直线与圆的方程例题(总结版).doc

【考试大纲要求】1理解直线的斜率的概念，掌握两点的直线的斜率公式掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程 2掌握两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系 4了解解析几何的基本思想，了解坐标法5掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.6掌握直线与圆的位置关系的判断方法，能利用直线和圆的位置关系解决相关问题.直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程【基础知识归纳】1直线方程（1）直线的倾斜角 直线倾斜角的取值范围是：.（2）直线的斜率.倾斜角是90的直线没有斜率；倾斜角不是90的直线都有斜率，斜率的取值范围是（，+）.(3)直线的方向向量设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量=（x2x1，y2y1）称为直线的方向向量向量=（1，）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率.特别地，垂直于轴的直线的一个方向向量为(0,1) .说明：直线的倾斜角、斜率、方向向量都是刻划、描述直线的倾斜程度的每一条直线都有倾斜角和方向向量，但不是每一条直线都有斜率，要注意三者之间的内在联系（4）直线方程的五种形式点斜式：，(斜率存在) 斜截式： (斜率存在)两点式：，(不垂直坐标轴) 截距式： (不垂直坐标轴,不过原点)一般式：.引申：过直线, 交点的直线系方程为：（R）(除l2外)2两条直线的位置关系（1）直线与直线的位置关系存在斜率的两直线；.有： 且； ；与相交 0与重合 且.一般式的直线,.有；且; ;与相交;与重合；且 （2）点与直线的位置关系若点在直线上，则有；若点不在直上，则有，此时点到直线的距离为平行直线与之间的距离为 （3）两条直线的交点直线,的公共点的坐标是方程 的解相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解.重合方程组有无数解.3曲线与方程4. 圆的方程(1)圆的定义 (2)圆的方程标准式：，其中为圆的半径，为圆心一般式：（）.其中圆心为，半径为参数方程:，是参数）. 消去可得普通方程5. 点与圆的位置关系判断点与圆的位置关系代入方程看符号.6.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有：相离、相切和相交.有两种判断方法： （1）代数法：（判别式法）时分别相离、相交、相切. （2）几何法：圆心到直线的距离 时相离、相交、相切. 7弦长求法（1）几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，则 （2）解析法：用韦达定理，弦长公式.8圆与圆的位置关系题型1：直线的倾斜角1（07上海）直线的倾斜角 答案：解析：直线可化为， 题型2 ：直线的斜率2（08安徽卷）若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为 （ ） A BC D答案：C解析：记圆心为,记上、下两切点分别记为，则，的斜率即.题型3 直线的方程3（07浙江）直线关于直线对称的直线方程是 （ ）答案：D解析：(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于对称点为(2-x, y)在直线上,即，化简得答案D.题型4：直线方程的综合题 y xOBAFEPC4（08江苏卷）在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE的方程：，请你求OF的方程： _.答案：解析：直线AB的方程为 直线CP的方程为 -得，直线AB与CF的交点F坐标满足此方程，原点O的坐标也满足此方程，所以OF的方程为.（若敢于类比猜想，交换x的系数中b、c的位置，便很快可得结果.）题型5：直线与直线的位置关系5（06福建）已知两条直线和互相垂直，则等于 ( )A2 B1 C0 D答案 D解析：两条直线和互相垂直，则， a=1，选D.题型6：点与直线的位置关系6（06湖南）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 ( )A36 B. 18 C. D. 答案C解析：圆的圆心为(2，2)，半径为3，圆心到直线的距离为3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6，选C.题型7：平行线间的距离【例7】（07四川）如图，、是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在、上，则的边长是 ( ) A B C D【答案】D【解析】过点作的垂线，以、为轴、轴建立平面直角坐标系设、，由知边长，检验A：，无解；检验B：，无解；检验D：，正确.题型8：动点的轨迹方程ABCDOxy8（08上海）如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点若点、点满足且，则称P优于如果中的点满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 ( ) 弧ABB弧BC C弧CD D弧DA 答案D 解析：分别在弧AB、弧BC、弧CD、弧DA上任意取一点Q，只有在弧DA上的点Q满足不存在中的其它点优于Q，故选D题型9：圆的方程9. (06重庆)以点（2，1）为圆心且与直线相切的圆的方程为 （ ）A BC D答案 C解析 3，故选C.10.。（08福建)若直线3x+4y+m=0与圆 （为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是 .解析：将圆化成标准方程得，圆心，半径. 直线与圆相离， .题型10：直线与圆的位置关系11.（09辽宁）已知圆C与直线xy0 及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为 （ ）A.B.C. D. 答案B解析：圆心在xy0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.