2018届高三数学二轮复第四篇考前冲刺巧用12个解题技法理.docx

巧用12个解题技法技法一特例法在解决选择题和填空题时,可以取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等)来确定其结果,这种方法称为特值法.特值法只需对特殊数值、特殊情形进行检验,省去了推理论证、烦琐演算的过程,提高了解题的速度.特值法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法,应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效.例1(1)在数列an中,a1=2,an+1=an+ln,则an=() A.2+ln nB.2+(n-1)ln nC.2+nln nD.1+n+ln n(2)AD,BE分别是ABC的中线,若|=|=1,且与的夹角为120,则=.答案(1)A(2)解析(1)解法一:a2=a1+ln,a3=a2+ln,an=an-1+ln(n2),将以上各式左、右两边分别相加并化简,得an=a1+ln=2+ln n.解法二:不妨取n=1,则有a2=a1+ln 2=2+ln 2.选项A,a2=2+ln 2,合题意,但不能就此下结论,认定这个是答案;选项B,a2=2+ln 2,也合题意;选项C,a2=2+2ln 2,不合题意,排除;选项D,a2=3+ln 2,不合题意,排除.再取n=2,则有a3=a2+ln =2+ln 3,选项B,a3=2+2ln 3,不合题意,排除B,故选A.(2)等边三角形为符合题意的ABC的一个特例,则|AB|=,=|cos 60=.方法点睛(1)应用特例法排除干扰选项的关键在于利用选项的差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应,从而排除干扰选项.(2)填空题的结论唯一或题设条件暗示答案为定值是应用此法的前提.跟踪集训1.等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130B.170C.210D.2602.函数f(x)=cos xlog2|x|的图象大致为()3.如图,点P为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC,AC的平行线,分别交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1S2=() A.1B.2C.D.技法二图解法(数形结合法)对于一些含有几何背景的题目,若能“数中思形”“以形助数”,则往往可以借助图形的直观性,迅速作出判断,简捷地解决问题,得出正确的结果.Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等,都是常用的图形.例2(1)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,ab=,(a-c)(b-c)=0,则|c|的最大值等于()A.B.C.D.1(2)(2016天津,14,5分)已知函数f(x)=(a0,且a1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是.答案(1)A(2)解析(1)解法一(几何法):如图,a=,b=,c=.由题意有AOB=,点C在圆M上.当点C达到点D时,|c|最大,|c|max=|+|=sin+cos=.选A.解法二(建系法或称坐标法):建立如图所示的坐标系,设点C的坐标为(x,y).设a=,b=,c=(x,y).则(a-c)(b-c)=0.化简得+y2=,它的轨迹是图中圆M.当点C达到点D时,|c|最大,|c|max=|+|=sin+cos=.选A.(2)因为函数f(x)在R上单调递减,所以解得a.作出函数y=|f(x)|,y=2-的图象如图.由图象可知,在0,+)上,|f(x)|=2-有且仅有一个解;在(-,0)上,|f(x)|=2-同样有且仅有一个解,所以3a2,即a.综上可得a,所以a的取值范围是.方法点睛图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决选择题或填空题中的应用,利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论,这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形间的对应关系,利用几何图形中的相关结论求出结果.跟踪集训1.函数y=|lox|的定义域为a,b,值域为0,2,则区间a,b的长度b-a的最小值是()A.2B.C.3D.2.