[初二数学]反比例函数知识点整理拓展及技巧讲解人教版.doc

第七章、反比例函数1 一、反比例函数知识要点点拨1 二,、典型例题.2 三、反比例函数中考考点突破8 四、达标训练10 (一)、基础过关10 (二)、综合应用11 五、分类解析及培优13 (一)、反比例函数 k 的意义13 (二)、反比例函数与三角形合14 (三)、反比例函数与相似三角形15 (四)、反比例函数与全等三角形15 (五)、反比函数图像上四种三角形的面积15 (六)、反比例函数与一次函数相交题19 1、联手演绎无交点20 2、联手演绎已知一个交点的坐标20 3、联手演绎图像分布、性质确定另一个函数的图像分布20 4、联手演绎平移函数图像，并已知一个交点的坐标20 (七)、反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积21 (八)、与反比例函数有关的几种类型题目的解题技巧23 六、拓展练习26 练习(一)26 练习（二）28 练习(三)32 本章参考答案35 第七章、反比例函数第七章、反比例函数 反比例函数这一章是八年级数学的一个重点，也是初中数学的一个核心知识点。由反比例函数的图 像和性质衍生出了好多数学问题，这对“数形结合”思想还有点欠缺的中学生来说无疑是一个难点。 一、反比例函数知识要点点拨一、反比例函数知识要点点拨 1、反比例函数的图象和性质： 反比例函数(0) k yk x 的符号k0k 0k 图象 的取值范围是， x0x 的取值范围是y0y 当时，函数图象的两个分支分别在第0k 一、第三象限在每个象限内，随的增大yx 而减小 的取值范围是， x0x 的取值范围是y0y 当时，函数图象的两个分支分别在第0k 二、第四象限在每个象限内，随的增大yx 而增大 性质 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原 点 2、反比例函数与正比例函数的异同点：(0)ykx k 函数正比例函数反比例函数 解析式(0)ykx k(0) k yk x 图象直线，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点 自变量取值范围全体实数的一切实数0x 图象的位置 当时，在一、三象限； 0k 当时，在二、四象限0k 当时，在一、三象限； 0k 当时，在二、四象限0k 性质 当时，随的增大而增大； 0k yx 当时，随的增大而减小0k yx 当时，随的增大而减小； 0k yx 当时，随的增大而增大0k yx 二二,、典型例题、典型例题 例例 1下面函数中，哪些是反比例函数？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5） 3 x y x y 8 54 xy 1 5 xy. 8 1 xy 解解：其中反比例函数有（2），（4），（5） 说明说明：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义，它也可变形为 x k y )0( k 及的形式，（4），（5）就是这两种形式 1 kxykxy x y O x y O 例例 2 2 在以下各小题后面的括号里填写正确的记号若这个小题成正比例关系，填(正)； 若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非) (1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 （ ）； (2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 （ ）； (3)圆面积与半径的关系 （ ）； (4)圆面积与半径平方的关系 （ ）； (5)三角形底边一定时，面积与高的关系 （ ）； (6)三角形面积一定时，底边与高的关系 （ ）； (7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 （ ）； (8)在圆中弦长与弦心距的关系 （ ）； (9)x越来越大时，y越来越小，y与x的关系 （ ）； (10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 （ ） 答答： 说明说明：本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义 例例 3 已知反比例函数，y 随 x 增大而减小，求 a 的值及解析式 6 2 )2( a xay 分析分析 根据反比例函数的定义及性质来解此题 解解 因为是反比例函数，且 y 随 x 的增大而减小， 6 2 )2( a xay 所以 解得 . 0 2 , 16 2 a a . 