平面向量的坐标 教案（北师大版必修4）.doc

4 平面向量的坐标41平面向量的坐标表示42平面向量线性运算的坐标表示43向量平行的坐标表示（铜鼓中学数学组）三维目标1知识与技能(1)掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的坐标运算法则，并能进行相关运算(2)掌握向量共线的坐标表示及应用2过程与方法通过向量的正交分解及坐标运算，进一步体会向量的工具作用3情感、态度与价值观(1)通过学习向量的坐标表示，实现几何与代数的完美结合，使学生明白知识与知识之间、事物之间的相互联系和相互转化(2)通过例题及练习，让学生了解向量的几何运算和代数运算，培养学生的辩证思维重点难点重点：向量坐标形式下的线性运算及共线的条件难点：共线条件坐标表示的应用(教师用书独具)教学建议 在直角坐标平面xOy内，给出了向量的坐标，定义了向量加法、减法和数乘向量的运算法则，从而将向量运算数量化、代数化将数与形紧密地联系在一起，使一些几何问题的证明，转化为数量的运算，学生更容易掌握引入向量的直角坐标后，平行向量基本定理只要用向量的坐标表示即可教学时，可在复习平面向量基本定理的基础上，引导学生自己探索用平面向量坐标表示向量共线的条件教学时要注意零向量可与任一向量平行的规定教学流程创设问题情境，引出问题：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数表示，对直角坐标平面内的每一个向量如何表示呢？引导学生结合平面向量基本定理和平面直角坐标系，观察、比较、分析、采取合情推理方法发现向量的坐标表示方法通过回答所提问题，理解向量的坐标表示，线性运算及向量共线的坐标表示通过例1及变式训练，使学生熟练掌握点与向量的坐标表示通过例2及变式训练，使学生熟练掌握向量坐标形式的线性运算通过例3及变式训练，使学生熟练掌握共线向量的坐标表示归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示(重点)2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算(重点)3理解用坐标表示的平面向量共线的条件(重点)平面向量的坐标表示【问题导思】已知，是单位向量，且与互相垂直，如图所示|4，AOC60，你能利用，来表示吗？与有怎样的特点？图241【提示】26；，是单位向量，且与垂直图242在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得xiyj，因此axiyj，把实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a(x，y)平面向量的坐标运算【问题导思】学习了向量的坐标表示后，你可以推导向量的加法、减法、数乘的坐标运算吗？【提示】可以设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)(2)a(x1，y1)(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)向量平行的坐标表示1.设a，b是非零向量，且a(x1，y1)，b(x2，y2)，若ab，则存在实数，使ab，用坐标表示为x1y2x2y10.若y10且y20，则上式可变形为.2文字语言描述向量平行的坐标表示定理1若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例定理2若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行.平面向量的坐标表示图243 在直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图243所示，且|a|2，|b|3，分别求出它们的坐标【思路探究】由于向量a，b的起点在坐标原点，因此，只需求出终点A，B的坐标【自主解答】设点A(x，y)，B(x0，y0)，|a|2，且AOx45.x2cos 45，且y2sin 45.又b3，xOB9030120.x03cos 120，y03sin 120.故a(，)，b(，)1向量的正交分解是平面向量分解中常见的一种情形，即基底i，j垂直的情况2要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同(1)意义不同，点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向(2)当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同已知点O是ABC内一点，AOB150，BOC90，设a，b，c且|a|2，|b|1，|c|3，求向量，.【解】如图所示，以点O为原点，所在直线为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，|1，AOB150，B(cos 30，sin 30)，B(，)|3，C(3sin 30，3cos 30)，即C(，)又A(2,0)，(，)(2,0)(2，)，(，)(，)(，)向量坐标形式的线性运算已知点A、B、C的坐标分别为A(2，4)、B(0,6)、C(8，10)求向量2的坐标【思路探究】由A、B、C三点的坐标，求出、的坐标，再利用向量的加法，减法，数乘的坐标运算求解【自主解答】由A(2，4)，B(0,6)，C(8,10)得，(2,10)，(8,4)，(10,14)，2(2,10)2(8,4)(10,14)(2,10)(16,8)(5,7)(18,18)(5,7)(13,11)1已知向量起点和终点坐标，应先求出该向量的坐标，然后利用法则进行加、减、数乘运算2若求某点的坐标，常用待定系数法先设出点的坐标，然后列方程组求解本例的条件不变，求使成立的D点坐标【解】设D(x，y)，则(x2，y4)，又(2,10)(10,14)(12,24)，若，则(x2，y4)(12,24)，因此D点坐标为(10,20)平行向量的坐标表示已知向量a(1,1)，b(2，x)，若ab与4b2a平行，求实数x的值，并指明此时它们是同向还是反向？【思路探究】计算ab及4b2a由共线求x的值写出a，b并判断方向【自主解答】a(1,1)，b(2，x)，ab(3，x1)，4b2a(6,4x2)又ab与4b2a平行，故6(x1)3(4x2)0.解得x2.此时ab(3,3)，4b2a(6,6)2(ab)，ab与4b2a的方向相同解决向量共线问题时，常常根据向量平行的坐标表示，将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解平面内三个给定向量a(1,3)，b(2，1)，c(2,4)，若(akc)(2ba)，求实数k.