直线的倾斜角和斜率教学设计.doc

教 学 设 计高 一 数 学直线的倾斜角和斜率 宜春中学刘月梅普通高中课程数学2（必修）北师大版第二章解析几何初步1.1直线的倾斜角和斜率（教学设计 ） 宜春中学刘月梅一、设计思想：学生在初中阶段学习过函数的图像，了解在坐标系中点与实数对的对应，这正是解析几何的研究方法，而直线是解析几何中最基本最简单的研究对象，它既能为进一步的学习做好知识上的准备，又能为后面灵活运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。1）本节课在设计时特别重视知识的形成，过程的感悟，概念的辨析，充分利用多媒体形象展示，使学生全面地、多角度、多层次地认知新概念，特别是利用几何画板的动态演示，透彻理解确定直线位置的要素；2）引导学生理解倾斜角概念时的要点（七个）、取值范围，特别是倾斜角的引入前提是与轴相交的直线；对于规定：与轴平行或重合的直线的倾斜角为，要明确给出并强调；我有意识设计为：我们数学中经常在这种情况下就规定，诱发学生“为什么？凭什么动不动就规定？根据是什么呀？”，为后面斜率方法三的讨论做足铺垫。3）在给出倾斜角的公式时，当倾斜角为钝角时怎么求正切?结果又是什么？这是这节课最难说明白的地方，我这样设计：等学习了三角函数知识后再解决，但结论是一致的；利用方法一中的中的值随倾斜角变化轻松得出倾斜角与斜率间的关系及变化规律，并对水平与竖直两种特殊位置的斜率给出合理解释与验证，进而证实“规定”的合理性；4）掌握过两已知点的直线的斜率公式，利用过原点的直线的斜率求出不过原点的直线的斜率，共同分析公式的特点和使用范围；活用方法一作直线；（将不过原点情形作为课后探究）；设置紧扣本节重点的例1，2，3，4，强化重点概念的理解和公式记忆：设计了四个课后探究题，使课堂知识的思考延伸到课后的讨论中，同时为下一节课做足铺垫，如由斜率判定倾斜角情形、利用斜率和点作直线、利用斜率判定三点共线等；斜率公式的推导采取逐步递进，发展到用直线上的两点的坐标表示斜率，体现新课标的递进、螺旋式认知理念；通过图片展示使学生了解解析几何及其在生活科学等方面的应用，激发学生的学习热情，引导学生树立远大理想，崇尚科学。建议：在引导学生用倾斜角的正切值表示直线的斜率时，由于学生毫无三角函数基础，只要求给出会用即可，降低由角求正切值，更不要设置已知正切值求倾斜角，不能用知识的联系性、思维的连贯性的传统理念，去增加补充三角函数知识，否则就与新课程理念相背离了。 二三维目标1.通过具体图形理解确定直线的几何要素，理解直线倾斜角、斜率的概念，感受直线的方向与倾斜角及斜率之间的对应关系。掌握过两点的直线斜率的计算公式，初步感受解析几何的本质，用代数的方法解决几何的问题，在教学中培养学生数形结合的数学思想。2.培养和提高学生联系、对应、转化等辨证思维能力，形成严谨的学习态度。3.营造轻松、和谐的学习氛围，培养学生的探究能力、合作意识及语言表述能力。三、内容和内容分析本课是北师大版数学必修2第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何第一节课,主要知识点是直线倾斜角和斜率，它是解析几何的最基本的、也是重要的概念之一，也是刻画直线倾斜程度的几何要素，是用坐标法研究几何图形的解析方法的初次体现。通过本节课对直线倾斜角与斜率的研究能够使学生初步感受到解析几何的本质，步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。因而本节课的数学思想和方法尤显重要四教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，用代数的方法刻画直线斜率的过程及过两点的直线的斜率公式；教学难点：斜率概念的理解和斜率公式的推导。教学方法：通过实例创设教学环境，让学生感悟到知识的生成。五学情分析初中学生已在平面坐标系中对一次函数借助几何图形研究了性质，图形非常熟悉。学生对三角函数的认识相对浅得多，对斜率用倾斜角的正切值表示困难较大，但也要求学生掌握特殊角度正切值。六现代信息技术使用为了有效实现教学目标，考虑到学生的知识水平和理解能力，借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性。1.利用图片介绍解析几何。2.幻灯展示设问问题、例题、引入中的课件（一，二），利用几何画板演示倾斜角的大小与直线斜率的关系；3. 幻灯展示课堂小结、课后作业及探究。4.新知识学习过程中的探究设问：七导学流程1.利用图片介绍解析几何。2.幻灯展示设问问题、例题、引入中的课件（一，二），利用几何画板演示倾斜角的大小与直线斜率的关系；3. 利用课件演示，引出直线斜率公式4.新知应用5.知识延伸6.幻灯展示课堂小结、课后作业及探究。八.