2 ,5 a a 所以，解析式为5a x y 25 例例 4 （1）若函数是反比例函数，则 m 的值等于（ ） 2 2 ) 1( m xmy A1 B1 C D13 （2）如图所示正比例函数）与反比例函数的0( kkxy x y 1 图像相交于 A、C 两点，过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于 B，连结 BC若 的面积为 S，则：ABC A B C DS 的值不确定1S2S3S 解：解：（1）依题意，得 解得 , 12 , 01 2 m m 1m 故应选 D （2）由双曲线关于 O 点的中心对称性，可知： x y 1 OBCOBA SS 1 2 1 22 ABOBABOBSS OBA 故应选 A 例例 5 已知，与 x 成正比例，与 x 成反比例，当时，；当 21 yyy 1 y 2 y1x4y 时，求时，y 的值3x5y1x 分析分析 先求出 y 与 x 之间的关系式，再求时，y 的值1x 解解 因为与 x 成正比例，与 x 成反比例， 1 y 2 y 所以)0(, 21 2 211 kk x k yxky 所以 x k xkyyy 2 121 将，；，代入，得1x4y3x5y 解得 . 5 3 1 3 , 4 21 21 kk kk . 8 21 , 8 11 2 1 k k 所以 x xy 8 21 8 11 所以当时，1x4 8 21 8 11 y 说明说明 不可草率地将都写成 k 而导致错误，题中给出了两对数值，决定了 21 kk、 的值 21 kk、 例例 6 根据下列表格 x 与 y 的对应数值 x123456 y6321.51.21 （1）在直角坐标系中，描点画出图像；（2）试求所得图像的函数解析式，并写出自 变量 x 的取值范围 解：解：（1）图像如右图所示 （2）根据图像，设，取代入，得)0( k x k y6, 1yx 1 6 k 6k 函数解析式为)0( 6 x x y 说明说明：本例考查了函数的三种表示法之间的变换能力，即先由列表法通过描点画图转 化为图像法，再由图像法通过待定系数法转化为解析法，题目新颖别致，有较强的趣味 性 例例 7（1）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图像大致是如图中的1xy x y 3 （ ） （2）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图像的大致1 2 kkxy x k y 位置是图中的（ ） 解：解：的图像经过第一、二、四象限，故排除 B、C；又的图像两支1xy x y 3 在第一、三象限，故排除 D答案应选 A （2）若，则直线经过第一、三、四象限，双曲线的图0k) 1( 2 kkxy x k y 像两支在第一、三象限，而选择支 A、B、C、D 中没有一个相符；若，则直线0k 经过第二、三、四象限，而双曲线的两支在第二、四象限，故只有 C 正) 1( 2 kkxy 确应选 C 例例 8，已知函数是反比例函数，且其函数图像在每一个象限内， 24 2 3 1 m xmy 随的增大而减小，求反比例函数的解析式yx 解解：因为是的反比例函数，所以，所以或yx124 2 m 2 1 m. 2 1 m 因为此函数图像在每一象限内，随的增大而减小 ，所以，所以yx0 3 1 m ，所以，所以反比例函数的解析式为 3 1 m 2 1 m. 6 5 x y 说明说明：此题根据反比例函数的定义与性质来解反比例函数 ，当时， x k y )0( k0k 随增大而减小，当时，随增大而增大yx0kyx 例例 9 一个长方体的体积是 100 立方厘米，它的长是 y 厘米，宽是 5 厘米，高是 x 厘米 （1）写出用高表示长的函数关系式；（2）写出自变量 x 的取值范围； （3）当厘米时，求 y 的值； （4）画出函数的图像3x 分析分析 本题依据长方体的体积公式列出方程，然后变形求出长关于高的函数关系式 解解 （1）因为长方体的长为 y 厘米，宽为 5 厘米，高为 x 厘米， 所以，所以1005xy x y 20 （2）因为 x 是长方体的高所以即自变量 x 的取值范围是0x0x （3）当时，（厘米）3x 3 2 6 3 20 y （4）用描点法画函数图像，列表如下： x 0.5251015 y 401042 3 1 1 描点画图如图所示 例例 10 已知力 F 所作用的功是 15 焦，则力 F 与物体在力的方向通过的距离 S 的图象大致 是（ ） 说明说明 本题涉及力学中作功问题，主要考查在力的作用下物体作功情况，由此，识别 正、反比例函数，一次函数的图象位置关系 解解 据，得 15=，即，所以 F 与 S 之间是反比例函数关系，故SFWSF S F 15 选（B） 例例 11 一个圆台形物体的上底面积是下底面积的如果如下图所示放在桌上，对桌面的. 3 2 压强是，翻过来放，对桌面的压强是多少？