【解】akc(12k,34k)，2ba(3，5)，(akc)(2ba)，(5)(12k)3(34k)0，k.对共线向量的定义理解不到位致误若向量a(1，x)与b(x,2)共线，求x.【错解】a，b共线，(1)2x(x)0，得x(舍去)或x，故x为所求【错因分析】舍去x没有道理【防范措施】共线的两个向量可以是同向共线，也可以是反向共线解答这类试题时，要认真审题，对求得的参数需进行讨论，舍去不合题意的参数值【正解】a，b共线，(1)2x(x)0，得x，而x时，a(1，)，b(，2)(1，)a，此时a，b同向共线；x时，ba，此时a，b异向共线故x为所求1学习了向量的坐标表示以及向量线性运算的坐标表示2学习了向量平行的坐标表示3学会了利用向量共线的坐标表示，求点、向量的坐标以及处理三点共线问题1已知点A(1，2)，B(4,3)，则A的坐标为()A(3,1) B(5，5)C(5,5)D(5,5)【解析】(4,3)(1，2)(5,5)，故选C.【答案】C2(2012广东高考)若向量(2,3)，(4,7)，则()A(2，4) B(2,4)C(6,10)D(6，10)【解析】利用向量加法的坐标运算求解(4,7)，(4，7)，(2,3)(4，7)(2，4)【答案】A3已知ab(1,3)，ab(5,7)，则a_，b_.【解析】由ab(1,3)，ab(5,7)，2a(1,3)(5,7)(6,10)，a(3,5)2b(1,3)(5,7)(4，4)，b(2，2)【答案】(3,5)(2，2)4已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，2ab，且u，求x的值【解】法一：据已知可得u(1,2)2(x,1)(2x1,4)，2(1,2)(x,1)(2x,3)由u知存在R，使u，即(2x1,4)(2x,3)(2x)，3)解得x.法二：由已知，得u(2x1,4)，(2x,3)，u，(2x1)34(2x)0.x.一、选择题1设平面向量a(3,5)，b(2,1)，则a2b等于()A(7,3)B(7,7)C(1,7)D(1,3)【解析】a2b(3,5)2(2,1)(3,5)(4,2)(7,3)【答案】A2(2013海口高一检测)已知a(2,4)，b(x,1)，当ab与ab共线时，x值为()A.B1 C.D.【解析】ab(2x,5)，ab(2x,3)，ab与ab共线，3(2x)5(2x)0，解得：x.【答案】C3已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，则向量ab()A平行于x轴B平行于第一、三象限的角平分线C平行于y轴D平行于第二、四象限的角平分线【解析】ab(x,1)(x，x2)(0，x21)，由于x211，点(0，x21)在y轴正半轴上ab平行于y轴，故选C.【答案】C4已知两点A(4,1)，B(7，3)，则与向量A同向的单位向量是()A(，)B(，)C(，)D(，)【解析】与A同向的单位向量为，|A|5.A(7，3)(4,1)(3，4)，(，)【答案】A5已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b()A(2，4)B(3，6)C(4，8)D(5，10)【解析】若ab，则m220，m4，b(2，4)因此2a3b2(1,2)3(2，4)(2,4)(6，12)(4，8)，故选C.【答案】C二、填空题6在ABCD中，AC为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则_.【解析】(1,3)(2,4)(1，1)，(1，1)(2,4)(3，5)【答案】(3，5)7已知O是坐标原点，点A在第二象限，|2，xOA150，则向量的坐标为_【解析】过A分别作AM、AN垂直于x轴、y轴，垂足为M、N.易知AM1，AN，A(，1)，(，1)【答案】(，1)图2448(2012山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_【解析】设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧长为2，ABP2.设P(x，y)，则x21cos(2)2sin 2，y11sin(2)1cos 2，的坐标为(2sin 2,1cos 2)【答案】(2sin 2,1cos 2)三、解答题9已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(2,1)、(1,3)、(3,4)，求顶点D的坐标【解】设顶点D的坐标为(x，y)，(1,3)(2,1)(1,2)，(3,4)(x，y)(3x,4y)由，得(1,2)(3x,4y)即，解得平行四边形ABCD顶点D的坐标为(2,2)10已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标【解】由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)，M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2) ，N(9,2)(9，18)11已知A、B、C三点的坐标分别为(1,0)，(3，1)，(1,2)，并且，(1)求E，F的坐标；(2)判断与是否共线【解】(1)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，依题意得(2,2)，(2,3)，由，可知(x11，y1)(2,2)，即，E(，)由可知(x23，y21)(2,3)，.F(，0)E点坐标为(，)，F点坐标为(，0)(2)由(1)知：(，0)(，)(，)，又(4，1)，(4，1)，即与共线.(教师用书独具)已知向量u(x，y)与向量v(y,2yx)的对应关系用vf(u)表示(1)设a(1,1)，b(1,0)，求向量f(a)与f(b)的坐标；(2)求使f(c)(p，q)(p，q为常数)的向量c的坐标；(3)证明：对任意的向量a，b及常数m，n，恒有f(manb)mf(a)nf(b)成立【思路探究】解决本题的关键是找出函数vf(u)的对应关系式，此处的向量为向量的坐标，因此可通过坐标运算解决【自主解答】(1)a(1,1)，f(a)(1,211)(1,1)又b(1,0)，f(b)(0,201)(0，1)(2)设c(x，y)，则f(c)(y,2yx)(p，q)，c(2pq，p)(3)设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则manb(ma1nb1，ma2nb2)，所以f(manb)(ma2nb2,2ma22nb2ma1nb1)因为mf(a)m(a2,2a2a1)，nf(b)n(b2,2b2b1)，所以mf(a)nf(b)(ma2nb2,2ma22nb2ma1nb1