新知识学习过程中的探究设问：确定一条直线的位置需要什么条件？用什么量描述直线的倾斜程度呢？倾斜角概念中的要点有哪些？倾斜角的取值范围？能为任何直线都有倾斜角吗？唯一吗？除了倾斜角还有什么能表示直线的“倾斜程度”？任何直线都有斜率吗？不与轴垂直的直线的斜率除了用外，用直线上的两点的坐标怎样表示呢？用斜率公式求直线的斜率应注意什么？三点共线的实质是什么?九教学过程设计教学环节教师活动学生活动技术支持导入本章内容导入本节内容直线的倾斜角概念引出直线的斜率斜率公式一斜率与倾斜角的关系斜率公式二新知应用知识目标检测能力目标检测在初中学习一次函数、二次函数时，我们建立了坐标系，使平面内的点和实数对(x,y)建立起了一一对应的关系。初步学会用代数方法描述几何问题（直线、抛物线），把几何问题转化成了代数问题并研究它的性质。用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。从而形成了数学的一个分支-解析几何。高中主要学习平面解析几何，大学还会学习空间解析几何。那么我们高中的平面解析几何研究的几何对象是什么呢？德国天文学家开普勒发明了星星运行定律。行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳在椭圆的一个焦点上。在神秘的太空竟然存在如此美妙的曲线-椭圆，行星们在各自的轨道上规则的运行着，在科技迅猛发展的今天，有多少发明创造有待我们去完成？！再看，实验室、生活中的抛物线，象椭圆、抛物线等可由下面模型得到：用不同位置的平面截双锥体所得截痕有椭圆、抛物线、双曲线等，称之为研究圆锥曲线，它就是高中的平面解析几何研究的几何对象。 今天我们就从最简单的几何对象直线开始研究.2.1直线的倾斜角和斜率。思考一个问题：一确定一条直线位置的几何要素：问：观察所给直线，如何确定直线的位置呢？答：“两点定一线”。问：除此之外还可以用什么来确定呢？学生思考.若为已知常数，为变化值，则直线可视为由平移而来的一系列平行直线，直线的方向是相同的；（课件一）若为已知常数，为变化值，则直线可视为过定点的一系列直线，直线的方向是变化的；由上述情形可看出：确定一条直线的位置还有一个方法：一个点和一个方向；二倾斜角由（课件二）可看出：直线的方向与直线的倾斜程度有关，直线的倾斜程度和直线与轴所成的角度有关，对于任意一条与轴相交的直线，把这个角的顶点放在交点处，规定角的方向为逆时针，即可产生一个能够描述直线倾斜程度的角叫倾斜角。教师板演讲解：画出各种位置的直线，定义倾斜角，强调直线与轴相交1.倾斜角的定义：对于任意一条与轴相交的直线，把轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线重合时所成的角，叫作直线的倾斜角。记为 提问：定义中的要点有哪些？学生答：1）2）3) 4) 5) 6) 7)当直线与轴平行或重合时，直线的倾斜角该如何定义呢？数学中遇到类似问题经常会规定。（观察学生的反应？）规定：当直线与轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为；问：直线的倾斜角的取值范围是什么呢？学生答：2. 倾斜角的取值范围：；问：任何一条直线都有倾斜角吗？唯一吗？两直线平行倾斜角相等吗？两不重合直线倾斜角相等，两直线平行吗？学生答：有；唯一；相等；平行；三直线的斜率：问：直线的倾斜角可以刻画直线的倾斜程度，除此之外生活中，还可以用什么来刻画直线的“倾斜程度”呢？教师通过图例引导：还可以用“坡度”来刻画道路、楼梯的“倾斜程度”上 ；相当于在水平方向移动一个单位，在铅直方向上升或下降的数值；定义图中的坡度为直线的斜率，如何求直线的斜率呢？不妨先设直线过原点教师板演讲解：方法一：用直线与直线的交点的（1，k）的纵坐标k表示直线的斜率；方法二：任取异于原点的点，则其斜率可以用其纵坐标与横坐标之比表示。方法三：可以看出：时， 当时，斜率怎样计算，结果是什么？等将来在必修四中学习了三角函数之后再研究，但现在可以告诉你们：结论是相同的.公式的使用有范围限制吗？先结合上面的几种方法，考虑下面问题：1）当时，；直线呈上升趋势；2）当时，；直线呈下降趋势； 3）当时，；直线是水平的；4）当时，无限大，即不存在；直线是竖直的；问：用倾斜角的正切值可以表示直线的斜率，用直线上点的坐标能表示斜率吗？问：看下图，直线的斜率是多少呢？答：直线的斜率是；问：用直线上的两点的坐标如何表示直线的斜率呢？学生：回答形形色色。 四斜率公式在直线上任取两点，设则： 问：若直线不过原点怎么办呢？答：若直线不过原点，则总可以过原点做一条与此直线平行的直线，这两直线的倾斜角是相等的，斜率即可用过原点的这条直线的斜率来表示；可以看出：以上四种方法均适用于不过原点的非竖直直线。那么，这个公式的特点是什么呢？答：1. 时公式才成立，时不能用此公式，此时直线的斜率不存在。