高考物理主题一曲线运动与万有引力定律第三章万有引力定律1.3.3万有引力定律的应用学案教科版.docx

1.3.3万有引力定律的应用学习目标核心凝炼1.了解万有引力定律在天文学上的应用，预言未知星体。2个应用预言未知天体，测天体质量1个基本思路万有引力提供向心力2个重要关系2.会用万有引力定律计算天体的质量和密度。3.掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法。一、预言彗星回归和未知星体观图助学海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的不一致。那么，是万有引力定律不正确？还是在海王星的附近存在未知天体呢？1.预言彗星回归：哈雷和克雷洛先后根据牛顿引力理论，预言彗星回归的时间，并得到证实。2.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星海王星。3.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。理解概念判断下列说法的正误。(1)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。()(2)海王星的发现确立了万有引力定律的地位。()(3)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。()二、计算天体质量观图助学观察下面两幅图片，请思考：(1)如果知道自己的重力和地球的半径，你能否求出地球的质量？(2)如果知道地球绕太阳转动的公转周期和地球到太阳的距离，你能否求出太阳的质量呢？1.地球质量的计算(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力。(2)关系式：mgG。(3)结果：M，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。2.太阳质量的计算(1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力提供向心力。(2)关系式：Gmr。(3)结论：M，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量。(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M，公式是M。理解概念判断下列说法的正误。(1)绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力。()(2)利用地球绕太阳转动，可求地球的质量。()(3)科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析。()天体质量和密度的计算观察探究如图1所示，若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，则图1(1)如何求出地球的质量？(2)能否求出月球的质量呢？答案利用Gmr，能求出地球的质量M。做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，所以根据月球的周期T、公转半径r，无法计算月球的质量。探究归纳1.天体质量的计算“自力更生法”“借助外援法”情景已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动思路物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mgG行星或卫星受到的万有引力充当向心力：Gm或Gm2r或Gmr结果天体(如地球)质量：M中心天体质量：M或M或M2.天体密度的计算(1)一般思路：若天体半径为R，则天体的密度，将质量代入可求得密度。(2)特殊情况卫星绕天体做半径为r的圆周运动，若天体的半径为R，则天体的密度，将M代入得：。当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则。已知天体表面的重力加速度为g，则。试题案例例1 我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面。宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G。求：(1)该星球表面的重力加速度；(2)该星球的平均密度。思路探究(1)利用小球的运动情况求该星球表面的重力加速度的思路是什么？(2)该星球表面的重力加速度与星球半径、星球质量的关系式怎样？提示(1)小球做平抛运动，由Lvt求出时间，由hgt2可以求得该星球表面的重力加速度。(2)GMgR2解析(1)小球在星球表面做平抛运动，有Lvt，hgt2，解得g。(2)在星球表面满足mg又MR3，解得。答案(1)(2)求解天体质量的注意事项(1)计算天体质量的方法：M和M。不仅适用于计算地球和太阳的质量，也适用于其他中心天体。(2)注意R、r的区分。R指中心天体的球体半径，r指行星或卫星的轨道半径。若行星或卫星绕近中心天体轨道运行，则有Rr。针对训练1 (2018福建师大附中高一下期末)木星在太阳系的八大行星中质量最大，“木卫1”是木星的一颗卫星，若已知“木卫1”绕木星公转半径为r，公转周期为T，万有引力常量为G，木星的半径为R，求(1)木星的质量M；(2)木星表面的重力加速度g0。解析(1)由万有引力提供向心力Gmr，可得木星质量为M。(2)由木星表面万有引力等于重力：Gmg0，木星的表面的重力加速度g0。答案(1)(2)天体运动的分析与计算观察探究如图2所示，行星在围绕太阳做匀速圆周运动。图2(1)行星绕太阳做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？