高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理学案含解析.docx

13.1二项式定理问题1：我们在初中学习了(ab)2a22abb2，试用多项式的乘法推导(ab)3，(ab)4的展开式提示：(ab)3a33a2b3ab2b3，(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：(ab)3的展开式有4项，每项的次数是3；(ab)4的展开式有5项，每一项的次数为4.问题3：你能用组合的观点说明(ab)4是如何展开的吗？提示：(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)由多项式的乘法法则知，从每个(ab)中选a或选b相乘即得展开式中的一项若都选a，则得Ca4b0；若有一个选b，其余三个选a，则得Ca3b；若有两个选b，其余两个选a，则得Ca2b2；若都选b，则得Ca0b4.问题4：能用类比方法写出(ab)n(nN*)的展开式吗？提示：能，(ab)nCanCan1bCbn.二项式定理及其相关概念二项式定理公式(ab)nCanCan1bCankbkCbn，称为二项式定理二项式系数C(k0,1，n)通项Tk1Cankbk二项式定理的特例(1x)n1CxCxkxn1二项展开式的特点(1)展开式共有n1项(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n.(3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.2二项展开式的通项公式的特点(1)它表示(ab)n的展开式的第k1项，该项的二项式系数为C.(2)字母b的次数与二项式系数的组合数的上标相同(3)a和b的次数之和为n.二项式定理的正用、逆用(1)求(x2y)4的展开式(2)化简：C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)kC(x1)nk(1)nC.(1)(x2y)4Cx4Cx3(2y)Cx2(2y)2Cx(2y)3C(2y)4x48x3y24x2y232xy316y4.(2)原式C(x1)nC(x1)n1(1)C(x1)n2(1)2C(x1)nk(1)kC(1)nnxn.1(ab)n的二项展开式有n1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：各项的次数等于n；字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.2逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢1求4的展开式解：法一：4C(2x)4C(2x)3C(2x)22C(2x)3C416x448x.法二：44(4x33)416x448x.2化简：(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)解：原式C(x1)5C(x1)4C(x1)3C(x1)2C(x1)CC51x51.求二项展开式中的特定项(1)在20的展开式中，系数是有理数的项共有()A4项B5项C6项 D7项(2)(浙江高考)设二项式5的展开式中常数项为A，则A_.(1)Tk1C(x)20kkk()20kCx20k.系数为有理数，k与2均为有理数，k能被2整除，且20k能被3整除故k为偶数，20k是3的倍数，0k20，k2,8,14,20.(2)Tk1C()5kkC(1)kx，令0，得k3，所以AC10.(1)A(2)101在通项公式Tk1Cankbk(nN*，k0,1,2,3，n)中含有a，b，n，k，Tk1五个量，只要知道其中4个量，便可求出第5个量在运用二项式定理解决展开式中的项或项的系数的一些问题时，常涉及这5个量的求解问题这通常是化归为方程的问题来解决2对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；而对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好是整数的项已知在n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求展开式中所有的有理项解：通项公式为Tk1Cx (3)kxC(3)kx.(1)第6项为常数项，k5时，有0，即n10.(2)根据通项公式，由题意得 令r(rZ)，则102k3r，即k5r.kZ，r应为偶数于是r可取2,0，2，即k可取2,5,8.故第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为C(3)2x2，C(3)5，C(3)8x2.求二项式系数与项的系数在8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)倒数第3项法一：利用二项式的展开式解决(1)8(2x2)8C(2x2)7C(2x2)62C(2x2)53C(2x2)44C(2x2)35C(2x2)26C(2x2)7C8，则第5项的二项式系数为C70，第5项的系数为C241 120.(2)由(1)中8的展开式可知倒数第3项为C(2x2)26112x2.法二：利用二项展开式的通项公式(1)T5C(2x2)844C24x，则第5项的二项式系数是C70，第5项的系数是C241 120.(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T7C(2x2)866112x2.1本例第(2)问也可转化为求另一二项展开式的某些项，即在8展开式中的倒数第3项就是8展开式中第3项，T3C82(2x2)2112x2.2要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关1(全国乙卷)(2x)5的展开式中，x3的系数是_(用数字填写答案)解析：(2x)5展开式的通项为Tr1C(2x)5r()r25rCx5.