Pa200 解：解：由物理知识可知，压力，压强与受力面积之间的关系是因为是同一物FpS. S F p 体，的数值不变，所以与成反比例FpS 设下底面是，则由上底面积是， 0 S 0 3 2 S 由，且时，有 S F p 0 SS 200p.200200 00 SSpSF 因为是同一物体，所以是定值所以当时， 0 200SF 0 3 2 SS 因此，当圆台翻过来时，对桌面的压强是 300 帕).Pa(300 3 2 200 0 0 S S S F p 说明：说明：本题与物理知识结合考查了反比例函数，关键是清楚对于同一个物体，它对桌 面的压力是一定的 例例 12 如图，P 是反比例函数上一点，若图中阴影部分的矩形面积是 2，求这个反 x k y 比例函数的解析式 分析分析 求反比例函数的解析式，就是求 k 的值此题可根据矩形的面积公式及坐标与 线段长度的转化来解 解解 设 P 点坐标为),(yx 因为 P 点在第二象限，所以0, 0yx 所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为yx, 又，所以因为，所以2 xy2xyxyk 2k 所以这个反比例函数的解析式为 x y 2 说明说明 过反比例函数图像上的一点作两条坐标轴的垂线，可得到一个矩形，这个矩形 的面积等于中的 x k y k 例例 13. 当 n 取什么值时，是反比例函数？它的图像在第几象限内？在 12 2 )2( nn xnny 每个象限内，y 随 x 增大而增大还是减小？ 分析分析 根据反比例函数的定义可知，是反比例函数，)0( k x k y 12 2 )2( nn xnny 必须且只需且02 2 nn11 2 nn 解解 是反比例函数，则 12 2 )2( nn xnny 即 , 11 , 02 2 2 nn nn . 1 0 , 20 nn nn 或 且 1n 故当时，表示反比例函数：，1n 12 2 )2( nn xnny x y 1 01k 双曲线两支分别在二、四象限内，并且在每个象限内，y 随 x 的增大而增大 三、反比例函数中考考点突破三、反比例函数中考考点突破 1 1、（、（20102010 甘肃兰州）甘肃兰州）已知点（-1，1 y ），（2，2 y ），（3， 3 y ）在反比例函数 x k y 1 2 的图像上. 下列结论中正确的是 A 321 yyy B 231 yyy C 213 yyy D 132 yyy 2、（、（2010 嵊州市）嵊州市）如图,直线与双曲线交于)0( kkxy x y 2 两点,则的值为( ),(),( 2211 yxByxA 1221 83yxyx x y B A o A.-5 B.-10 C.5 D.10 3、（、（2010 四川眉山）四川眉山）如图，已知双曲线经过直角三角形 OAB 斜边 OA 的中(0) k yk x 点 D，且与直角边 AB 相交于点 C若点 A 的坐标为（，4），则AOC 的面积为6 A12 B9 C6 D4 D B A y xO C 4、（、（2010 安徽蚌埠二中）安徽蚌埠二中）已知点（1，3）在函数的图像上。正方形)0( x x k y 的边在轴上，点是对角线的中点，函数的图像又ABCDBCxEBD)0( x x k y 经过、两点，则点的横坐标为_。AEE 5、（、（2010 内蒙赤峰）内蒙赤峰）已知反比例函数，当4x1 时，y 的最大值是 x y 2 _. 6、（、（2010 广西钦州市）广西钦州市）反比例函数（k 0）的图象与经过原点的直线 l 相交于 k y x A、B 两点，已知 A 点的坐标为（2，1），那么 B 点的坐标为 O x 第 6 题 12 1 A B l y 7、（、（2010 广西南宁）广西南宁）如图 7 所示，点、在轴上，且,分 1 A 2 A 3 Ax 32211 AAAAOA 别过点、作轴的平行线，与分比例函数的图像分别 交于点 1 A 2 A 3 Ay)0( 8 x x y 、，分别过点、作轴的平行线，分别与 轴交于点、 1 B 2 B 3 B 1 B 2 B 3 Bxy 1 C 2 C ，连接、,那么图中阴影部分的面积之和为 3 C 1 OB 2 OB 3 OB 8、（、（2010 年山西年山西 15 题）题）如图，A 是反比例函数图象上一点，过点 A 作轴于点yAB B，点 P 在 x 轴上，ABP 面积为 2，则这个反比例函数的解析式为 。 【答案】 x y 4 9、（2010 江苏盐城）江苏盐城）如图，A、B 是双曲线 上的点， A、B 两点的横坐 y= k x (k 0) 标 分别是 a、2a，线段 AB 的延长线交 x 轴于点 C，若 SAOC=6则 k= y xO B C A （第 10 题） 1010、（、（20102010 福建德化）福建德化）如图，直线 4 3 yx与双曲线 k y x （0x ）交于点A将 直线 4 3 yx向下平移个 6 单位后，与双曲线 k y x （0x ）交于点B，与x轴交于点 C，则 C 点的坐标为_；若 2 AO BC ，则k O x y A B C 11、（2010 福建南平福建南平）函数 y= 和 y= 在第一象限内的图像如图，点 P 是 y= 的图像上一 4 x 1 x 4 x 动点，PCx 轴于点 C，交 y= 的图像于点 B.给出如下结论：ODB 与OCA 的面积相 1 x 等；PA 与 PB 始终相等；四边形 PAOB 的面积大小不会发生变化；CA= AP.其中 1 3 所有正确结论的序号是_. 第 11 题 D OC A PB y x 四、达标训练四、达标训练 ( (一一) )、基础、基础过关过关 1在反比例函数 y=的图象上的一个点的坐标是（ ） x 2 A.（2，1) B.（2，1) C.（2，) D.（,2） 2 1 2 1 2对于函数 y=，下列判断正确的是（ ） x 3 A.