2019届高考数学二轮复习专题四概率与统计第2讲概率随机变量及其分布列学案理.docx

第2讲概率、随机变量及其分布列高考定位1.计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度；2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”，多在解答题的前三题的位置呈现，常考查独立事件的概率，超几何分布和二项分布的期望等.真 题 感 悟 1.(2018全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A. B. C. D.解析不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C种不同的取法，其中两素数相加等于30的有7和23，11和19，13和17，共有3种情况，所以所求概率P，故选C.答案C2.(2018全国卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则()A.p1p2 B.p1p3C.p2p3 D.p1p2p3解析不妨设ABC为等腰直角三角形，ABAC2，则BC2，所以区域的面积即ABC的面积，为S1222，区域的面积S3S12.区域的面积为S2S32.根据几何概型的概率计算公式，得p1p2，p3，所以p1p3，p2p3，p1p2p3，故选A.答案A3.(2018全国卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0，f(p)单调递增；当p(0.1，1)时，f(p)400，故应该对余下的产品作检验.考 点 整 合1.概率模型公式及相关结论(1)古典概型的概率公式.P(A).(2)几何概型的概率公式.P(A).(3)条件概率.在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A).(4)相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)P(A)P(B).(5)若事件A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)，P()1P(A).2.独立重复试验与二项分布如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)Cpk(1p)nk，k0，1，2，n.用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即XB(n，p)且P(Xk)Cpk(1p)nk.3.超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0，1，2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，此时称随机变量X服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.4.离散型随机变量的均值、方差(1)离散型随机变量的分布列为x1x2x3xinPp1p2p3pipn离散型随机变量的分布列具有两个性质：pi0；p1p2pipn1(i1，2，3，n).(2)E()x1p1x2p2xipixnpn为随机变量的数学期望或均值.D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xiE()2pi(xnE()2pn叫做随机变量的方差.(3)数学期望、方差的性质.E(ab)aE()b，D(ab)a2D().XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p).X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p).热点一古典概型与几何概型【例1】 (1)(2018太原二模)某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：箱子中有编号为1，2，3，4，5的五个形状、大小完全相同的小球，从中任取两球，若摸出的两球号码的乘积为奇数，则中奖；否则不中奖.则中奖的概率为()A. B. C. D.(2)(2018湖南师大附中联考)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y3sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图所示).其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为_.解析(1)从5个球中，任取两球有C10种情况，其中两球编号乘积为奇数有C3种情况.所求事件的概率P.(2)依题意，大圆的直径为y3sinx的最小正周期T8.大圆的面积S16.又一个小圆的面积S012.故所求事件的概率P.答案(1)C(2)探究提高1.求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数.常常用到排列、组合的有关知识，计数时要正确分类，做到不重不漏.2.计算几何概型的概率，构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.【训练1】 (1)(2016全国卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A. B. C. D.(2)(2018郑州质检)现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球任意排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为()A. B. C. D.解析(1)如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型所求概率P.(2)设“4个小球排成一排，中间2个小球不都是红球”为事件A.则表示事件“中间2个球都是红球”，易知P()，故P(A)1P().答案(1)B(2)C热点二互斥事件、相互独立事件的概率考法1互斥条件、条件概率【例21】 (2016全国卷选编)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.解(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)0.200.200.100.050.55.(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)0.100.050.15.又P(AB)P(B)，故P(B|A).因此所求概率为.考法2相互独立事件与独立重复试验的概率【例22】 (2018衡水中学调研)多家央企为了配合国家战略支持雄安新区建设，纷纷申请在新区建立分公司.若规定每家央企只能在雄县、容城、安新3个片区中的一个片区设立分公司，且申请其中任一个片区设立分公司都是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司.向雄安新区申请建立分公司的任意4家央企中，(1)求恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率；(2)用X表示这4家央企中在“雄县”片区建立分公司的个数，用Y表示在“容城”或“安新”片区建立分公司的个数，记|XY|，求的分布列.解(1)法一依题意，每家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为，去另外两个片区建立分公司的概率为，这4家央企恰有2家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为PC.法二所有可能的申请方式有34种，恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的方式C22种，从而恰有2家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为P.(2)由题意知，XB，则P(Xk)C(k0，1，2，3，4)，随机变量的所有可能取值为0，2，4.P(0)P(X2)，P(2)P(X1)P(X3)，P(4)P(X0)P(X4).所以随机变量的分布列为024P探究提高1.求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解.2.(1)注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件发生的概率相同.(2)牢记公式Pn(k)Cpk(1p)nk，k0，1，2，n，并深刻理解其含义.【训练2】 (2018天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.解(1)由题意得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P(Xk)(k0，1，2，3).则P(X0)，P(X1)，P(X3)，则P(X2)1，所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)0123.设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则ABC，且B与C互斥.由知，P(B)P(X2)，P(C)P(X1)，故P(A)P(BC)P(X2)P(X1).所以，事件A发生的概率为.热点三随机变量的分布列、均值与方差考法1超几何分布【例31】 (2018西安调研)4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查.