已知函数f(x)=和函数g(x)=log2x,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数为()A.1B.2C.3D.43.记集合P=,Q=(x,y)|0y表示的平面区域分别为区域 P,区域Q,PQ表示的平面区域为区域M,若向区域Q内撒一枚幸运小花朵,则小花朵落在区域M内的概率为() A.B.C.D.技法三估算法估算法就是不需要计算出代数式的准确数值,通过估算其大致取值范围从而解决相应问题的方法.该种方法主要适用于比较大小的有关问题,尤其是在选择题或填空题中,解答不需要详细的过程,因此可以通过猜测、合情推理、估算而获得,从而减少运算量.例3(1)(2015湖北,7,5分)在区间0,1上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y”的概率,p2为事件“|x-y|”的概率,p3为事件“xy”的概率,则()A.p1p2p3B.p2p3p1C.p3p1p2D.p3p2p1(2)已知三棱锥P-ABC的侧面与底面所成二面角都是60,底面三角形三边长分别是7、8、9,则此三棱锥的侧面面积为()A.12B.24C.6D.18答案(1)B(2)B解析(1)满足条件的x,y构成的点(x,y)在正方形OBCA及其边界上.事件“x+y”对应的图形为图所示的阴影部分;事件“|x-y|”对应的图形为图所示的阴影部分;事件“xy”对应的图形为图所示的阴影部分.对三者的面积进行比较,可得p2p3p1.(2)若底面三角形三边长都是8,则面积为82=16,这个面积当然比原来大了一点点,再用射影面积公式求出侧面面积为32,四个选项中只有24与之最接近,选B.方法点睛估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法.如某些函数的取值范围或最值、函数图象的变化等问题,常用此法确定正确选项.跟踪集训1.图中阴影部分的面积S是h的函数(0hH),则该函数的大致图象是()2.已知过球面上A,B,C三点的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球的表面积是()A.B.C.4D.技法四待定系数法待定系数法是为确定变量间的函数关系,设出未知数,然后根据所给条件确定这些未知数的一种方法,其理论依据是多项式恒等.多项式f(x)g(x)的充要条件是:对于任意的一个a值,都有f(a)g(a);或者两个多项式各项的系数对应相等.例4衣柜里的樟脑丸,会因为挥发而体积变小,刚放入的新樟脑丸体积为a,经过t天后樟脑丸的体积V(t)与天数t的关系为V(t)=ae-kt,若新樟脑丸经过80天后,体积变为a,则函数V(t)的解析式为.答案V(t)=a(t0)解析因为樟脑丸经过80天后,体积变为a,所以a=ae-80k,所以e-80k=,解得k=-ln ,所以V(t)=a=a,所以函数V(t)的解析式为V(t)=a(t0).方法点睛破解此类题的关键是依题设所给的函数模型,利用待定系数法求解,本题的突破口是将题设中的自变量的值与相应的函数值代入所给关系式,得关于参数的方程,利用“两边取对数”,即可求出参数的值.跟踪集训1.已知等差数列an的前n项和为Sn,且S3=21,S5=65,则Sn=.2.已知函数f(x)=Asin(x+)的部分图象如图所示,其中|PQ|=2.则f(x)的解析式为.技法五换元法换元法又称辅助元法、变量代换法.通过引入新的变量,可以把分散的条件联系起来,使隐含的条件显露出来,或者变为熟悉的形式,简化计算或证明.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.典型例题例5椭圆+=1上有两点P、Q,O为原点,连接OP、OQ,kOPkOQ=-.(1)求证:|OP|2+|OQ|2等于定值;(2)求线段PQ的中点M的轨迹方程.解析(1)证明:设P(4cos 1,2sin 1),Q(4cos 2,2sin 2),则kOPkOQ=-,整理得cos 1cos 2+sin 1sin 2=0,即cos(1-2)=0.|OP|2+|OQ|2=16cos21+4sin21+16cos22+4sin22=8+12(cos21+cos22)=20+6(cos 21+cos 22)=20+12cos(1+2)cos(1-2)=20,即|OP|2+|OQ|2等于定值20.(2)由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的横、纵坐标分别为x=2(cos 1+cos 2),y=sin 1+sin 2,所以有+y2=2+2(cos 1cos 2+sin 1sin 2)=2+2cos(1-2)=2,即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为+=1.