2018版高中数学第二章函数2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法_二分法学案新人教B版.docx

2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法二分法1了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在(重点)2会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程式化的步骤(难点)基础初探教材整理1变号零点与不变号零点阅读教材P72P73“第一行”以上部分内容，完成下列问题1零点存在的判定条件：yf(x)在a，b上的图象不间断，f(a)f(b)0.结论：yf(x)在a，b上至少有一个零点，即x0(a，b)使f(x0)0.2变号零点如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点3不变号零点如果函数图象通过零点时没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点函数f(x)的图象如图241所示，则函数f(x)的变号零点的个数为()图241A0B1C2 D3【解析】函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则必存在变号零点，根据图象得函数f(x)有3个变号零点【答案】D教材整理2二分法阅读教材P73“第三行”以下P73“例”以上的内容，完成下列问题1定义对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二分法2求函数零点的一般步骤已知函数yf(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度用二分法求此函数零点的一般步骤为：在D内取一个闭区间a0，b0D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)f(b0)0，零点位于区间a0，b0中取区间a0，b0的中点，则此中点对应的坐标为x0.计算f(x0)和f(a0)，并判断：a如果f(x0)0，则x0就是f(x)的零点，计算终止b如果f(a0)f(x0)0，则零点位于区间a0，x0中，令a1a0，b1x0.c如果f(a0)f(x0)0，则零点位于区间x0，b0中，令a1x0，b1b0.取区间a1，b1的中点，则此中点对应的坐标为x1.计算f(x1)和f(a1)，并判断：a如果f(x1)0，则x1就是f(x)的零点，计算终止b如果f(a1)f(x1)0，则零点位于区间a1，x1上，令a2a1，b2x1.c如果f(a1)f(x1)0，则零点位于区间x1，b1上，令a2x1，b2b1.继续实施上述步骤，直到区间an，bn，函数的零点总位于区间an，bn上，当区间的长度bnan不大于给定的精确度时，这个区间an，bn中的任何一个数都可以作为函数yf(x)的近似零点，计算终止判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解()(2)函数f(x)|x|可以用二分法求零点()(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内()【解析】(1).如函数x20用二分法求出的解就是精确解(2).对于函数f(x)|x|，不存在区间(a，b)，使f(a)f(b)0，所以不能用二分法求其零点(3).函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内【答案】(1)(2)(3)小组合作型二分法的概念(1)图242已知函数f(x)的图象如图242所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A4,4B3,4C5,4 D4,3(2)用二分法求方程x32x50在区间1,3内的根，取区间的中点为x02，那么下一个有根的区间是_. 【导学号：60210063】【精彩点拨】(1)可以用二分法求出的零点左右函数值异号；(2)方程的实根就是对应函数f(x)的零点，判断f(2)的符号，在2的左右两边寻找函数值与f(2)异号的自变量【自主解答】(1)图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.(2)设f(x)x32x5，f(1)12560，f(2)234510，f(x)零点所在的区间为(2,3)，方程x32x50有根的区间是(2,3)【答案】(1)D(2)(2,3)二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点，因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.再练一题1下面关于二分法的叙述，正确的是()A用二分法可求所有函数零点的近似值B用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C二分法无规律可循D只有在求函数零点时才用二分法【解析】只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错求方程的近似解也可以用二分法，故D错【答案】B变号零点与不变号零点的判断分别求出下列函数的零点，并指出是变号零点还是不变号零点(1)f(x)3x6；(2)f(x)x2x12；(3)f(x)x22x1；(4)f(x)(x2)2(x1)x.【精彩点拨】(1)是一次函数，(2)、(3)均是二次函数，(4)虽然是高次函数，但给出因式积的形式，所以容易分别求得【解】(1)零点是2，是变号零点(2)零点是3和4，都是变号零点(3)零点是1，是不变号零点(4)零点是1,0和2，其中变号零点是0和1，不变号零点是2.图象连续不间断的函数f(x)在a，b上，若f(a)f(b)0，则函数f(x)在该区间上至少有一个变号零点，也就是可能有多个变号零点，还可能有不变号零点，但至少有一个变号零点是肯定的.这一结论可直接应用于函数变号零点判定之中.再练一题2判断下列函数是否有变号零点(1)yx25x14；(2)yx2x1；(3)yx418x281.【解】(1)零点是2,7，是变号零点(2)无零点(3)零点是3,3，都不是变号零点探究共研型用二分法求方程的近似解探究1函数yf(x)的零点与方程f(x)0的解有何关系？【提示】函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的解探究2如何把求方程的近似解转化为求函数零点的近似解？【提示】设方程为f(x)g(x)，构造函数F(x)f(x)g(x)，求方程f(x)g(x)的近似解问题就可转化为求函数F(x)f(x)g(x)零点的近似解问题用二分法求方程2x33x30的一个正实数近似解(精确度为0.1)【精彩点拨】构造函数f(x)2x33x3确定初始区间(a，b)二分法求方程的近似解验证|ab|0.1是否成立下结论【自主解答】令f(x)2x33x3，经计算，f(0)30，f(0)f(1)0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x33x3在(0,1)内有解取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a，b)中点cf(a)f(b)f(0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.687 5)0由于|0.687 50.75|0.062 50.1，所以方程2x33x30的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.1根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的求方程f(x)0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解 2对于求形如f(x)g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)f(x)g(x)0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解再练一题3用二分法求函数f(x)x35的零点可以取的初始区间是()A2,1 B1,0C0,1 D1,2【解析】由于f(2)30，故可以取区间2,1作为计算的初始区间，用二分法逐次计算【答案】A1下列函数中能用二分法求零点的是()【解析】在A和D中，函数虽有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点在B中，函数无零点在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点【答案】C2用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是()A|ab|0.1B|ab|0.001 D|ab|0.001【解析】据二分法的步骤知当区间长度|ba|小于精确度时，便可结束计算【答案】B3用“二分法”可求近似解，对于精确度说法正确的是()A越大，零点的精确度越高B越大，零点的精确度越低C重复计算次数就是D重复计算次数与无关【解析】由“二分法”的具体步骤可知，越大，零点的精确度越低【答案】B4若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.406 25)0.054f(1.437 5)0.162那么方程x3x22x20的一个近似根为_(精确到0.1) 【导学号：97512033】【解析】根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，因为此时|1.437