(2)行星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？答案(1)由Gm得v，可见行星线速度的大小是由恒星的质量和行星的轨道半径共同决定的。(2)无关。因为在等式Gmanmm2rmr各项中都含有m，可以消掉。探究归纳1.解决天体运动问题的基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：Gma，式中a是向心加速度。2.常用的关系式(1)Gmm2rmr。(2)mgG，即gR2GM，该公式通常被称为黄金代换式。3.四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。推导式关系式结论线速度Gmvr越大，v越小角速度Gmr2r越大，越小周期GmrT2r越大，T越大向心加速度Gmaar越大，a越小试题案例例2 (2018山西怀仁县一中、应县一中高一下期末联考)人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R，线速度为v，周期为T。若要使卫星的周期变为2T，可以采用的办法是：()A.R不变，使线速度变为B.v不变，使轨道半径变为2RC.使卫星的高度增加RD.使轨道半径变为R解析若半径R不变，使卫星的线速度减小，卫星将做近心运动，周期减小，故A错误；若v不变，卫星只能在原轨道上运动，半径不变，周期也不变，故B错误；设地球的质量为M，卫星的质量为m，由牛顿第二定律得mr，得到T，根据数学知识可知，使轨道半径变为R时，卫星的周期变为2T，故C错误，D正确。答案D天体运动问题解答技巧(1)比较围绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的v、T、an等物理量的大小时，可考虑口诀“越远越慢”(v、T)、“越远越小”(an)。(2)涉及绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的计算问题时，若已知量或待求量中涉及重力加速度g，则应考虑黄金代换式gR2GM的应用。(3)若已知量或待求量中涉及v或或T，则应考虑从Gmm2rmr中选择相应公式应用。针对训练2 (2018江苏宿迁高一下期末)(多选)一个绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星，它的轨道半径减小到原来的一半，并仍做匀速圆周运动，则()A.地球对卫星提供的向心力将增大到原来的2倍B.卫星运动的向心加速度将增大到原来的4倍C.卫星运动的周期将减小到原来的0.25倍D.卫星运动的线速度将增大到原来的2倍解析根据万有引力提供向心力Gmmm2rma，得T2，v，a，当它的轨道半径减小到原来的一半时，地球对卫星提供的向心力将增大到原来的4倍；向心加速度增大到原来的4倍；周期将减小到原来的；线速度增大为原来的倍，故选项B、C正确，A、D错误。答案BC“双星”模型1.建模背景：宇宙中两颗靠得很近的天体构成一个“双星系统”，两颗天体以它们连线上的一点为圆心，做匀速圆周运动，两天体与圆心始终在同一条直线上。2.模型特点(1)运动特点：两颗天体绕着它们连线上的一点做圆周运动，所以它们的周期T是相等的，角速度也是相等的，又根据vr，可得它们的线速度与轨道半径成正比。(2)动力学特点：两颗天体间的万有引力提供它们做圆周运动的向心力。【针对练习】宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起。设二者的质量分别为m1和m2，二者相距为L，求： (1)双星的轨道半径之比；(2)双星的线速度之比；(3)双星的角速度。解析设二者轨迹圆的圆心为O，圆半径分别为R1和R2，如图所示。由万有引力提供向心力，有Gm12R1Gm22R2(1)两式相除，得。(2)因为vR，所以。(3)双星绕行半径的和等于双星间的距离，由几何关系知R1R2L 联立式解得。答案(1)m2m1(2)m2m1(3)1.(天体运动的分析与计算)(2018江苏南通市一中高一下期中)(多选)质量为m的卫星绕质量为M的地球作匀速圆周运动，其轨道半径、线速度大小和向心加速度大小分别为r、v、a，引力常量为G，则在该卫星所受到的地球引力大小的下列各种表达式中，正确的是()A.FG B.FmaC.F D.Fm解析质量为m的卫星绕质量为M的地球作匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得FGmma，故A、B、D正确，C错误。答案ABD2.(天体质量的计算)(2018湖南醲陵二中高一下期末)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的。该中心恒星与太阳的质量比约为()A. B.1 C.5 D.10解析根据Gmr得M，代入数据得恒星与太阳的质量比约为1.04，所以B项正确。答案B3.(天体密度的计算)(2018石家庄高一检测)假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为()A. B.C. D.解析在地球两极处，Gmg0；在赤道处，GmgmR，故R，则，B正确。答案B4.(双星模型)(2018全国卷，20)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A.质量之积 B.质量之和C.速率之和 D.各自的自转角速度解析由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T s，两中子星的角速度均为，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，速率分别为v1、v2，则有Gm12r1、Gm22r2，又r1r2L400 km，解得m1m2，A错误，B正确；又由v1r1、v2r2，则v1v2(r1r2)L，C正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D错误。