方法点睛由椭圆方程,联想到cos2+sin2=1,于是可进行“三角换元”(得到的是椭圆的参数方程),通过换元引入新的参数,转化为三角函数问题进行研究.本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”,在由中点坐标公式求出M点的坐标后,将所得方程稍作变形,再平方相加,即(cos 1+cos 2)2+(sin 1+sin 2)2,这是求点M的轨迹方程的关键一步.一般地,求动点的轨迹方程运用“参数法”时,我们可以将点的横、纵坐标分别表示为一个或几个参数的函数,再运用“消参法”消去所含的参数,即得到所求的轨迹方程.跟踪集训1.若函数y=f(x)的值域是,则函数F(x)=f(x)+的值域是()A.B.C.D.2.函数f(x)=cos2x-2cos2的一个单调递增区间是()A.B.C.D.3.不等式log2(2x-1)log2(2x+1-2)2的解集是.4.已知实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5,设S=x2+y2,则+的值为.技法六构造法用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造数学模型,从而简化推导与运算过程.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础上的,首先应观察题目,观察已知条件形式上的特点,然后联想、类比已学过的知识及各种数学式子、数学模型,深刻了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景),通过构造几何、函数、向量等具体的数学模型快速解题.典型例题例6(1)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体各个面的面积中,最小的值为()A.2B.8C.4D.8(2)已知m,n(2,e),且-nB.m2+D.m,n的大小关系不确定答案(1)B(2)A解析(1)构造棱长为4的正方体,由三视图可知,该几何体为如图所示的三棱锥P-ABC,其中点P、B分别为相应棱的中点.因为SPAB=SPBC=4=4,SABC=44=8,SPAC=AC=4=8.因为848,所以该几何体各个面的面积中,最小的值为8,故选B.(2)由原不等式可得-ln m-ln n,即+ln n0,故函数f(x)在(2,e)上单调递增.因为f(n)f(m),所以nm.故选A.方法点睛应用构造法的技巧:一是“定目标构造”,从已知条件入手,紧扣要解决的问题进行构造,把陌生问题构造为熟悉的问题;二是“解决构造的问题”,用相关的知识解决所构造的问题.跟踪集训1.若a=ln-,b=ln-,c=ln-,则a,b,c的大小关系为.2.函数y=+的最小值为.3.已知x,y,z(0,1),求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)-1恒成立,求实数a的取值范围.解析f(x)-1-12ax2-ex,由条件知,2ax2-ex对于任意x1恒成立.令g(x)=x2-ex,h(x)=g(x)=2x-ex,则h(x)=2-ex,当x1,+)时,h(x)=2-ex2-e0,h(x)=g(x)=2x-ex在1,+)上单调递减,h(x)=2x-ex2-e0,即g(x)-1在1,+)上恒成立,只需2ag(x)max=1-e,a,故实数a的取值范围是.方法点睛应用分离参数法解决不等式恒成立问题或有解问题,关键在于准确分离参数,然后将问题转化为参数与函数最值的大小关系问题.分离参数时要注意参数系数的符号是否会发生变化,如果参数的系数符号为负号,则分离参数时应注意不等号的变化,否则就会导致错解.跟踪集训若不等式|x-1|kx-2对一切实数x恒成立,则实数k的取值范围是.技法九整体代换法整体代换法是根据式子的结构特征,在求值过程中,直接将两数或多个数之和的表达式当成一个整体来处理,从而建立已知和所求之间的关系或方程进行求解的方法.利用该种方法求值,可以避免烦琐的计算.该方法适用于等差、等比数列中连续几项和的有关计算.典型例题例9(1)等比数列an中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15的值为()A.1B.2C.3D.5(2)已知函数f(x)的导函数为f (x),且满足f(x)=2f cos x+sin x+2x,则f =()A.0B.C.1D.答案(1)C(2)B解析(1)解法一:设等比数列an的公比为q,则a5=a1q4,a7=a3q4,所以q4=.