数学毕业论文---分类讨论在中学数学中的应用.doc

本科毕业论文（设计）论文（设计）题目：分类讨论在中学数学中的应用系：数学系专 业：数学与应用数学班 级：2009级（1）班学 号：094080811010学生姓名：杨兆印指导教师：邓慧琳2013 年 5 月 5 日六盘水师范学院本科毕业论文（设计）诚信责任书本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文（设计），是在导师的指导下独立进行研究所完成。毕业论文（设计）中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。特此声明。 论文（设计）作者签名： 日 期： 六盘水师范学院本科毕业论文（设计） 第 I页 目 录目 录 I 中文摘要外文摘要第一章 分类讨论思想方法的概念1第二章 分类讨论思想方法的基本特点32.1分类讨论的思想有着较强的逻辑性32.2 分类思想的本质特征32.3运用分类讨论的思想解题的基本步骤32.4 掌握讨论的对象和讨论的本质32.5 分类讨论思想的类型4第三章 分类讨论思想方法的意义和实践63.1 渗透分类思想63.2学习分类方法63.3分类讨论思想的前景6 3.4分类讨论思想方法的实践7参考文献11致 谢12 六盘水师范学院本科毕业论文（设计） 第 13 页分类讨论在中学数学中的应用 摘 要今天，无论在实际生活中还是在理论的学习中，分类讨论的思想都有着巨大的作用和意义。本文主要讲述分类讨论思想在中学数学领域的重要性。关键词：分类讨论;思想方法;价值 Classification discussion deals with the application of mathematics in middle schoolAbstractToday, classification discussion thought have a huge role and significance whether in real life or in the theory study. This paper tells that classification discussion have an importance of the middle school mathematics.Keywords: the classification discussion; thinking method; value第一章 分类讨论思想方法的概念我们生活的宇宙空间有丰富多彩的动物、植物和微生物等，起初这些纷纭复杂的事物都是杂乱无章的混在一起。没有分门别类，随着人类社会的进步和人类文明的发展，根据事物不同性质和不同属性的逐渐将它们分开来，到今天日趋完善。物以类聚，人以群分。分类讨论思想是指在解决一个问题时，无法采用同一种方法去解决，而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，从而使问题得到解决,这就是分类讨论思想。那什么是分类呢？现在我们来给“分类”下一个具体的定义。顾名思义“分类”就是分门别类,也就是说，当我们所研究的各种对象之间过于复杂或涉及范围比较广泛时，为了使研究的结论更加明确和讨论更为完整我们大多采取分类讨论的方法进行解决，即对问题中可能出现的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解1。比如说“联系”这个词语有不同的分类，有抽象联系和具体联系，偶然联系和必然联系，本质联系和非本质联系及内部联系和外部联系等等，这就是我们所讨论的思想方法。在二十一世纪的今天，随着科学技术的飞速发展和人们生活水平的显著提高以及社会对高素质人才的需求。 作为新时期的青年，我们应该怀着一颗勇于拼搏的心，认真的学习，遇到问题，尽量多角度、多方面的去分析，做到合情合理，合乎实际。敢于挑战问题，分析问题，善于开动脑筋，发散思维。把每一门功课都学好，为自己谋生存，为社会谋发展，为国家作贡献。真正成为新时期的接班人和中流砥柱。作为中学生，他们的人生观和世界观都成跳跃式的发展，他们对社会的看法有自己的个人看法，但是这些看法都不稳定，容易环境和情绪的影响，对国家的大政方针都有自己个人的看法和想法，但他们的想法和看法标新立异，也不稳定。