各组人数统计如下：小组甲乙丙丁人数91263(1)从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；(2)在参加问卷调查的10名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X表示抽得甲组学生的人数，求X的分布列和数学期望.解(1)由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有C45种，这两名学生来自同一小组的取法共有CCC10，所以P.(2)由(1)知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2.X的可能取值为0，1，2.则P(Xk)(k0，1，2).P(X0)，P(X1)，P(X2).则随机变量X的分布列为X012P故E(X)012.探究提高1.求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率.2.对于实际问题中的随机变量X，如果能够断定它服从超几何分布H(N，M，n)，则其概率可直接利用公式P(Xk)(k0，1，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*).【训练3】 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X).解(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M).(2)由题意知X可取的值为：0，1，2，3，4，则P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).因此X的分布列为X01234PX的数学期望是E(X)012342.考法2与独立重复试验有关的分布列【例32】 (2018潍坊一模)某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数14，标准差2，绘制如图所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值.(1)从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X，依据以下不等式评判(P表示对应事件的概率)：P(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(3X3)0.997 4.评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生产线是否需要检修；(2)将数据不在(2，2)内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取2件，次品数记为Y，求Y的分布列与数学期望E(Y).解(1)由题意知，14，2，由频率分布直方图得P(X)P(12X0.682 6，P(2X2)P(10X18)0.8(0.040.03)20.940.954 4，P(3X3)P(8X20)0.94(0.0150.005)20.980.997 4，所以不满足至少两个不等式成立，故该生产线需检修.(2)由(1)知P(2X7.879，P(K27.879)0.005，故有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”.(2)根据分层抽样原理，从这200名顾客中抽取10人，抽到“使用手机支付”的人数为106.“不使用手机支付”的人数为4.设随机抽取的3人中“使用手机支付”的人数为随机变量X.则X0，1，2，3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所求随机变量X的概率分布为X0123P期望E(X)0123.探究提高1.本题考查统计与概率的综合应用，意在考查考生的识图能力和数据处理能力.此类问题多涉及相互独立事件、互斥事件的概率，在求解时，要明确基本事件的构成.2.联系高中生使用手机这一生活现象，利用数学中列联表、独立性检验，予以研究二者的相关性，考查了相互独立事件同时发生、分布列.题目主旨，引导学生正确对待使用手机，切勿玩物丧志，并倡导互帮互助的学习风气.【训练5】 (2018哈尔滨二模)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，8，其中X5为标准A，X3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的数学期望E(X1)6，求a，b的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望；(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注：产品的“性价比”；“性价比”大的产品更具可购买性.解(1)因为E(X1)6，所以50.46a7b80.16，即6a7b3.2，又由X1的概率分布列得0.4ab0.11，即ab0.5，由解得(2)由已知得，样本的频率分布表如下：等级系数X2345678样本频率f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)30.340.250.260.170.180.14.8，即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为1，因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为1.2，所以乙厂的产品更具可购买性.1.古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)，其中，在实际应用中P(B|A)是一种重要的求条件概率的方法.2.相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)P(A)P(B).互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(AB)P(A)P(B).3.二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位.(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(Xk)Cpkqnk.其中k0，1，n，q1p.一、选择题1.(2018广州模拟)三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中一个直角三角形中较小的锐角满足tan ，现向大正方形内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是()A. B. C. D.解析在RtABC中，tan .不妨设BC3，AC4，则DC1，AB5.所求事件的概率P.答案D2.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“论语知识大赛”，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”.从上述回答分析，丙是第一名的概率是()A. B. C. D.解析由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件与丙、丁或戊都无关，所以这三个人获得第一名是等概率事件，概率为.答案D3.(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)2.4，P(X4)P(X6)，则p()A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3解析由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以D(X)10p(1p)2.4，所以p0.6或p0.4.由P(X4)P(X6)，得Cp4(1p)6Cp6(1p)4，即(1p)20.5，所以p0.6.答案B4.(2018长郡中学二模)设随机变量X服从正态分布N(4，2)，若P(Xm)0.3，则P(X8m)()A.0.2 B.0.3C.0.7 D.与的值有关解析随机变量X服从正态分布N(4，2)，正态曲线的对称轴是x4，P(Xm)0.3，且m与8m关于x4对称，由正态曲线的对称性，得P(Xm)P(X8m)10.30.7.答案C5.(2018浙江卷)设0pD(4)D(2)D(5)D(3)D(6).10.(2018西安调研)在一次诗词知识竞赛调查中，发现参赛选手分为两个年龄(单位：岁)段：20，30)，30，40，其中答对诗词名句与否的人数如图所示.(1)完成下面22列联表：年龄段正确错误合计20，30)30，40合计(2)是否有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关，请说明你的理由；(3)现按年龄段分层抽样选取6名选手，若从这6名选手中选取3名选手，求3名选手中年龄在20，30)岁范围人数的分布列和数学期望.注：K2，其中nabcdP(K2k0)0.1000.0500.0100.005k02.7063.8416.6357.879解(1)22的列联表为年龄段正确错误合计20，30)10304030，40107080合计20100120(2)根据22列联表中的数据，得K2的观测值为k32.706，有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关.(3)按年龄段分层抽取6人中，在范围20，30)岁的人数是2(人)，在30，40岁范围的人数是4(人).现从6名选手中选取3名选手，设3名选手中在范围20，30)岁的人数为，则的可能取值为0，1，2.P(0)，P(1)，P(2).的分布列为012P故的数学期望为E()0121.11.(2018武汉三模)2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表：月份2017.122018.012018.022018.032018.04月份编号t123