图象经过点（1，3） B.图象在第二、四象限 C.图象所在的每个象限内，y 随 x 的增大而减小；D.不论 x 为何值时，总有 y0 3已知反比例函数 y=的图象经过点（a，b） ， （c，d） ，且 bd0，则 a 与 c 的大小关 x 6 系是（ ） A.ac0 B.ac0 C.ca0 D.ca0 4在反比例函数 y=（kx20，则 x k y1y2的值为( ) A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 5设反比例函数 y=的图象上有两点 A（x1，y1）和 B（x2，y2） ，且当 x10 时，y 随 x 的增大而增大，求函数关系式. 6 2 a ( (二二) )、综合、综合应用应用 10函数 y=axa 与 y=（a0）在同一坐标系中的图象可能是图 1716 中的（ x a ） 图 1716 11在平面直角坐标系内，过反比例函数 y=（k0）的图象上的一点分别作 x 轴、y 轴 x k 的垂线段，与 x 轴、y 轴所围成的矩形面积是 6，则函数解析式为_. 12.若函数 y=(2m1)x 与 y=的图象交于第一、三象限，则 m 的取值范围是_. x m3 13.在同一直角坐标系内，如果将直线 y=x+1 沿 y 轴向上平移 2 个单位后，那么所得直线 与函数 y=的图象的交点共有几个？ x 2 14.已知反比例函数 y=的图象经过点 A（4，） ，若一次函数 y=x+1 的图象平移后经过 x k 2 1 该反比例函数图象上的点 B（2，m） ，求平移后的一次函数图象与 x 轴的交点坐标. 15、三个反比例函数:(1)y=;（2）y=;（3）y=在 x 轴上方的图象如图 1717 所 x k1 x k2 x k3 示，由此推出 k1，k2，k3的大小关系是_. 15 题图 16 题 图 16、两个反比例函数 y=,y=在第一象限内的图象如图 1718 所示，点 x 3 x 6 P1，P2，P3，P2 005在反比例函数 y= 的图象上，它们的横坐标分别是 x 6 x1，x2，x3，x2 005，纵坐标分别是 1，3，5，共 2 005 个连续奇数，过点 P1，P2，P3，P 分别作 y 轴的平行线，与 y=的图象的交点依次是 Q1（x1，y1） ， x 3 Q2（x2，y2） ，Q3（x3，y3） ，Q2 005（x2 005，y2 005） ，则 y2 005=_. 17、如图 1719 所示，已知直线 y1=x+m 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，与双曲线 y2= （ky2. 17 题 图 18已知一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=的图象交于 A、B 两点，且点 A 的 x 8 横坐标和点 B 的纵坐标都是2，求： （1）一次函数的解析式；（2）AOB 的面积. 五、分类解析及培优五、分类解析及培优 ( (一一) )、反比例函数、反比例函数 k k 的意义的意义 代数意义：给出反比例函数图象上一点坐标（x、y），则 k=xy （1）当 x、y 变为-x、-y 时，k 不变，可知双曲线的两支关于原点对称。 几何意义： （1）过反比例函数图象上一点分别作 x 轴、y 轴的垂线，与两坐标轴围成的长方形的面积为k （2）过图象上的任一点 P 作 x 轴(或 y 轴)的垂线，连接 OP，则垂线段、OP、x 轴(或 y 轴)围成三角 形的面积为. 2 1 k （3）k0,双曲线的两支分别在一、三象限，在每一象限 y 随 x 的增大而减小；k0,双曲线的两支分 别在二、四象限，在每一象限 y 随 x 的增大而增大； 我们抓住反比例函数 k 的意义可以快解题。 A、 快得解析式 例 1、某反比例函数的图象过点 M（1,3）,则此反比例函数的解析式为。 解析：由代数意义知 k=13=3 则解析式为 y= x 3 B B、 快判断点是否在图象上。 例 2、在平面直角坐标系中有六个点 A（1，5）,B（-3，-）,C（-5,-1）D（-2，）， 3 5 2 5 E（3，）,F（,2） 3 5 2 5 其中有五个点在同一反比例函数的图象上，不在这个反比例函数图象上的点是。 解析:由代数意义分别求出 k，除 D 点的 k=-5 外，其它都为 5，因而点 D 不在这个反比例函数图象 上 C、快确定图象所在的象限 例 3、已知反比例函数 y=的图象经过 p(-1,2)，则这个函数的图象位于第_象限。 x k 解析: k=-12=-2，所以双曲线的两支分别在二、四象限。 D、快比较大小 例 4、若 A（，），B（，），C（，）是 y=（0）上的三点，且 1 x 1 y 2 x 2 y 3 x 3 y x k k 1 x 0，则从小到大排列、为_ 2 x 3 x 1 y 2 y 3 y 解析: 0，0，在第二象限，k0,y 随 x 的增大而增大，所以0；0， 1 x 2 xk 1 y 2 y 3 xk 0，所以0 所以 3 y 3 y 2 y 1 y E、快得图形的面积 例 5、如图，直线 y=mx 与 y=交于 A、B 两点，过 A 作 AM 垂 x k 直 x 轴，垂足为 M，连接 BM，若=2,则=_.k SABm 解析：双曲线的两支关于 原点对称。