令53，得r4.故x3的系数为254C2C10.答案：102(山东高考)若5的展开式中x5的系数是80，则实数a_.解析：Tr1C(ax2)5rrCa5rx10r.令10r5，解得r2.又展开式中x5的系数为80，则有Ca380，解得a2.答案：2求5的展开式的常数项法一：由二项式定理得55C5C4C3()2C2()3C()4C()5.其中为常数项的有：C4中的第3项：CC2；C2()3中的第2项：CC()3；展开式的最后一项C()5.综上可知，常数项为CC2CC()3C()5.法二：原式55(x)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x)10的展开式中含x5的项的系数，即C()5.所以所求的常数项为.解决三项式问题有两种方法：方法一，反复利用二项式定理，先把三项式中的某两项视为一项，用二项式定理展开，然后再利用二项展开式求解方法二，转化为二项式转化为二项式常见的有两种形式：三项式恰好是二项式的平方，则可转化为二项式定理求解，三项式可分解因式，则转化为两个二项式的积的形式利用二项式定理求特定项，注意下列题型的变化(1)4的展开式中x的系数是()A1B2C3 D12解析：选C根据题意，所给式子的展开式中含x的项有(1)4展开式中的常数项乘中的x以及(1)4展开式中的含x2的项乘中的两部分，所以所求系数为1213，故选C. 在(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)的展开式中，含x4的项的系数是()A15 B85C120 D274解析：选A根据分类加法、分步乘法计数原理，得5x44x43x42x4x415x4，所以原式的展开式中，含x4的项的系数为15.在(1x)(1x)2(1x)6的展开式中，x2的系数是_(用数字作答)解析：法一(转化为二项式定理解决)：(1x)2，(1x)3，(1x)6中x2的系数分别为C，C，C，所以原式的展开式中，x2的系数为CCCCCCCCCC35.法二(利用数列求和方法解决)：由题意知1x0，原式，故只需求(1x)7中x3的系数，即(1x)7的展开式中第4项的系数，即C35.答案：351在(x)10的展开式中，含x6的项的系数是()A27CB27CC9C D9C解析：选D含x6的项是T5Cx6()49Cx6.2(1x)8(1y)4的展开式中x2y2的系数是()A56 B84C112 D168解析：选D(1x)8的展开式中x2的系数为C，(1y)4的展开式中y2的系数为C，所以x2y2的系数为CC168.3在6的展开式中，中间项是_解析：由n6知中间一项是第4项，因T4C(2x2)33C(1)323x3，所以T4160x3.答案：160x34.9的展开式中，第4项的二项式系数是_，第4项的系数是_解析：Tk1C(x2)9kkkCx183k，当k3时，T43Cx9x9，所以第4项的二项式系数为C84，项的系数为.答案：845求5的展开式的第3项的系数和常数项解：T3C(x3)32Cx5，所以第3项的系数为C.通项Tk1C(x3)5kkkCx155k，令155k0得k3，所以常数项为T4C(x3)23.一、选择题1二项式(ab)2n的展开式的项数是()A2nB2n1C2n1 D2(n1)解析：选B根据二项式定理可知，展开式共有2n1项2化简多项式(2x1)55(2x1)410(2x1)310(2x1)25(2x1)1的结果是()A(2x2)5 B2x5C(2x1)5 D32x5解析：选D原式5(2x)532x5.3在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A3项 B4项C5项 D6项解析：选CTk1CxxCx12k，则k0,6,12,18,24时，x的幂指数为整数4在n(nN*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是()A3 B5C8 D10解析：选BTk1C(2x3)nkk2nkCx3n5k.令3n5k0，0kn，n的最小值为5.5对于二项式n(nN*)，有以下四种判断：存在nN*，展开式中有常数项；对任意nN*，展开式中没有常数项；对任意nN*，展开式中没有x的一次项；存在nN*，展开式中有x的一次项其中正确的是()A与 B与C与 D与解析：选D二项式n的展开式的通项公式为Tk1Cx4kn，由通项公式可知，当n4k(kN*)和n4k1(kN*)时，展开式中分别存在常数项和一次项二、填空题6若(12x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是_解析：由得解得x.答案：7(1xx2)(1x)10的展开式中含x4的项的系数为_解析：因为(1xx2)(1x)10(1xx2)(1x)(1x)9(1x3)(1x)9，所以展开式中含x4的项的系数为1C(1)4(1)C(1)135.答案：13582303除以7的余数是_解析：2303(23)1038103(71)103C710C79C7C37(C79C78C)4，所以2303除以7的余数为4.答案：4三、解答题9已知在n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为563，求展开式中的常数项解：T5C()n424x816Cx，T3C()n222x44Cx.由题意知，解得n10.Tk1C()10k2kx2k2kCx，令50，解得k2.展开式中的常数项为C22180.10在6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x2的项解：(1)第3项的二项式系数为C15，又T3C(2)4224Cx，所以第3项的系数为24C240.(2)Tk1C(2)6kk(1)k26kCx3k.令3k2，得k