2=m (定值),则年平均增长的百分率的最大值是 . 【解析】设年平均增长的百分率为p, 可知(1+p)2=(1+p1)(1+p2)( )2, 1+p =1+ , p , p的百分率的最大值是 . 【答案】 3.(2011年石景山一模理14)函数y=x2(x0)的图象在点(an, )处的切 线与x轴交点的横坐标为an+1,nN*,若a1=16,则a3+a5= ,数列 an的通项公式为 . 【解析】由导数的几何意义可知,k=2x =2an,所以切线方程为y=2 anx- , 切线与x轴交点的横坐标0=2anan+1- ,可得an+1= an. a1=16,a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,a3+a5=5. an+1= an, an是以16为首项, 为公比的等比数列. an=16( )n-1=25-n. 【答案】5 25-n 4.某单位用3.2万元买了一台工作设备,已知该设备从启用的第一天 起连续使用,第n天的维修保养费为 元(nN*),使用它直至报废 最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少)为 止,一共使用了 ( ) (A)600天. (B)800天. (C)1000天. (D)1200天. 【解析】由第n天的维修保养费为 元(nN*),可以得出整个耗 资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值.设一共 使用了n天,则使用n天的平均耗资为 = + + ,当且仅当 = 时取得最小值,此时n=800. 【答案】B 题型1等差数列与等比数列的综合题 例1 (2011年浙江卷)已知公差不为0的等差数列an的首项a1 为a(aR),设数列的前n项和为Sn,且 , , 成等比数列. (1)求数列an的通项公式及Sn; (2)记An= + + + ,Bn= + + + ,当n2时,试比较 An与Bn的大小. 【分析】(1)抓住数列中的项的两重身份,由等比中项求出等差数列 的公差,从而求出其通项公式与前n项和Sn. (2)由(1)求出 的通项公式,利用裂项相消法求An,利用公式法求Bn,利 用二项式定理判断An与Bn的大小. 【解析】(1)设等差数列an的公差为d,由( )2= ,得(a1+d)2=a1(a1 +3d). 因为d0,所以d=a,所以an=na,Sn= . (2)因为 = ( - ), 所以An= + + + = (1- ). 因为 =2n-1a,所以Bn= + + + = = (1- ). 当n2时,2n= + + + n+1,即1- 0时,AnBn. 【点评】等差数列、等比数列是两种特殊数列,在处理等差数列与 等比数列的综合题时,要注意灵活运用它们的定义、性质,对于等比 数列还要注意对公比的讨论. 变式训练1 已知等差数列an的前n项和为Sn,公差d0,且S3+S5=50, a1,a4,a13成等比数列. (1)求数列an的通项公式; (2)若从数列an中依次取出第2项、第4项、第8项,第2n项,按 原来顺序组成一个新数列bn,记该数列的前n项和为Tn,求Tn的表达 式. (2)由已知得,bn= =22n+1=2n+1+1, Tn=b1+b2+bn=(22+23+2n+1)+n= +n=2n+2-4+n. 【解析】(1)依题意得 解得 an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即an=2n+1. 题型2数列与函数、方程、不等式的综合应用 例2 已知二次函数f(x)=x2-(m+2)x+m+2(xR)同时满足:不等 式f(x)0的解集有且只有一个元素;在定义域内存在x1,x2,使得x1+x 2=0,但f(x1)f(x2).设数列an的前n项和Sn=f(n). (1)求f(x)的表达式; (2)求数列an的通项公式. 【分析】由不等式f(x)0的解集有且只有一个元素,可得=0,再由 Sn可得an. 【解析】(1)f(x)0的解集有且只有一个元素,=-(m+2)2-4(m+2)=0, m=-2或m=2. 当m=-2时,函数f(x)=x2是一个偶函数,故不存在x1,x2,使得x1+x2=0,且f(x 1)f(x2). 