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第三章 环与域 n加群、环的定义 n交换律、单位元、零因子、整环 n除环、域 n无零因子环的特征 n子环、环的同态 n多项式环 n理想 n剩余类环、同态与理想 n最大理想 n商域 1加群、环的定义 定义：一个交换群叫做一个加群，假如将群的代数运 算叫做加法，并且用称号+表示。 因此在加群里n个元的和有意义，这个和 用符号即： 加群中的唯一元用0表示，称为零元。元a的逆元用-a表示 则有运算规则： * 规定: 则有： 1加群、环的定义 （0为中零元） 定义 一个集合叫做环，假如 1、是个加群，即对于一个叫做加法的代数运算来 说作成一个交换群； 、对于一个叫做乘法的运算来说是闭的； 、关于乘法满足结合律： 、关于乘法与加法满足分配律： 则有运算规则： 1加群、环的定义 （0为中零元） 1加群、环的定义 * 规定： 则有： 1加群、环的定义 交换律、单位元、零因子、整环 定义 一个环叫做交换环，假如 其中a,b为中任意元。 所以有： 定义 一个环的一个元e叫做一个单位元，假如有 其中a为中任意元。 注：不是所有环都有单位元，如下例。 * 例所有偶数，对于普通数的加法和乘法作成 一个环，但没有单位元。 单位元的唯一性：一个环如果有单位元则其单位元是唯 一的。 证明：设有两个单位元e和e则有 所以性质成立。 注一个环中的单位元用1表示，且规定 交换律、单位元、零因子、整环 定义 一个有单位元环的一个元b叫做元a的逆元，假如 逆元唯一性：环一个元a若有逆元，则最多只有一个逆元。 证明：设a有两个逆元b和b，则 所以性质成立。 注：不是环中所有元都有逆元，如整数环中除和-1外 其余元都滑逆元。 交换律、单位元、零因子、整环 用a-1表示a的逆元，且规定 则对任何整数都有 交换律、单位元、零因子、整环 定义 若在一个环里 但 则称a是环的一个左零因子，b是环的一个右零因子。 例 所有模n的剩余类规定R中的加法和乘法 如下： 可以验证是一个环，称为模n的剩余类环。 若n不是素数，则 但 所以n非平凡因子均为的零因子。 交换律、单位元、零因子、整环 例 高等代数中一个数域上一切n阶方阵对于矩阵的 加法和乘法来说做成一个有单位元的环， 则当时有非0矩阵乘积为矩阵，所以有零因子。 如 但 交换律、单位元、零因子、整环 定理 在一个没有零因子的环里两个消去律成立。反之 一个环里消去律成立，则这个环没有零因子。 证明：因为没有零因子，所以由 得 和 即 消去律成立。 交换律、单位元、零因子、整环 反之，假设消去律成立，因为 所以由消去律知若则 所以环没有零因子。 交换律、单位元、零因子、整环 推论 一个环若有一个消去律成立，则另一个消去 律也成立。 定义 一个环叫做一个整环，若 、乘法适合交换律： 、有单位元: 3、没有零因子： 其中a,b为中任意元素。 例如整数环是一个整环。 交换律、单位元、零因子、整环 除环、域 例只包括一个元a加法和乘法规定为： 则是个环，它只一个元a既是0元，也是a的逆元等。 例全体有理数作成的集合对于普通数的加法和乘法作成 一个环，显然对于任意一个非有理数a，都有逆元a-1。 定义 一个环叫做一个除环，若 、至少包含一个不等于零的元； 、有一个单位元； 、每一个不等零的元都逆元。 定义 一个交换除环叫做一个域。 * 除环的性质： 、除环无零因子。 因为 、除环的不等零的元对于乘法来说作成一个群 称为除环的乘法群。 注：除环由两个群构成，分配律是一这两个群之间联系的 桥梁。 除环、域 所以在域中可以用表示a-1b和ba-1。 则有以下结论： 但是a-1b不一定等于ba-1，而在域中，则有a-1bba-1 方程ax=b和ya=b各有一个唯一解是a-1b和ba-1. 除环、域 、当且仅当ad=bc时成立； 、 、 例所有复数对。这里规定 则是一个除环，但不是交换环。 因为对于非零元均有逆元 但是(i,0)(0,1)=(0,i),(0,1)(i,0)=(0,-i)所以 这个环是四元数除环。 除环、域 环的分类： 环 交换环有单位元环无零因子环 整环 除环 域 除环、域 无零因子环的特征 例设p是一个素数，则模p的所有剩余类构成一个环，则 可以证明是一个域。 证明：只需证明的所有非零元作成一个乘群。 、结合律成立，则数的乘法结合律知； 、由于p是素数，所以p不整除a，p不整除b时一定有 p不整除ab,所以 时有 即 讨论规则 ： * 、p不整除a，但p整除a(x-x)时，则p整除x-x，即有 所以是一个乘法群，则是一个域。 