所以 O 为 AB 的中点，又=1，则 OAM S =2. SABm 例 6、如图，y=经过矩形 OABC 的边 BC 的中点 E，交 AB 于 D，若梯形 ODBC 的面积为 3，则双曲线的解 x k 析式为_ 解析：SDOA=，四边形 ECOF 的面积为，由 2 1 kk SDOA+S=S，则+3=2；解得=2 DBCE梯形矩形 2 1 kkk F、快得图象上的两点与原点构成三角形面积。 如图 1，由几何意义知 SCOA=SDOB,则不重叠的两部分面积相等。 例 7、已知 A（1,2），B（4,b）在同一反比例函数的图象上，求 SAOB. 解析：由代数意义知 y=,b=,如图 2，过分 x 2 2 1 别 A、B 作 ADx 轴,BEx 轴,AD 交 OB 于 C,由几何意义 知 SAOC=S 四边形 BCDE 则 SAOB=S 梯形 ABED =(+2)（4-1）= 2 1 2 1 2 1 3= 2 5 4 15 ( (二二) )、反比例函数与三角形合、反比例函数与三角形合 反比例函数与不同的三角形结合，展示出许多趣味横生的妙题。本文对这一问题进行了归 纳，仅供同学们学习时参考。 1、反比例函数与直角三角形 例 1、如图 1 所示，P 是反比例函数 y=在第一象限分支上的一个动点，PAx 轴， 6 x 随着 x 的逐渐增大，APO 的面积将（ ） A、增大 B、减小 C、不变 D、无法确定 （09 年德城）。 分析：设点 P 的坐标是（a，b）， 所以 ab=6，根据坐标与线段长度的关系，知道 OA=a，AP=b， 所以，三角形 AOB 的面积是：=ab=3，AOAP 2 1 2 1 因此，三角形的面积是不变的定值。解：选 C。 2、反比例函数与底边是定长的动态三角形 例 2、如图 2，在直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个定点，点是AxB 双曲线（）上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时， 3 y x 0x B 的面积将会：A逐渐增大 B不变 C逐渐减小 D先增大后减OAB 小（兰州市 2009 年） 分析：三角形 OAB 的面积是：OAh，因为，点是轴正半轴上的一个定点， 2 1 Ax 所以，OA 是一个定长，所以，三角形 OAB 的面积有 OA 上的 h 决定，而这里的 h 恰好是 点 B 的纵坐标，根据反比例函数的性质，当 k 大于 0 时，y 随 x 的增大而减小， 所以，当点 B 的横坐标增大时，其纵坐标将逐渐减小。解：选 C。 ( (三三) )、反比例函数与相似三角形、反比例函数与相似三角形 例 3、如图 3 所示，在直角坐标系中，OBADOC，边 OA、OC 都在 x 轴的正半轴上， 点 B 的坐标为（6，8），BAOOCD90，OD5反比例函数的图象(0) k yx x 经过点 D，交 AB 边于点 E（1）求 k 的值（2）求 BE 的长（09 年长春市） 分析： 解答时，要用好相似三角形的性质，处理好线段长与点的坐标的关系。 这是问题获得解决的两个关键点。 解：解：（1）因为，OBADOC， 所以，因为，B(6，8)，BAO，所以， OCBA DCOA 90 84 63 OC DC 在 RtCOD 中，OD5，所以，OC4，DC3所以，D(4，3) 因为，点 D 在函数的图象上，所以，所以，（2）因为，E 是 k y x 3 4 k 12k 图象与 AB 的交点，所以，AE2所以，BE82=6 12 (0)yx x 12 6 x y OA B 图2 ( (四四) )、反比例函数与全等三角形、反比例函数与全等三角形 例 4、如图 4 所示，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 Y 轴和 X 轴分别交于点 A、点 8，与 反比例函数 y=在第一象限的图象交于点 c(1，6)、点 D(3，n)过点 C 作 CE 上 y 轴于 x m E，过点 D 作 DF 上 X 轴于 F (1)求 m，n 的值；(2)求直线 AB 的函数解析式；(3)求证：AECDFB 分析： ( (五五) )、反比函数图像上四种三角形的面积、反比函数图像上四种三角形的面积 反比例函数的图像经常与三角形的面积联系在一起，下面就举例说明。 A、三角形面积的四个结论、三角形面积的四个结论 结论 1、过反比例函数图像上一点，向 x 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶 点的三角形的面积等于反比例函数 k 的绝对值的一半。 如图 1 所示， 设 P（a，b）是反比例函数 y=（k0）图像上的一点，过点 P 作 PAx 轴，垂足为 A， x k 三角形 PAO 的面积是 S，则|k|=2S。 结论 2、过反比例函数图像上一点，向 y 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶 点的三角形的面积等于反比例函数 k 的绝对值的一半。 