又a9+a11=a1q8+a3q8=(a1+a3)q8=8=2,a13+a15=a1q12+a3q12=(a1+a3)q12=8=1,所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.解法二:因为an为等比数列,所以a5+a7是a1+a3与a9+a11的等比中项,所以(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11),故a9+a11=2.同理,a9+a11是a5+a7与a13+a15的等比中项,所以(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),故a13+a15=1.所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.(2)因为f(x)=2f cos x+sin x+2x,所以f (x)=-2f sin x+cos x+2.令x=,得f =-2f sin +cos+2,解得f =.故选B.方法点睛整体代换法求值的关键是准确把握代数式的结构特征,确定已知和所求之间的关系.跟踪集训已知x,y,z是正数,求证:+.技法十判别式法判别式法就是将实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),利用方程有解的充要条件(判别式=b2-4ac0)求解.典型例题例10已知,为任意三角形的三个内角,求证:x2+y2+z22xycos +2yzcos +2zxcos .证明设f(x)=x2+y2+z2-(2xycos +2yzcos +2zxcos )=x2-2(ycos +zcos )x+y2+z2-2yzcos ,又=4(ycos +zcos )2-4(y2+z2-2yzcos )=-4(ysin -zsin )20,所以f(x)0,即x2+y2+z22xycos +2yzcos +2zxcos .方法点睛判别式是方程、函数和不等式之间联系的重要工具,是不等式之间相互转化的重要桥梁,运用判别式法证明不等式有两种途径:(1)构造一元二次方程,然后利用0来证明;(2)构造恒大于(或小于)零的二次函数,然后利用0来证明.跟踪集训1.设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是.2.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是.技法十一割补法割补法主要是针对平面图形或空间图形采用的一种几何方法,其主要思想是把不规则图形转化为规则图形,这种方法常常用来求不规则平面图形的面积或不规则空间几何体的体积.典型例题例11(1)如图,过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面CDP所成二面角的度数为()A.90B.60C.45D.30 (2)已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形,ADBC,CEBG,BCD=BCE=,平面ABCD平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2,则五面体EGBADC的体积为.答案(1)C(2)解析(1)把原四棱锥补成正方体ABCD-PQRH,如图所示,连接CQ,则所求二面角转化为平面CDPQ与平面BAPQ所成的二面角,而CQB是平面CDPQ与平面BAPQ所成二面角的平面角,又因为CQB=45,所以平面PAB与平面CDP所成二面角的度数为45.(2)如图所示,连接DG,BD.由平面ABCD平面BCEG,BCD=BCE=,可知EC平面ABCD,又CEGB,所以GB平面ABCD.又BC=CD=CE=2,AD=BG=1,所以V五面体EGBADC=V四棱锥D-BCEG+V三棱锥G-ABD=S梯形BCEGDC+SABDBG=22+121=.方法点睛对于一些不规则的几何体(图形),不能直接利用体积(面积)公式,此时必须对几何体(图形)进行相应的割补,将其转化为规则几何体(图形)以便于计算其体积(面积).跟踪集训1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.6B.8C.10D.122.已知0k4,直线l1:kx-2y-2k+8=0和直线l2:2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的k值为.3.函数y=cos x(0x2)和y=1的图象所围成的封闭图形的面积为.