不会理性的去分析问题、理解问题和思考问题，正处于青少年期的他们思维活跃，这个时候对他们严格的培养，给他们指明正确的发展方向。对他们加强思想道德教育和科学文化教育，培养他们形成正确的人生观、世界观和价值观，培养德、智、体、美全面发展的社会主建设者和接班人，培养社会需要的复合型人才2。例1：集合的分类，根据集合中元素的多少、有无元素可以把集合分为有限集、无限集和空集。有限集：在一个集合中元素的个数是有限的,例如:集合A=1,2，5，7,89,100，该集合中有6个元素；无限集：也就是集合中的元素是无限的，例如:B=1,2,3，.n,n+1,.,n+k+1,.,k=z,该集合中元素是无穷多个；空集：在一个集合中没有任何元素,例如：C集合等于空集，该集合中没有任何元素；例2：集合的表示方法可以分为列举法、描述法和韦恩图法；例3：对于当即所以当，即所以。第二章 分类讨论的思想方法的基本特点2.1分类讨论的思想有着较强的逻辑性（1）分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察。一方面可以拓展学生的联想思维能力，让学生根据已知条件去探索与解题相关的以前学过的数学方法和数学思路，从而得到问题的解决。另一方面可以拓展学生们的实践创新能力和发散思维的能力，从而提高提高他们的综合实践能力3。（2）解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧。这里需要学生在掌握一定基本知识的前提下，学会将学过的知识和已有的知识进行分析综合，从而加以创新，使得整个问题全面解决。（3）分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关2.2 分类思想的本质特征分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略也就是分析讨论综合的过程，从而达到目标问题的解决。2.3运用分类讨论的思想解题的基本步骤（1）找准研究的对象与范围；（2）根据研究的对象进行合情合理的讨论分类。在讨论时。特别注意的是：分类时需要做到不重复、不遗漏）；（3）从前到后的进行研究：换句话说，也就是对各类研究问题详细分析讨论，逐步进行解决；（4）综合归纳每一个讨论对象，最终得出完整的结论和目标2.4 掌握讨论的对象和讨论的本质根据立体几何图形中相关点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论，含参数的问题解答过程中，由参数的变化引起的分类讨论：比如某些参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或分析方法，其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如解析几何中椭圆、双曲线和抛物线；函数中的三角函数、二次函数和高次函数的讨论中；导数中的含参变量问题的解决等等。2.5 分类讨论思想的类型（1）在一个问题中有的问题需要讨论，这类问题没有明确指出讨论的方向，但根据我们已有的知识和经验它需要讨论。例如开算是平方根、分母不能为零和对数函数中真数和底数的问题等，有些问题明显给出了讨论的范围和方向，比如含参变量的二次函数、含参变量的不等式和含参变量方程根的问题。（2）题目中的条件是分类给出的，这只需要我们就每一类问题分别讨论，得出正确的方案，在将这些讨论的结果进行综合整理得出最终的结果。在解决这类题目时有一个要求，也就是解题过程不能统一叙述，每个小问题必须分类讨论，特别注意的是，当涉及几何相关问题的解答和讨论时，我们必须依据几何图形的形状、几何图形的位置及位置变化，严格需要分类讨论的也不能笼统的讨论，首先必须将每一个问题分别进行讨论后，.得出每一个小结论，然后将这些小结论分析、整理与综合，得出目标讨论4。