刚体的定轴转动2.ppt

第二章 刚体力学 2.1 刚体的定轴转动和平面平行运动 2.3 转动惯量的计算 2.2 刚体的转动定理 2.4 定轴转动刚体的功和能 2.5 角动量守恒定律 本章内容： 1 1 1.刚体： 特殊的质点系， 理想化模型。形状和体积不变化 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变。 2. 自由度： 确定物体的位置所需要的独立坐标数 s O i = 1 x y z O ( x , y , z ) i = 3i = 2 x y z O i = 3+2+1= 6 对于刚体而言，当刚体受到某些限制 自由度减少. 一、刚体运动的描述 在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体. 2 2 二、刚体的运动形式 1. 刚体的平动 刚体运动时，在刚体内任意两点连线都始终保持和自身 平行. 3 3 刚体中各质点的运动情况相同,刚体的平动可归结为质点运动. x y z O A B M 平动的特点 描述刚体的平动的自由度：3个 4 4 2. 刚体绕定轴的转动 刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动 _ 刚体转动 转轴固定不动 定轴转动 5 5 角坐标 z I II P 描述刚体绕定轴转动的角量： 运动学方程 刚体定轴转动时虽然刚体中任意一点的到转轴的距离不同，但 在相同时间内转过的角度相同。 描述刚体绕定轴转动的自由度：1个 6 6 刚体运动过程中任意一点的运动均为平面运动。 3、刚体平面平行运动 例如：车轮的滚动可以看成车轮随 轮轴的平动与绕轮轴的转动的组合 。 刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。 描述刚体平面运动的自由度：3个 7 7 4、定点转动 刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一瞬 时转轴的转动，称作定点转动。 描述定点转动的自由度：3个 8 8 5、刚体的一般运动 质心的平动绕质心的转动+ 9 9 刚体绕定轴转动时的角速度 的方向由右手定则确定. 规定： 逆时针转动, 0, 沿转轴向上, 0 . 顺时针转动, 0 0 1 0 0 设1 ，2 同向, = 2 -1 . 加速转动 减速转动 角加速度 1111 当 与质点的匀加速直 线运动公式相似 M , 刚体 z O r 任意点都绕同一轴作圆周运动, 且 ， 都相同 绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度 角量和线量的关系 1212 一飞轮的半径为 0.2m, 转速为150rmin, 经30s均匀 减速后 停止. 求：（1）角加速度和飞轮转的圈数,（2）t = 6s 时的角 速度, 飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度、法向加速度. 解： 飞轮在30s内转过的角度为： 飞轮在30s内转过的圈数为： 例1 （1） 1313 (2) t = 6 s 时的角速度： 边缘线速度： 切向加速度： 法向加速度： 设圆柱型电机转子由静止经300s后达18000r/min，已知转子的 角加速度a与时间成正比. 求: 转子在这段时间内转过的圈数. 因角加速度a 随时间而增大，设：= ct 由角加速度的定义 例2 解： 1414 由给定条件， 由角速度的定义，则任意 时刻的角速度可写为： 得到： 转子转数： 对上式两边积分得 1515 一、力矩 改变质点的运动状态质点获得加速度 改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度 1. 力 F 对z 轴的力矩 h A (力不在垂直于轴的平面内) (力F 在垂直于轴的平面内) 2.2 力矩 转动定律 转动惯量 力 力矩 1616 2. 力对点的力矩 O . 大小： 方向：指向由右手螺旋法则确定. （力对轴的力矩只有两个指向） A 力对定轴力矩的矢量形式 讨论 1717 ri 二、转动定律 切线方向 在上式两边同乘以到 转轴的垂直距离 ri 对所有质元求和 fi 内力矩之和为0转动惯量J 刚体的转动定律（刚体绕定轴转动微分方程） 刚体上任一质元m i 受力 1818 转动定律： 刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于刚体对 此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的 角加速度的乘积。 即求力矩之和,而非求力之和的矩. 在形式上对应,是反映瞬时效应的. m 反映质点的平动惯性，J 则反映刚体的转动惯性. (2)与牛顿第二定律比较： 讨论： 1919 2.3 转动惯量的计算 一、质点系的转动惯量 质量不连续分布 J 的单位（SI） ：kgm2 量纲：ML2 mk m2 m1 rk 转动惯量的定义： 例子： 2020 质元的选取和计算方法： 质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布 、 分别为刚体质量分布的 线密度、面密度和体密度. dm为质量元,简称质元. r 如果质点系的质量连续分布， 2121 v 讨论：确定转动惯量的三个要素 (1)总质量(2)质量分布(3)转轴的位置 例：等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量，两者质量不同。 L z O x dx M 1、J 与刚体的总质量有关 2222 例：圆环绕中心轴旋转的转动惯量 例：圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 dl O m R O m r dr R 2、 J 与质量分布有关 2323 O L x dx M z L O x dx M z 3、 J 与转轴的位置有关 因此刚体的总质量、质量分布和转轴的位置均影响刚体的转动惯量 同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的。 2424 z L C M z O L x dx M z L O x dx M z 二、平行轴定理及垂直轴定理 刚体绕任意轴的转动惯量. 刚体绕通过质心的轴. 两轴间垂直距离. 1、平行轴定理 例子： 在一系列的平行轴中，对质心的转动惯量最小。 2525 刚体绕垂直薄板过质心轴的转动惯量. 刚体绕平行薄板过质心的两垂直轴的转动惯量. 2、垂直轴定理 z yM x 厚度d很小 注意：对于厚度不是非常小的板，这个定理不适用。 例子： o o o o 2626 竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？ 2727 三、J 的计算 （1）按定义计算 求长为L质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量. AB L x dm 解：取如图坐标，dm = dx B L/2 L/2 C x dm 例1： 2828 求质量为m、半径为R 的均匀圆环的转动惯量。轴与圆 环平面垂直并通过圆心. 解： 对于薄圆筒（不计厚度），其转动惯量与以上结果相同. R O dm 例2 dh 2929 求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转动惯量.轴 与盘平面垂直并通过盘心. R o r dr dm 解： 例子：实心圆柱对其轴的转动惯量也是 mR2/2 . 例3 . 圆环质量: 圆环转动惯量: 圆盘转动惯量: 圆盘密度: 自证：P43薄球壳和球体对直径的转动惯量30 30 例4：棒与圆盘组成的刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯 量如何计算？ (棒长为L、圆盘半径为R） 这里运用了平行轴定理以及迭加法求转动惯量。 棒对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量： 圆盘对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量： 整个刚体组对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量： 解： 3131 刚体定轴转动时的转动定律： 确定转动惯量的三个要素: (1)总质量(2)质量分布(3)转轴的位置 平行轴定理及垂直轴定理 小节 3232 (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳 端，试计算飞轮的角加速 解 (1) (2) 两者区别 2.3 应用转动定理解题 例1 求 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦 不计 (见图) . 3333 一定滑轮的质量为 m ，半径为 r ，不能伸长的轻绳两边分 别系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动. （设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零） 例2 求 滑轮转动角速度随时间变化的规律. 解 以m1 ， m2 ， m 为研究对象, 受力分析 滑轮 m： 物体 m1： 物体 m2： 3434 一根长为l、质量为 m 的均匀细直棒,其一端有一固定的 光滑水平轴, 因而可以在竖直平面内转动.最初棒静止在竖 直位置,由于微小扰动,在重力作用下由静止开始转