如图 2 所示， 设 P（a，b）是反比例函数 y=（k0）图像上的一点，过点 P 作 PBy 轴，垂足为 B， x k 三角形 PBO 的面积是 S，则|k|=2S。 结论 3、正比例函数 y=k1x（k10）与反比例函数 y=（k0） x k 的图像交于 A、B 两点，过 A 点作 ACx 轴，垂足是 C，三角形 ABC 的面积设为 S，则 S=|k|，与正比例函数的比例系数 k1无关。 如图 3 所示。 证明 1： 因为，正比例函数 y=k1x（k10）与 反比例函数 y=（k0）的图像交于 A、B 两点， x k 所以，所以，x=，xk x k 1 1 1 1 k kk k k 当 x=时，y= k1x=，所以，点 A 的坐标是（，）， 1 1 k kk 1 kk 1 1 k kk 1 kk 当 x=-时，y= k1x=-，所以，点 B 的坐标是（-，-），所以，OC 1 1 k kk 1 kk 1 1 k kk 1 kk 的长度是，三角形 ABC 的面积=三角形 AOC 的面积+三角形 BOC 的面积 1 1 k kk =OCAC+OCBD 2 1 2 1 =+|-| 2 1 1 1 k kk 1 kk 2 1 1 1 k kk 1 kk =k+k=k。所以，与 k1无关。 2 1 2 1 证明 2、根据结论 1，知道三角形 AOC 的面积是k， 2 1 三角形 BOC 的面积=OCBD|- 2 1 2 1 1 1 k kk |=k， 1 kk 2 1 所以，三角形 ABC 的面积= k。 结论 4、正比例函数 y=k1x（k10）与反比例函数 y=（k0）的图像交于 A、B 两点， x k 过 A 点作 ACx 轴，过 B 点作 BCy 轴，两线的交点是 C，三角形 ABC 的面积设为 S，则 S=2|k|，与正比例函数的比例系数 k1无关。如图 4 所示。 因为，正比例函数 y=k1x（k10）与 反比例函数 y=（k0）的图像交于 A、B 两点， x k 所以，所以，x=，xk x k 1 1 1 1 k kk k k 当 x=时，y= k1x=，所以，点 A 的（）， 1 1 k kk 1 kk 1 1 k kk 1 kk 当 x=-时，y= k1x=-，所以，点 B 的坐标是（-，-）， 1 1 k kk 1 kk 1 1 k kk 1 kk 所以，OC 的长度是，三角形 ABC 的面积=三角形 AOE 的面积+三角形 BOD 的面 1 1 k kk 积+矩形 ODCE 的面积 =OEAE+ODBD+ODDC 2 1 2 1 =+|-|-|+|-| 2 1 1 1 k kk 1 kk 2 1 1 1 k kk 1 kk 1 1 k kk 1 kk =k+k+k=2k。所以，与 k1无关。 2 1 2 1 B、结论的具体应用、结论的具体应用 这些结论，在解答中考数学中选择题、填空题都是非常有效的。下面就举例说明。 例 1、如图 5，若点在反比例函数的图象上，轴于点，A(0) k yk x AMxM 的面积为 3，则 （08 年巴中市）AMOk 分析：根据结论 1，知道面积 S 与 k 之间有如下的关系：|k |=2S，S=3，所以，|k |=6，所以，k=6 或者 k=-6，因为图像 分布在二、四象限，所以，k0，所以 k=-6.解：-6.k 例 2、两个反比例函数 y=和 y=在第一象限内的图象， x k x 1 如图 6 所示，点 P 在 y=的图象上，PCx 轴于点 C， x k 交 y=的图象于点 A，PDy 轴于点 D，交 y=的图 x 1 x 1 象于点 B，当点 P 在 y=的图象上运动时，以下结论： x k ODB 与OCA 的面积相等；四边形 PAOB 的面积不会发生变化； PA 与 PB 始终相等；当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点 其中一定正确的是 （08 年湖北省咸宁市） 分析：因为，点 A、B 都在反比例函数 y=的图像上，根据结论 1 和结论 2，知道; x 1 ODB 与OCA 的面积相等,所以，是正确的； 如图 7 所示，连接 OP， 根据结论 1 知道，三角形 POC 的面积为k，是个常数，三角形 OAC 的面积是， 2 1 2 1 所以，三角形 PAO 的面积是k-，是个常数， 2 1 2 1 根据结论 2 知道，三角形 POD 的面积为k，是个常数，三角形 OBD 的面积是， 2 1 2 1 所以，三角形 PBO 的面积是k-，是个常数， 2 1 2 1 所以，四边形 PBOA 的面积等于三角形 PAO 的面积+三角形 PBO 的面积=k-+k- 2 1 2 1 2 1 2 1 =k-1，是一个定值，所以是正确的； 设点 P 的坐标为（m，n），因为，点 P 在的图象上，反比例函数在第一象限内， k y x 所以，mn=k，m0，n0，因为，PCx 轴于点 C，交的图象于点 A， 1 y x 所以，点 A 的横坐标为 m，所以，点 A 的纵坐标为，即点 A 的坐标为（m，）； m 1 m 1 因为，PDy 轴于点 D，交的图象于点 