（3）特别注意的是我们在解答涉及分类讨论相关题目时一定要多角度、多方面的去挖掘题目的已知条件，找出讨论的切入点和落脚点，以便于有依据、合情合理的去分析题目，比如在一个含未知数的函数中，这个式子里包含对数、根式和绝对值等式子，我们要求该函数的值域时，我们就要多角度的去分析这个式子，首先就要求出这个函数的定义域，这里面分三个方面来讨论该含数的定义域（被开方数必须大于等于零；对数函数的真数大于零；绝对值大于等于零），然后根据每一类的定义域的取值情况来加以分析和综合，最终得出原函数的定义域，最后根据原函数的定义域来讨论原函数的值域，因此针对这类题目的解答，学生不仅要有夯实的基本知识和技能，而且要有紧凑的思维逻辑和耐心的态度，还要保持清晰的头脑，才能一步一个脚印的完成这道题目。得出最终的正确答案。例1：最新的行业分类。有保险业采矿,能源餐饮，宾馆电讯业房地产服务行业服装业公益组织广告业航空航天化学，化工健康，保健 建筑业 教育，培训计算机金属冶炼警察，消防军人会计美容，形体媒体，出版木材，造纸零售，批发农业旅游业司法，律师司机体育运动学术研究演艺娱乐医疗服务艺术，设计银行，金融因特网音乐舞蹈邮政快递运输业政府机关机械制造咨询服务；例2：三角形的不同分类，按三角形的形状可将三角形分为等腰三角形、等边三角形和斜三角形；按三角形的度数来分可将三角形分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。例3：数列的分类，数列可以分为等差数列与等比数列之分、有限数列与无限数列之分和递增数列与递减数列之分。在数列中，其中0求数列的前n项 解：由，可得 ，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为设， 这时数列的前项和当时，这时数列的前项 第三章 分类讨论思想方法的意义和作用 随着科学技术的发展和人们生活水平的显著提高以及对高素质人才的需求。 推行素质教育，培养面向新世纪的合格人才，使学生具有创新意识，发散思维的意识，在创造中学会学习，教育应更多的关注指引学生的学习方法和策略。3.1 养成分类的意识我们每个人不管是在生活中还是在学习中以及工作中都具备一些基本的分类常识和分类知识，例如动物、人群及文具的分类等，而作为学生也必须具备一些分类知识。我们利用学生的这一认识基础，将丰富多彩的生活中的分类迁移到理论的数学中来5。在教育教学中对学生进行数学分类思想的灌输和培养，深挖课本提供的资源和知识，灵活掌握灌输的方式和方法。比如绝对值的意义，数的分类，立体几何的证明等这些都是灌输着分类思想的很好环境和机会。我们在这方面一定要做好分类的准备，培养养成分类的意识，有助于在以后的学习和生活中分析事物、理解问题。3.2增强思维的缜密性思维的缜密性也就是说一个人在分析问题、思考问题的逻辑紧凑性，作为学生，特别是初、高中的学生，他们的人生观和世界观都处于蓬勃形成时期。他们对不同的人，不同的事都充满热情，有自己独特的看法和见解。因此这个阶段向他们渗透分类讨论的意识，培养分类讨论的思想方法，增强他们分析问题、处理问题的思维缜密性6。要让他们知道应，我们所讲的分类就是选选定合适的标准，根据讨论对象的基本特点，不重复、不遗漏地将讨论的问题分为若干类，然后对每一个小问题分别讨论和解决。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。通过在这个时期对他们解题的培养。为今后进一步的学习和深造打下夯实的基础。缜密的思维为他们的学习、生活及人际交往提供良好的知识背景。3.3分类讨论思想的应用前景今天，在现实生活中，分类讨论思想主要表现在在很多经营条件良好和管理水平先进的公司或工厂等都要将不同性质和不同特性的产品分门别类，又要将相同性质或相似材料的产品放置在一起，在机关单位或银行等许多领域都需要把资料归类和整理。在工程上，设计师需要把整栋楼房大图样从不同的角度去分成相关的小图样，然后又将这些小图样拼凑成完整的楼房摸样，的由上述几类问题可知，分类思想贯穿于生活的方方面面7。我们这里主要将一些理论上的东西，具体上说，分类讨论思想在中学学习领域关于解题的基本思想和作用。3.4分类讨论思想方法的实践例1：求不等式 的解集是 (A) (B) (C) (D)x 首先分析：要让使不等式有意义的的范围是即与题设不等式的左边为两项，其中一项为二次算术根式，另一项是带绝对值的分式。宜先分类讨论去掉绝对值符号，化为无理不等式进行解答8。解：(1)当时 ，原不等式等价于 由,得； (2)当时，原不等式等价于 所以由,得。 