题型11：圆与圆的位置关系12（07山东）与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是_答案 【解析】曲线化为，其圆心到直线的距离为所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为标准方程为.【重点方法提炼】在解答有关直线的问题时，应特别注意的几个方面：（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾角的范围（2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m倍（m0）”等时，采用截距式就会出现“零截距”，从而丢解.此时最好采用点斜式或斜截式求解（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”，从而造成丢解.如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，或讨论两直线的平行、垂直的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论（4）有关圆的问题解答时，应注意利用圆的平面几何性质，如圆与直线相切、相交的性质，圆与圆相切的性质，这样可以使问题简化 （5）对独特的数学方法坐标法要引起足够重视要注意学习如何借助于坐标系，用代数方法来研究几何问题，体会这种数形结合的思想 （6）首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终1.（2004年湖北，文2）已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx7与线段M1M2的交点M分有向线段M1M2的比为32，则m的值为A. B. C. D.4解析：设M（x，y），点M分M1M2所成比为=. 得x=3，y=5. 代入y=mx7，得m=4.答案：D2.（2003年辽宁）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是解：根据a的符号和表示直线的位置特征，显见C正确，因为当a0时，直线ax+2y-z=0的斜率k=-a/2kAC= -1,a2;当a0时，k=-a/2-4,综合得a的取值范围是（，2 ）14（2008全国2，11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）A3B2CD15.（2010 福建，8）设不等式组所表示的平面区域是，平面区域与关于直线3x-4y-9对称。对于中的任意点A与中的任意点B，AB的最小值等于A. B. 4 C. D. 216（2010 浙江，7）若实数满足不等式组且的最大值为9，则实数（A）-2（B）-1（C）1（D）217（2009 安徽 7）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是（A） （B） （C） （D） 18. (2009 宁夏海南6)设满足则（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】画出不等式表示的平面区域，如右图，由zxy，得yxz，令z0，画出yx的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小值为：z2，无最大值，故选.B19(2009 福建9)在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 如图可得黄色即为满足的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，故选D.20(2008山东11)已知圆的方程为 设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 （ ）（A）10（B）20（C）30（D）4021(2010 江苏9)在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是_【解析】考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，的取值范围是（-13，13）。22（2009，上海，22）已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F，一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。（1） 求双曲线C的方程；（2） 若过原点的直线，且a与l的距离为，求K的值；（3） 证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.【解析】（1）设双曲线的方程为 ，解双曲线的方程为（2）直线，直线 由题意，得，解得（3）【证法一】设过原点且平行于的直线则直线与的距离当时， 又双曲线的渐近线为 双曲线的右支在直线的右下方， 双曲线右支上的任意点到直线的距离大于。故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为【证法二】假设双曲线右支上存在点到直线的距离为，则由（1）得设，当时，；将代入（2）得， 方程不存在正根，即假设不成立，故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为圆的切线方程： (x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2 椭圆的切线方程 (xx0)/a2 + (yy0)/b2=1. 双曲线的切线方程(xx0)/a2 - (yy0)/b2=1. 抛物线切线方程 yy0 = p（x+x0） 【高考实战演习】一选择题 1（09湖南重点中学联考）过定点作直线分别交轴、轴正向于A、B两点，若使ABC（O为坐标原点）的面积最小，则的方程是 （ ） A. B. C. D.2（09湖北重点中学联考）若P（2，1）为圆（x1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是 （ ） A.xy3=0 B.2x+y3=0C.x+y1=0 D.2xy5=0 3.