答案BC合格性检测1.把太阳系各行星的运动近似看成匀速圆周运动，则离太阳越远的行星()A.周期越大 B.线速度越大C.角速度越大 D.向心加速度越大解析行星绕太阳做匀速圆周运动，所需的向心力由太阳对行星的引力提供，由Gm得v，可知r越大，线速度越小，B错误；由Gm2r，得，可知r越大，角速度越小，C错误；由k知，r越大，T越大，A正确；由Gman得an，可知r越大，向心加速度an越小，D错误。答案A2.据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km和100 km，运行速率分别为v1和v2。那么v1和v2的比值为(月球半径取1 700 km)()A. B. C. D.解析根据卫星运动的向心力由万有引力提供，有Gm，那么卫星的线速度跟其轨道半径的平方根成反比，则有。答案C3.两颗行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星轨道接近各自行星的表面，如果两行星的质量之比为p，两行星半径之比为q，则两个卫星的周期之比为()A. B.q C.p D.q解析卫星做圆周运动时，万有引力提供圆周运动的向心力，则有GmR，得T，解得q，故D正确，A、B、C错误。答案D4.地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为()A. B. C. D.解析忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mgG，又地球质量MVR3。代入上式化简可得地球的平均密度。答案A5.(2018江苏宿迁高一下期末)土星是绕太阳公转的行星之一，而土星的周围的又有卫星绕土星公转，如果要通过观测求得土星的质量，需量测量的物理量是()A.土星的半径和土星绕太阳公转的周期B.土星绕太阳公转的半径和周期C.土星的半径和卫星绕土星公转的周期D.卫星绕土星公转的半径和周期解析设木星的卫星质量为m，木星质量为M，木星的卫星轨道半径为r，公转周期为T，根据万有引力提供向心力有mr，解得木星质量为M，故D正确；土星绕太阳做匀速圆周运动，中心天体是太阳，根据万有引力提供向心力只能求解中心天体的质量，不能求解环绕天体的质量，故A、B、C错误。答案D6.(2018浙江宁波高一下期末)(多选)中国将于2020年左右建成空间站，如图1所示，它将成为中国空间科学和新技术研究实验的重要基地，在轨运营10年以上。设该空间站绕地球做匀速圆周运动，其运动周期为T，轨道半径为r，万有引力常量为G，地球半径为R，地球表面重力加速度为g。下列说法正确的是()图1A.空间站的线速度大小为vB.空间站的向心加速度为agC.地球的质量为MD.地球的质量为M解析空间站绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列式，得v；在地球表面，根据重力等于万有引力得mg，R为地球的半径，所以空间站的线速度大小v，故A错误；根据ma，空间站的向心加速度a，故B正确；根据万有引力等于向心力得mr，解得M，故C正确；根据mg可知，地球的质量为M，故D错误。答案BC7.假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星。若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G。求：(1)该天体的密度；(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，该天体密度的另一表达式。解析(1)设卫星的质量为m，天体的质量为M，卫星贴近天体表面运动时有GmR，M，根据数学知识可知天体的体积为VR3故该天体的密度为(2)卫星距天体表面距离为h时，有Gm(Rh)M答案(1)(2)等级性检测8.若某黑洞的半径R约为45 km，质量M和半径R的关系满足(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为()A.108 m/s2 B.1010 m/s2 C.1012 m/s2 D.1014 m/s2解析黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞表面的某一质量为m的物体有F万Gmg，又有，联立解得g，代入数据得重力加速度g1012 m/s2，C项正确。答案C9.(2018山西怀仁县一中、应县一中高一下期末联考)已知引力常量G，在下列给出的情景中，能根据测量数据求出月球密度的是()A.在月球表面使一个小球做自由落体运动，测出下落的高度H和时间tB.发射一颗贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的周期TC.观察月球绕地球的圆周运动，测出月球的直径D和月球绕地球运行的周期TD.发射一颗绕月球做匀速圆周运动的卫星，测出卫星离月球表面的高度H和卫星的周期T解析根据选项A的条件可以算出月球上的重力加速度g，由g可以求出月球质量和月球半径的平方比，故选项A不正确；根据选项B的条件，由GmR，可求出月球质量和月球半径的立方比，而月球密度为，故选项B正确；根据选项C的条件无法求出月球的质量，故选项C不正确；根据选项D的条件，由Gm(HR)，可求出，虽然知道H的大小，仍然无法求出月球质量和月球半径的立方比，故选项D不正确。答案B10.(2018南昌市八一中学高一下期末)银河系恒星中大约有四分之一是双星。某双星由质量不等的星球A和B组成，两星球在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动。已知A和B的质量分别为m1和m2，且m1m221，则()图2A.A、B两星球的角速度之比为21B.A、B两星球的线速度之比为21C.A、B两星球的半径之比为12D.A、B两星球的加速度之比为21解析双星靠相互间