B，所以，点 B 的纵坐标为 n，所以，点 A 1 y x 的横坐标为，即点 B 的坐标为（，n），PA=PC-AC=n-=,PB=PD-BD=m-= n 1 n 1 m 1 m mn1 n 1 ， n mn1 分数的分子是相同的，但是，分母不同，只有当 m=n 时，PA=PB 才能成立，所以，即 是不正确的；当点 A 是 PC 的中点时，有 PA=AC 即=，所以，mn=2，即 k=2， m mn1 m 1 所以，点 P 的坐标为（m，），即点 B 的坐标为（，），所以，点 B 是 PD 的中 m 2 2 m m 2 点，所以，当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点即是正确的；因此，一定 正确的是. 例 3、如图 8，一次函数的图象分别交 x 轴、y 轴于 A、B，P 为 AB 上一点且 1 2 2 yx PC 为AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数的图象于(0) k yk x Q，则 k 的值和 Q 点的坐标分别为_.（08 年荆州 3 2 OQC S 市） 简析：根据结论 1 知道：因为 k 是大于 0 的，所以， k=2S=2=3，即 y=，设 Q 的坐标为（m，n），则 mn 因 2 3 x 3 为，一次函数的图象分别交 x 轴、y 轴于 1 2 2 yx A、B， 所以，点 A 的坐标为（4，0），点 B 的坐标为（0，-2）， 所以，线段 OA =4,因为，PC 为AOB 的中位线， 所以，点 C 是线段 OA 的中点，所以，OC=2,即点 Q 的横坐 标为 m =2，所以，n=，所以点 Q 的坐标为（2，）。 2 3 2 3 例 4、如图 9，反比例函数 y=的图象与直线 y=kx（k0）相交于 A、B 两点， x 5 ACBC轴，则ABC 的面积等于 个面积单 位。 简析：因为，反比例函数 y=中 k=5，根据结论 4，所以， x 5 ABC 的面积等于 2k=10。本题的最大特点是吧，把几何中 的三角形全等问题引入函数的图像中，充分体现数形的完 美组合。 解：（1）因为，点 c(1，6)在反比例函数 y=的图像上，所以，16=m，所以，m=6， x m 因为，点 D(3，n) 在反比例函数 y=的图像上，所以，3n=6，所以，n=2； x m （2）设设直线 AB 的解析式是 y=kx+b， 所以，解得：k=-2，b=8 所以，直线 AB 的解析式是 y=-2x+8。 23 6 bk bk （3）因为，直线 AB 的解析式是 y=-2x+8，令 x=0，得 y=8，即直线与 y 轴的交点坐标是 （0，8），即 A 的坐标是（0，8），所以，OA=8,令 y=0，得 x=4，即直线与 x 轴的交点坐 标是（4，0），即 B 的坐标是（4，0），所以，OB=4,又因为，点 C(1，6)、点 D(3，2)， 所以，CE=1,OE=2,OF=3,DF=2,所以，AE=OA-OE=8-6=2,BF=OB-OF=4-3=1，因此， AE=DF，CE=BF, 因为,AEC=DFB90,所以,AECDFB ( (六六) )、反比例函数与一次函数相交题、反比例函数与一次函数相交题 反比例函数与一次函数，就象一对孪生姐妹，在考题中常常是成对出现，且每次出场都具有不同的色彩。 本文就给出四例，让同学们一起欣赏它们联手的精彩。 1 1、联手演绎无交点、联手演绎无交点 例 1、函数的图象与直线没有交点，那么 k 的取值范围是： x k1 y xy A、 B、 C、 D、(2008 年扬州市)1k 1k 1k1k 分析：反比例函数 y=（k0）与正比例函数 y=ax（a0）要想没有交点，函数的图像必须不能分布在 x k 相同的象限内，具体应满足如下的两种情形：如果反比例函数的图像分布在一、三象限，则正比例函数 的图像必须分布在二、四象限，即 k0，则 a0；如果反比例函数的图像分布在二、四象限，则正比 例函数的图像必须分布在一、三象限，即 k0，则 a0。 解：因为，函数的图象与直线没有交点，且正比例函数的图像分布在一、三象限， x k1 y xy 所以，反比例函数的图像必须分布在二、四象限，所以，1-k0，所以，k1，所以，选择 A。 2 2、联手演绎已知一个交点的坐标、联手演绎已知一个交点的坐标 例 2、已知直线与双曲线的一个交点A的坐标为（-1，-2）则=_；=_；mxy x k y mk 它们的另一个交点坐标是_（08 梅州） 分析:函数的交点坐标，一定同时满足两个函数的解析式。这是骄傲点坐标的一个最大的特点。 所以，在具体的解答过程中，同学们只需把交点的坐标分别代入两个函数的解析式。 在求另一个交点的坐标时，建立起方程就可以。 解：因为，直线与双曲线的一个交点A的坐标为（-1，-2），所以，-2=m（-1）,-2=mxy x k y ， 1 k 解得：m=2，k=2，所以，函数的解析式分别是：y=2x 和 y=；令：2x=，所以，x2=1，所以，x=-1， x 2 x 2 或 x=1；当 x=1 时，y=2，所以，另一个交点的坐标是（1，2）。 