（09陕西）过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为（ ）A. B.2 C. D.2 4.（09宁夏海南）已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 ( )A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=15.（09重庆）直线与圆的位置关系为 （ ）A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心 D相离6.（09重庆）圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为 （ ）A B CD7（08湖北）过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有 （）A.16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条8（08北京）过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为 （ ）A BCD二填空题9（07上海）已知与，若两直线平行，则的值为_.10.（08天津）已知圆C的圆心与点关于直线对称直线与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为_ 11.（09四川）若与相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 w.12.（09全国）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是: 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）13.（09天津）若圆与圆（a0）的公共弦的长为，则a=_ .14（09辽宁）已知圆C与直线xy0 及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为_.三解答题15 （09广西重点中学第一次联考）设直线过点A（2，4），它被平行线xy +1=0与x-y-l=0所截得的线段的中点在直线x+2y-3=0上，求直线的方程.16（08北京）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1（）当直线过点时，求直线的方程；（）当时，求菱形面积的最大值17（08江苏）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C求：（）求实数b 的取值范围；（）求圆C 的方程；（）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论18(08海淀一模)如图，在平面直角坐标系中，N为圆A：上的一动点，点B（1，0），点M是BN中点，点P在线段AN上，且 （）求动点P的轨迹方程； （）试判断以PB为直径的圆与圆=4的位置关系，并说明理由.19（08年西城一模）在面积为9的中，且.现建立以A点为坐标原点，以的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示.（）求AB、AC所在的直线方程；()求以AB、AC所在的直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；()过D分别作AB、AC所在直线的垂线DF、DE（E、F为垂足），求的值.20.（08朝阳一模）已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且 的面积为定值2(）求线段中点的轨迹的方程；（）过点作直线，与曲线交于不同的两点，与射线分别交于点，若点恰为线段的两个三等分点，求此时直线的方程参考答案一选择题1【答案】D【解析】由题设，可知，且， 当且仅当时，. 的方程为： 应选D. 2【答案】A【解析】由（x1）2+y2=25知圆心为Q（1，0）.据kQPkAB=1，kAB=1（其中kQP=1）.AB的方程为y=（x2）1=x3，即xy3=0. 应选A.3. 【答案】D【解析】直线方程,圆的方程为：圆心到直线的距离，由垂径定理知所求弦长为 ，选D.4.【答案】B【解析】设圆的圆心为（a，b），则依题意，有，解得，对称圆的半径不变，为1.5.【答案】B【解析】圆心为到直线，即的距离，而，选B.6.【答案】A【解法】设圆心坐标为，则由题意知，解得，故圆的方程为.7【答案】C【解析】由已知得圆心为P(-1，2)，半径为13，显然过A点的弦长中最长的是直径，此时只有一条，其长度为26，过A点的弦长中最短的是过A点且垂直于线段PA的弦，也只有一条，其长度为10（PA的长为12，弦长=2=10），而其它的弦可以看成是绕A点不间断旋转而成的，并且除了最长与最短的外，均有两条件弦关于过A点的直径对称，所以所求的弦共有2（26-10-1）+2=32故选C8【答案】C【解析】此圆的圆心为C（5，1），半径.设直线上的点P符合要求，连结PC，则由题意知，又.设与切于点A，连结AC，则.在中，l1与l2的夹角为60. 故选C.二填空题9【答案】 【解析】 .10.【答案】.【解析】圆C的圆心与P（2,1）关于直线y=x+1对称的圆心为(0,-1),设该圆的方程为设AB中点为M，连结CM、CA，在三角形CMA中故圆的方程为11.【答案】4【解析】由题知，且，又，所以有.12.【答案】或【解析】两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或.13.【答案】1【解析】由知的半径为,解之得.14【答案】【解析】圆心在xy0上,结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.三解答题15【答案】3x-y-2=0【解析】由几何的基本的性质，被两平行线所截得的线段的中点一定在y=x上，将x+2y-3=0与y=x联立构成方程组解得交点的坐标为（1，1）点，又由直线 过点A（2，4）由两点式得直线 的方程为：3x-y-2=0.16【解析】（）由题意得直线的方程为因为四边形为菱形，所以于是可设直线的方程为由得因为在椭圆上，所以，解得设A，B两点坐标分别为，则，所以所以的中点坐标为