2018版高中数学第二章函数2.4.1二次函数的图像学案北师大版.docx

2.4.1 二次函数的图像1理解yx2与yax2(a0)，yax2与y(xh)2k及yax2bxc的图像之间的关系(重点)2掌握a，h，k对二次函数图像的影响(难点、易混点)基础初探教材整理 1函数yx2与函数yax2(a0) 的图像间的关系阅读教材P41P42第2自然段结束有关内容，完成下列问题二次函数yax2(a0)的图像可由yx2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍得到其中a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为_f(x)x2；f(x)x2；f(x)x2；f(x)3x2.【解析】yax2(a0)的图像在同一直角坐标系中|a|越大，开口就越小【答案】教材整理 2函数yax2(a0)与函数y a(xh)2k(a0)的图像阅读教材P42第3自然段P44的有关内容，完成下列问题1yax2ya(xh)2ya(xh)2k.2将二次函数yax2bxc(a0)通过配方化为ya(xh)2k(a0)的形式，然后通过函数yax2(a0)的图像左右、上下平移得到函数yax2bxc(a0)的图像3在二次函数ya(xh)2k(a0)中，a决定了二次函数图像的开口大小及方向判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)二次函数y3x2的开口比yx2的开口要大()(2)要得到y(x2)2的图像，需要将yx2向左平移1个单位()(3)要得到y2(x1)2的图像，需将y2(x1)21的图像向上平移1个单位()【答案】(1)(2)(3)小组合作型二次函数图像间的变换在同一坐标系中作出下列函数的图像(1)yx2；(2)yx22；(3)y2x24x.并分析如何把yx2的图像变换成y2x24x的图像. 【导学号：04100027】【精彩点拨】对每个函数列表、描点、连线作出相应的图像，然后利用图像分析yx2与y2x24x的关系【尝试解答】列表：x3210123yx29410149yx227212127y2x24x301660206描点、连线即得相应函数的图像，如图所示由图像可知由yx2到y2x24x的变化过程如下法一：先把yx2的图像向右平移1个单位长度得到y(x1)2的图像，然后把y(x1)2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y2(x1)2的图像，最后把y2(x1)2的图像向下平移2个单位长度便可得到y2x24x的图像法二：先把yx2的图像向下平移1个单位长度得到yx21的图像，然后再把yx21的图像向右平移1个单位长度得到y(x1)21的图像，最后把y(x1)21的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y2(x1)22，即y2x24x的图像任意抛物线yax2bxc(a0)都可转化为ya(xh)2k的形式，都可由yax2的图像经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示即上述平移规律“h值，正、负，左、右移”，亦即“加时左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”再练一题1画二次函数yx26x21的图像，并说明它是如何经过yx2平移得到的【解】yx26x21(x6)23，抛物线的顶点坐标为(6,3)，对称轴为x6.令x0，求得y21，它与y轴交点为(0,21)，此交点距顶点太远，画图时利用不上令y0，x26x210，0，方程无实数解，抛物线与x轴没有交点因此，画此函数图像，应利用函数的对称性列表，在顶点的两侧适当地选取两对对称点，然后描点、画图即可(1)利用二次函数的对称性列表：x45678y53.533.55(2)描点、连线即得函数yx26x21的图像，如图所示把yx2的图像向右平移6个单位长度，向上平移3个单位长度，就可得到yx26x21的图像求二次函数的解析式根据下列条件，求二次函数yf(x)的解析式(1)图像过点(2,0)，(4,0)，(0,3)；(2)图像顶点为(1,2)并且过点(0,4)；(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)【精彩点拨】【尝试解答】(1)设二次函数解析式为ya(x2)(x4)整理得yax26ax8a，8a3，a.解析式为y(x2)(x4)(2)设二次函数解析式为ya(x1)22.整理得yax22axa2，a24，a2，解析式为y2(x1)22.(3)设函数解析式为yax2bxc，由题设知解析式为yx22x2.求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解.,(1)若已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数为一般式yax2bxc(a，b，c为常数，a0)的形式.,(2)若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式ya(xh)2k(其中顶点为(h，k)，a为常数，a0).,(3)若已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，则设所求二次函数为两根式ya(xx1)(xx2)(a为常数，且a0).再练一题2已知二次函数yax2bxc(xR)的部分对应值如下表：x3210123y6046640求该函数的解析式【解】法一：由表可知该函数与x轴有两个交点(2,0)，(3,0)，故该函数可设为ya(x2)(x3)，又函数过点(0，6)，故6a6，a1，所以该函数的解析式为y(x2)(x3)x2x6.法二：因为该函数过点(0，6)，故yax2bx6，又过点(1，4)，(1，6)，故由可得a1，b1，故该函数的解析式为yx2x6.探究共研型二次函数图像的应用探究 1你能对二次函数yax2bxc(a0)配方，并说出它的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值吗？【提示】yax2bxca2.当a0时，函数的图像开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线x；f(x)在上是减少的，在上是增加的；当x时，函数取得最小值，无最大值当a0时，函数的图像开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线x；f(x)在上是增加的，在上是减少的；当x时，函数取得最大值，无最小值探究 2将函数y3x26x1配方，确定其对称轴、顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像【提示】y3x26x13(x1)24.由于x2的系数是负数，所以函数图像开口向下；顶点坐标为(1,4)；对称轴为直线x10(或x1)；函数在区间(，1上是增加的，在区间1，)上是减少的；函数有最大值，没有最小值，函数的最大值是4.采用描点法画图，选顶点A(1，4)，与x轴的交点B和C，与y轴的交点D(0,1)，再任取点E(2,1)，过这5个点画出图像，如图已知二次函数y2x24x6.(1)求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图像；(2)求此函数图像与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形面积；(3)x为何值时，y0，y0，y0?【精彩点拨】(1)已知二次函数，通过配方可求得对称轴及顶点坐标，再由函数的对称性列表描点可画出图像；(2)函数图像与x轴、y轴相交的条件分别是y0，x0，可求对应的变量值，进一步求出三角形的面积；(3)观察图像可得到图像在x轴上方(即y0)时x的取值范围，y0与y0时亦可得【尝试解答】(1)配方，得y2(x1)28.a20，函数图像开口向上，对称轴是直线x1，顶点坐标是(1，8)列表：x10123y06860描点并画图，得函数y2x24x6的图像，如图所示(2)由图像得，函数图像与x轴的交点坐标为A(1,0)，B(3，0)，与y轴的交点坐标为C(0，6)SABC|AB|OC|4612.(3)由函数图像知，当x1或x3时，y0；当x1或x3时，y0；当1x3时，y0.观察图像主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定的符号，另外还要注意与x轴的交点、函数的单调性等，从而解决其他问题再练一题3求函数yx22x3的顶点坐标，对称轴以及函数的单调区间【解】yx22x3(x1)24，顶点坐标为(1,4)，对称轴为x1，单调增区间为(，1，单调减区间为1，).1. 下列关于二次函数yx2x1的开口方向和顶点的说法，正确的是()A开口向下，顶点(1,1)B开口向上，顶点(1,1)C开口向上，顶点D开口向下，顶点【解析】函数可化为y2，故抛物线开口向下，顶点.【答案】D2. 把函数y2x2的图像向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到函数的解析式为_【解析】函数y2x2的图像向左平移2个单位得到y2(x2)2，向上平移1个单位得到y2(x2)21.【答案】y2(x2)213. 已知二次函数yf(x)的图像如图241所示，则此函数的解析式为_. 【导学号：04100028】图241【解析】由图像设f(x)ax23(a0