九年级数学上册图形的相似7相似三角形的性质相似三角形中的开放性问题素材.docx

相似三角形中的开放性问题相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，由于相似三角形中对应顶点的不确定性，导致了在很多问题中出现多解的情况，即答案不是唯一确定的，下面举几例简单加以说明，希望能对同学们有所帮助。图1ABCDE1寻找三角形相似的条件例1如图1，分别是的边上的点，请你添加一个条件，使与相似，你添加的条件是 分析：在ADE与ABC中，有一个公共角A，根据三角形相似的判定定理，要使ADEABC，只要两个三角形中另有一组角对应相等或A的夹边对应成比例就可以了解：只需添加条件：BAED或CADE或等等 说明：本题添加的条件不唯一，是一道典型的条件开放题本题添加的条件还可以是上面所写条件的等价形式，如，ACAEABAD2寻找相似三角形BACDEF图2例2. 已知:如图2， ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连结DE并延长交BC的延长线于点F，连结DC、BE若BDE+BCE=180(1)写出图中三对相似三角形(注意:不得加字母和线)；(2)请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明他们相似的理由分析: 在一对角相等的条件下，如果有另一对角相等，那么两个三角形相似，或相等角的对应边成比例，也可得到两个三角形相似BDE+BCE=180， BDE+ADE=180， ADE=ACB， A=A， ADEACB又A=A， AEBADCBDE+BCE=180，BCE+ECF=180， ECF=BDE， CEFDBF又F=F， FEBFCD由此得到四对相似三角形，只要写出其中三个即可解答:(1)ADEACB， AEBADC， CEFDBF， FEBFCD中任意三对即可(2)证明略说明：本题是一道结论开放题，要找出相似三角形，应从相似三角形的判定条件入手进行分析，先考虑是否有两对角对应相等的三角形，再分析两边对应成比例且夹角相等的三角形3构造格阵中的相似三角形例3. 如图3，已知格点，请在图2中分别画出与相似的格点和格点，并使与的相似比等于2，而与的相似比等于(说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形友情提示：请在画出的三角形的顶点处标上相对应的字母！ABC图3)ABC图4分析：各边的长分别为1，与的相似比等于2，因此各边的长分别为2，各边的长分别为，5.解：如图4(所作图形只需符合题意即可)说明：当相似比确定后，A1B1C1的形状就确定了，但A1B1C1可以有多个不同的位置而设定不同的相似比，又可以得到不同的相似三角形另外，本题也可以利用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定定理求解，从题目条件可知ACB135，故只需把AB、BC的长求出，然后再设相似比即可求解114分割相似三角形例4. 已知：在直角坐标系中的位置如图5所示，为的中点，点为折线上的动点，线段把分割成两部分问：点在什么位置时，分割得到的三角形与相似？(注：在图上画出所有符合要求的线段，并求出相应的点的坐标)图5 分析：由于原AOB为直角三角形，要使分割得到的三角形与相似，故线段PC必须与原三角形的三条边垂直，因此我们需要考虑三种情况.解：过作，垂足是，则点坐标是11过作，垂足是，则点坐标是过作，垂足是（如图6），则，易知，图 6