所以原不等式的解集为故应选。 例2 ：当从到变化时，曲线怎样变化?解：当时，曲线方程化为，很明显看该出曲线是单位圆；当时，曲线方程化为,它表示焦点在y轴上的椭圆，短半轴为定长1；长半轴为，当这个时候无限变长； 当时，原方程化为，它表示两条平行直线； 当时，原方程化为，它表示双曲线，该双曲线焦点在轴上； 当，原方程化为，它表示焦点在轴上的等轴双曲线。 点评：当从到变化时，曲线从单位圆、椭圆、平行直线到双曲线、等轴双曲线；量变引起质变，关节点上发生突变飞跃，在这里我们看到辩证法在中学数学中体现得淋漓尽致9。例3： 集合与，若，求实数的取值范围。解：(1)； (2)当时，等价于方程组显然方程组无解等价于方程无解或方程有一解(为什么?)。而方程有无解又要对是否等于零分别讨论。即是否等于分别讨论： 当时，化为，无解，和(1)相同； 当时，化为无解，此时成立； 当时，方程(3)可化为若，代入上式可解得，此时综合(1)，(2)两种情况得。评述：本命题实质是判定以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆与其准线的位置关系(即是相交、相切、相离)。大家再一次看到量（e）引起质（位置）变的数学例子10。例4 ：令圆锥的母线长为，轴截面面积为，那么过顶点的圆锥的截面面积的最大值为多少？ 解：设圆锥轴截面顶角为，则。 当时，过顶点的圆锥的截面都为等腰三角形，它的两腰为圆锥的两条母线，而另一边为底面圆的一条弦，因为圆的任意一条弦都小于(或等于)直径，所以由平面几何知识得知，此时截面等腰三角形的顶角都小于轴截面的顶角，即在(范围内,正弦函数是单调递增的)由三角形面积公式 当时，过顶点O的截面的两条母线互相垂直时，截面面积最大，此时最大。 综合上述可知，经过顶点的圆锥的截面面积的最大值为或例5：在直角坐标系中，令矩形的顶点按逆时针方向依次为，其中。计算矩形在第一象限部分的面积。 首先分析：先画出草图帮助分析要求矩形OPQR在第一象限部分的面积，必须知道它在第一象限内的部分是什么图形由为定点，所以当为正数时，虽然点恒在第一象限，而点恒在第二象限，但点的横坐标可以为正，可以为零，可以为负，即点可能在第一象限或在y轴正半轴上或在第二象限。从而矩形在第一象限内的部分可能是三角形也或者是直角梯形，因此要分类求解11。 解：(1)当点的横坐标即时，点在第一象限设与轴相交于 直线的方程是：，即， 令，得， 因为S(t)=. 因为 , 所以； (2)当即时，点坐标为 所以； (3)当即时，点在第二象限，设与轴相交于点直线的方程是： 即。令得评注：本题适当变换思路和解题方法，避开了分类讨论。对于有可能避免分类讨论的题目，应尽量选择更简便的方法。小结：分类讨论的思想在求解函数、方程、不等式、排列组合，几何等数学问题中有广泛的应用用分类讨论解答数学问题的主要步骤是：首先分析题目条件，明确讨论的对象，确定对象的全体；然后确定分类标准，正确进行分类，做到不重不漏并力求最值；有时也会遇到二级分类；其次逐类进行讨论、求解12。最后纳小结，得出综合后的结论。所以说我们有必要学好这些方法，领悟这些方法在解题中的应用，掌握基本的解题技巧，为今后更深层次的学习打下基础。 参考文献1吴健. 聚焦绝对值问题中的分类讨论思想J,数学大世界(初中版),2011年Z2期2车树勤. 分类讨论,如何化整为零(上)J,数学教学通讯,2011年02期3信继丰. 优化解题思维、避免分类讨论J,中学生数理化，2011年01期4赵响. 有效回避分类讨论的几点注意J,高中数理化,2011年07期5杨继梓. 初中数学教学中的分类讨论思想J,陕西教育(教学版),2011年05期6严菊花. 对初中数学学习中分类讨论的探究J,考试周刊,2011年56期7徐勇. 分类有方 妙不可言J,数学教学通讯,2009年32期8吴锋. 由一道中考题的错解谈分类讨论J,初中数学教与学,2011年179吕林根. 解析几何（第三版）M,高教出版社，2002年10马良.高级运筹学M,机械工业出版社，2008年12邓小荣高中数学的体验教学法J广西师范学院学报，2003（8）致 谢 光阴似箭，白驹过隙，大学四年已经接近了尾声。当自己怀着忐忑不安的心情完成这篇毕业论