2. 当时，直线与轴垂直，斜率不存在。3.是直线上的任意两点；3. 公式中的分子分母的下标应是一致的； 4斜率与的顺序无关；5.当直线与平行时，公式依然成立，此时；新知探究：例1.下列哪些说法是正确的（ E ）A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B、直线的倾斜角越大，斜率也越大C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等F 、过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。例2：求过已知两点的直线斜率解：（1）直线的斜率为：；（2）直线AB的斜率为；例3.在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率为的直线。解：只须找出点，然后分别与原点连成直线即可。当直线不过原点时，如何画出直线呢？给一定的提示：留作第一个课后探究课后探究（1）例4. 经过点P（3，2）画直线，且使直线的斜率分别为： 例5.已知点，当 时，直线MN的倾斜角为锐角；当 时，直线MN的倾斜角为直角；当 时，直线MN的倾斜角为钝角；解：当即时，直线MN与轴平行，倾斜角为直角；当即时，若即或时，直线MN的倾斜角为锐角；时，直线MN的倾斜角为钝角；六知识小结：一本节课所学基本知识点有：1.确定直线的要素：由两点或一点和方向确定。2.直线的倾斜角和倾斜角的取值范围；3.直线的斜率的概念，求斜率的三种途径； 1)用截直线所得的纵坐标；2）；3）公式 二感受到的数学思想与数学方法： 数形结合三情感态度热爱生活，善于发现，用于研究和探讨。课后探究（2）如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的 倾斜角是锐角还是钝角。课后探究（3）经过两点的直线的斜率和倾斜角的变化。课后探究（4）已知三点在同一条直线上，求的值。解：三点共线，或六知识小结：一本节课所学基本知识点有：1.确定直线的要素：由两点或一点和方向确定。2.直线的倾斜角和倾斜角的取值范围；3.直线的斜率的概念，求斜率的三种途径； 1)用截直线所得的纵坐标；2）；3）公式 二感受到的数学思想与数学方法： 数形结合三情感态度热爱生活，善于发现，用于研究和探讨。七作业1.课后探究：（分组讨论）2.书面作业：习题2-1A组1，2，3，4；练习：1，3，4，5；学生观察图片，了解解析几何的起源学生观察图片，了解平面解析几何研究的内容和重要性。学生观察图片，感悟生活中的数学美。激发学生求知欲，培养学生爱科学的态度。引导学生在直角坐标系中研究直线。探究确定直线位置的几个要素。学生观察总结出：两个点或一个点和一个方向；学生观察得出：直线的倾斜程度与斜线和轴所成的角度有关明确倾斜角的定义中的要点准确理解概念，发现数学量。思考，讨论，回答，培养学生分类讨论的能力学生互相议论，探讨。思考讨论用什么呢？学生思考体会坡度与斜率，坐标系中坡度形象表示由特殊的点到一般的点，顺理成章引导学生讨论得出：过原点的直线的斜率可以用倾斜角的正切值来表示引导学生得出：斜率的正负及大小与倾斜角的关系，培养学生分类讨论能力。培养数形结思想讨论得出过原点的直线的斜率可以用其上两点的坐标表示讨论得出任意直线的斜率可以用其上两点的坐标表示。 思考这个公式成立的条件，分析不成立的直线位置。培养严谨的数学思维。口答。熟记特殊角的正切值。考察学生新概念的理解程度和层次，考虑问题的严密性考察学生基本知识的掌握和计算能力，特别是公式的记忆和活用考察学生对斜率含义的领会和理解，同时也可以考察学生应用知识的灵活性。学生积极思考，兴趣浓厚，一时又不能完全解决，课后探讨。熟用公式之后，慎用公式，注意使用范围。独立思考，知识拓展、巩固。指导学生积极研究，互相合作，培养积极的学习热情好探究能力。 知识延伸，考察学生综合能力。幻灯显示解析几何思想与方法利用PPT图片：地球、金星、水星运行轨道图，小球轨迹，圆锥曲线模型利用PPT演示，教师讲解，引导学生发现生活中的美妙曲线。图片展示设问一利用几何画板，演示平面直角坐标系中的不同位置的直线。图片展示结果图片展示设问二培养学生研究归纳能力。图片展示结果图片展示设问三图片展示结果图片展示设问四图片展示结果图片展示设问五展示道路、楼梯的图片，观察倾斜程度培养学生归纳，提炼知识的能力。黑板画图，教杆演示板演：推到斜率公式，分析成立条件，揭示不成立的时的位置特征，学生作笔记。图片展示设问六图片展示结果图片展示老师板演，学生口述。学生板演感受数学丰富内涵。图片展示十.课后反思：本节课设计的教学目标在同学们的配合下完成的很好。这节课在以下几个方面比较成功：1）利用多媒体形象展示，使学生真切感受到生活中的数学模型，达到了全面地、多角度、多层次地认知新概