3 3、联手演绎图像分布、性质确定另一个函数的图像分布、联手演绎图像分布、性质确定另一个函数的图像分布 例 3、已知反比例函数=(0)的图象，在每一象限内，的值随值的增大而减少，则一次函数=-y x a ayxy +的图象不经过（ ） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 axa （08 茂名） 分析：因为，反比例函数=(0)的图象，在每一象限内，的值随值的增大而减少，所以，a0，y x a ayx 因此，-a0，所以，y=-ax+a 一定经过二、四象限，和第一象限，因此，函数的图像一定不经过的是第三象限。选 C。 4 4、联手演绎平移函数图像，并已知一个交点的坐标、联手演绎平移函数图像，并已知一个交点的坐标 例 4、在平面直角坐标系xoy中，直线yx向上平移 1 个单位长度得到直线l直线l与反比例函数 k y x 的图象的一个交点为( 2)A a，则k的值等于 （2008 年 芜湖市） 分析：由直线yx向上平移 1 个单位长度得到直线l的表达式是：y=x+1，将 A 点坐标代入 y=x+1，得：a+1=2，所 以，a=1，所以，点 A 的坐标是（1，2），把（1，2）代入反比例函数的表达式 k y x ，解得：k=2。应该填 2. ( (七七) )、反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积、反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积 一般地，如图 1，过双曲线上任一点 A 作 x 轴、y 轴的垂线 AM、AN，所得矩形 AMON 的面积为：S=AMAN=|x|y|=|xy|. 又y= x k ，xy=k. AMON S矩形=|k|.| 2 1 kS AOM . 这就是说，过双曲线上任一点，做 X 轴、Y 轴的垂线， 所得矩形的面积为|k|,这是系数 k 的几何意义，明确了 k 的几 何意义会给解题带来许多方便，请思考下列问题： （1）、求函数的解析式求函数的解析式 例例 1 如图 2 所示，在平面直角坐标系中，一次函数1ykx的图象与反比例函数 9 y x 的图象在第一象限相交于点A过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点B、 C如果四边形OBAC是正方形，求一次函数的关系式 解析 四边形OBAC是正方形及反比例函数 9 y x 的图象 在第一象限相交于点A， 则正方形OBAC的面积为：Sxy9，所以正方形的边长 为 3，即点 A 的坐标（3，3，）。将点 A（3，3，）代入直线得 y= 3 2 x+1。 （2）.特殊点组成图形的面积特殊点组成图形的面积 例例 2 如图 3，点A、B是双曲线 3 y x 上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作 垂线段，若1S 阴影 ，则 12 SS 解析解析 由 A,B 分别向两坐标轴作垂线围成图形的面积相等， S1+S阴影S2+S阴影xy31S 阴影 ， 12 SS224。 例例 3 如图 4，A、B 是函数 2 y x 的图象上关于原点对称的任意两点， BCx轴，ACy轴，ABC 的面积记为S，则（ ） A2S B4S C24S D4S 图 1 A N M X Y O A C O B x 图 2 x y A B O 1 S 2 S 图 3 图 4 解析解析 A、B 是函数 2 y x 的图象上关于原点对称的任意两点， ABC 的面积记为S4SAOD=4 2 1 xy=4. (3)、求字母的值、求字母的值 例例 4 如图 5，直线 y=mx 与双曲线 y= x k 交于 A、B 两点，过点 A 作 AMx 轴，垂足为 M，连结 BM,若 ABM S=2，则 k 的值是（ ） A2 B、m-2 C、m D、4 解析 直线 y=mx 与双曲线 y= x k 交于 A、B 两点，已知 A,B 两点关于原点 O 对称， 所以 ABM S=2SAOM=2 2 1 xy=xy=2 k=2。 例例 5 如图 6，已知双曲线)0k( x k y经过直角三角形 OAB 斜边 OB 的中点 D，与直 角边 AB 相交于点 C若OBC 的面积为 3，则 k_ 解析：由双曲线)0k( x k y经过直角三角形 OAB 斜边 OB 的中点 D， 设点 D 的坐标（x,y），又 DEBA, 点 B 的坐标为 （2x,2y）， OBC 的面积 3, 2 1 OA.AB= 2 1 2x2y=2xy=2k=3,k= 2 3 . (4)、求线段的长度、求线段的长度 例例 6 如图 7，已知一次函数1yx的图象与反比例函数 k y x 的图象在第一象限相 交于点A，与x轴相交于点CABx，轴于点B，AOB的面积为 1，则AC的长为 （保留根号） 解析：AOB的面积为 1， 2 1 k=1,k=2。 解方程组 y=x+1 Y= x 2 ,得 A 的坐标（1，2）。由一次函数1yx的图象与x轴相交于 点 C，OC=1,BC=2,AB=2,由勾股定理得AC22。 (5)、探讨面积的变化探讨面积的变化 例例 7 如图 7，在直角坐标系中，点A是x轴正半