技法十二等体积转化法等体积转化法是通过变换几何体的底面,利用几何体(主要是三棱锥)体积的不同表达形式求解相关问题的方法.其主要用于求解点到面的距离.典型例题例12如图,已知三棱锥P-ABC,底面ABC是边长为2的正三角形,平面PAB平面ABC,PA=PB=,D为BC的中点.(1)求证:ABPC;(2)求三棱锥B-PAD的体积.解析(1)证明:如图所示,取AB的中点E,连接PE,CE.因为PB=PA,所以ABPE.因为AC=BC,所以ABCE.又PECE=E,所以AB平面PEC.又PC平面PEC,所以ABPC.(2)因为平面PAB平面ABC,PE平面PAB,平面PAB平面ABC=AB,且PEAB,所以PE平面ABC.由PA=PB=,BE=1得PE=1.因为D是正三角形ABC的边BC的中点,所以ADBC.V三棱锥B-PAD=V三棱锥P-ABD=PESABD=11=,故三棱锥B-PAD的体积为.方法点睛利用等体积转化法求解点到平面的距离,关键是选择合适的底面,选择的底面应具备两个特征:一是底面的形状规则,面积可求;二是底面上的高比较明显,即线面垂直比较明显.跟踪集训1.如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点,AA1=AB=2,则三棱锥C1-AB1D的体积为()A.B.C.D.2.如图所示,已知正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,ADCD,ABCD,AB=AD=CD=1.(1)当点M为ED的中点时,求证:AM平面BEC;(2)求点D到平面BEC的距离.答案精解精析技法一特例法跟踪集训1.C取m=1,依题意得a1=30,a1+a2=100,则a2=70,又an是等差数列,所以a3=110,故S3=210.2.B函数的定义域为(-,0)(0,+),且f =coslog2=-cos,f =coslog2=-cos,所以f =f ,排除A,D;又f =-cos5.故选D.技法四待定系数法跟踪集训1.答案3n2-2n解析设等差数列an的前n项和为Sn=An2+Bn.由已知可得化简得解得故Sn=3n2-2n.2.答案f(x)=2sin解析由题图可知A=2,P(x1,-2),Q(x2,2),所以|PQ|=2.整理得|x1-x2|=2,所以函数f(x)的最小正周期T=2|x1-x2|=4,即=4,解得=.又函数图象过点(0,-),所以2sin =-,即sin =-.又|,所以=-,所以f(x)=2sin.技法五换元法跟踪集训1.B 令t=f(x),则t.由函数g(t)=t+在区间上是减函数,在(1,3上是增函数,且g=,g(1)=2,g(3)=,得F(x)的值域为,故选B.2.Af(x)=cos2x-2cos2=cos2x-cos x-1,令t=cos x-1,1,原函数可以看作g(t)=t2-t-1,t-1,1.由于对称轴为t=,对于g(t)=t2-t-1,当t时,g(t)为减函数,当t时,g(t)为增函数,当x时,t=cos x为减函数,且t,原函数在上单调递增,故选A.3.答案解析设log2(2x-1)=y,则y(y+1)2,解得-2ybc解析令f(x)=ln x-x,则f (x)=-1=.当0x0,即函数f(x)在(0,1)上是增函数.因为10,所以abc.2.答案解析将函数变形为y=+,则问题可以转化为在x轴上找一点,使它到A(1,1),B(3,2)两点的距离之和最小的几何模型问题.将点A(1,1)关于x轴对称,得A(1,-1),连接AB交x轴于点P,则线段AB的长就是所求的最小值,即|AB|=.故填.3.证明构造边长为1的正三角形ABC,D、E、F分别为三边上的任意一点,并令BD=x,CE=y,AF=z,如图.显然有SBDE+SCEF+SADFSABC=,即x(1-y)+y(1-z)+z(1-x),即x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)1.技法七反证法跟踪集训A假设a,b,c均小于1,即a1,b1,c1,则有a+b+c0 时,k=得k1;x0时,k=-1,得k-1;x=0时,kR.综上,-1k1.技法九整体代换法跟踪集训证明设a=y+z,b=x+z,c=x+y,则x=,y=,z=.所以+=+=+-2+2+2-=.技法十判别式法跟踪集训1.答案解析设2x+y=t,则y=t-2x,于是有4x2+(t-2x)2+x(t-2x)=1,化简得6x2-3tx+t2-1=0(xR),由=9t2-24(t2-1)0,得-t,所以2x+y的最大值是.2.答案(-,-22,+)解析因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,化简得2+9da1+10d2+1=0.