当m=2时,函数f(x)=x2-4x+4,在定义域内存在x1,x2,使得x1+x2=0,且f(x1) f(x2), 故f(x)=x2-4x+4. (2)由(1)可知Sn=n2-4n+4,当n=1时,a1=S1=1, 当n2时,an=Sn-Sn-1=(n2-4n+4)-(n-1)2-4(n-1)+4=2n-5, an= 【点评】以函数知识为背景,以数列知识为辅,考查学生对知识的综 合把握,符合高考题在知识的交汇处出题的特点. 变式训练2 (江西省南康中学2011届下学期高三理科数学二轮专题 复习)已知函数f(x)= (xR),点P1(x1,y1),P2(x2,y2)是函数f(x)图象上 的两个点,且线段P1P2的中点P的横坐标为 . (1)求证:点P的纵坐标是定值; (2)若数列an的通项公式为an=f( )(mN*,n=1,2,m),求数列an 的前m项Sm. 【解析】(1)由题可知:x1+x2=2 =1, 所以y1+y2=f(x1)+f(x2)= + = = = = . 点P的纵坐标yp= = 是定值,问题得证. (2)由(1)可知:对任意自然数m,n,f( )+f( )= 恒成立. 由于Sm=f( )+f( )+f( )+f( )+f( )故可利用倒序求和的 方法. Sm=f( )+f( )+f( )+f( )+f( ),Sm=f( )+f( )+f( )+ +f( )+f( ), 2Sm=f( )+f( )+f( )+f( )+f( )+f( )+2f( )= (m- 1)+2f(1)= (3m-1), 所以Sm= (3m-1). 例3 (2011年湖南卷)某企业在第1年初购买一台价值为120万 元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减少,从第2年到第6年,每年 初M的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M的价值为上 年初的75%. 题型3数列在实际问题中的应用 (1)求第n年初M的价值an的表达式; (2)设An= ,若An大于80万元,则M继续使用,否则须在第n年 初对M更新,证明:须在第9年初对M更新. 【分析】分析理解题意,与等差、等比数列的定义相联系,注意分类 讨论求数列的和,借助数列的单调性求范围. 【解析】(1)当n6时,数列an是首项为120,公差为-10的等差数列. an=120-10(n-1)=130-10n, 当n6时,数列an是以a6为首项,公比为 的等比数列,又a6=70,所以 an=70( )n-6. 因此,第n年初,M的价值an的表达式an= (2)设Sn表示数列an的前n项和,由等差及等比数列的求和公式得 当1n6时,Sn=120n-5n(n-1), An=120-5(n-1)=125-5n; 当n7时,Sn=S6+(a7+a8+an)=570+70 41-( )n-6=780-210( )n6, An= , 因为an是递减数列,所以An是递减数列,又 A8= =82 80, A9= =76 80, 所以须在第9年初对M更新. 【点评】在实际问题中,常出现等差数列或等比数列模型,利用所学 到的等差、等比数列的知识便可使问题顺利解决.数列是特殊的函 数,从而常与函数的特性联系起来. 变式训练3 某油库已储油料a吨,按计划正式运营后的第一年进油 量为已储油量的25%,以后每年的进油量为上一年底储油量的25%, 且每年运出b吨.设an为正式运营后第n年的储油量. (1)写出an的表达式;(不要求证明) (2)为抵御突发事件,该油库年底储油量不得少于 a吨,如果b= a,该 油库能否长期按计划运营?如果可以,请加以证明;如果不行,请说明 理由.(取lg 2=0.30,lg 3=0.48) 【解析】(1)依题意,油库原有储油量为a吨,则 a1= a-b, a2= a1-b=( )2a-( +1)b, a3= a2-b=( )3a-( )2+ +1b. 猜想:an=( )na-( )n-1+( )n-2+ +1b =( )na-4( )n-1b(nN*). (2)当b= a时,该油库第n年年底储油量不少于 a吨, 即( )na-4( )n-1 a a,即( )n3, nlo 3= = = =4.8. 所以不能长期运营. 1.等差、等比数列