无零因子环的特征 注：在该域中，一个非零元a有pa=0。 证明：因为pa=a+a+a=pa=0. 分析原因：是因为中除零元外，其余元的阶（加法 ）均为p是一个有限数。 定理 在一个无零因子环中所有不等于零的元的阶（对 于加法来说）都一样。 证明：如果每个非零元的阶都是无限大，则结论成立。假 设的某一个元a的阶是有限整数n，b是的另一个非零元 ，则(na)b=a(nb)=0,由R是无零因子环知nb=0。 所以a的阶不超过b的阶，b的阶不超过a的阶，所以 a的阶b的阶. 无零因子环的特征 定义 一个无无零子环的非零元的相同的（加法 ）阶叫做环的特征。 定理若无零因子环的特征是一个有限数n，则n 一定是素数. 证明：假如n不是素数，n=n1n2，那么对于的一个非 零元a有 但是 与是无零因子环矛盾，所以n是素数。 无零因子环的特征 推论 整环、除环、域的特征或是无限大，或是一个素数。 结论：在一个特征为p的交换环中有 无零因子环的特征 5 子环、环的同态 定义 一个环R的一个子集S叫做R的一个子环，假如 S本身对于R的代数运算来说作成一个环。 一个除环R的一个子集S叫做R的一个子除环，假如S 本身对于R的代数运算来说作成一个除环。 同样可以规定子整环、子域概念。 结论：一个环的非空子集S作成子环的充要条件是： * 一个除环的非空子集S作成子除环的充要条件是： 1、 S包含一个不等于零的元； 2、 5 子环、环的同态 例1 R本身是环R的子环。由0一个元作成的集合也是 R的子环。 例2 一个环R可以同每一个元交换的元作成一个子环， 叫作环R的中心。 定理2 设R和 是两个环，并且R与 同态，则R的零元的 象是 的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元，R是交 换环则 也是交换环，R若有单位元1 ，则 也有单位元 而且 是1的象。 定理1 设R是一个环 ， 是一个不空子集，且有一个加法和 一个乘法运算，若存在一个R到的满射，使得R与 对于一对加法和一对乘法来说同态，则 也是一个环。 5 子环、环的同态 例3 设R是整数环， 是模n的剩余类环，则 显然是R到 的一个同态满射。 注：R是无零因子环， 是一个有零因子。 5 子环、环的同态 显然是R到 的一个同态满射。R的零元是（0，0），而 注：R是有零因子环， 是一个无零因子。 例4 R=所有整数对(a,b)，对于代数运算 R是一个环，用 表示整数环，则 5 子环、环的同态 定理3 假设R与 是两个环，且 若R是整环，则 也是整环； 若R是除环，则 也是除环； 若R是域，则 也是域。 5 子环、环的同态 5 子环、环的同态 定理4（挖补定理）设S是环R的一个子环，S在R里的补足 集合与另一个环 没有共同元，并且 ，则存在一 个与R同构的环 而 是 的子环。 证明思路：令 因 所以有同构映射 R中不属于S的元为a,b,c, 则 规定一个映射 则可以证明。 5 子环、环的同态 6、多项式环 定义 一个可以写成 形式的R0的元叫做R上的一个多项式，ai叫做多项式的 系数。其中 系数是R上的所有多项式构成 一个集合记为 定义加法与乘法运算如下： 加法 * 其中 结论：1、加法与乘法封闭。 2、是一个环（包含R0和 的最小子环）。 定义 叫做R上的 的多项式环。 乘法 6、多项式环 定义 R0的一个元x叫做R上的一个未定元，若R中找不 到不都等于0的元a0,a1,an，使得 6、多项式环 定义 令 是环R上的多项式，则n称为为个多项式的次数，0多 项式没有次数。 定理1 有单位元交换一定有未定元x存在。 证明思路：1、利用交换环R构造一环 其中只有有限个ai不等于零.则定义加法和乘法 可证明其为交换环。 2、利用 可以得到一个包含R的环P 3、证明P包含R上的未定元。 6、多项式环 定义 一个有形式 的元叫做R上的 的多项式。 多项式环记作 则R上的所有的多项式构成一个环称为 定义 R上的x1,x2,xn任何一个系数不全为零的多项式 不等于0，则称x1,x2,xn为R上的无关未定元。 6、多项式环 定理2 R为一个交换环，n为一个正整数，则一定 有R上的无关未定元x1,x2,xn存在。 证明思路：由定理1和数学归纳法得到。 定理3 设和 是R上的多项式环， x1,x2,xn是无关未定元则 与同态。 6、多项式环 证明思路： 则定义映射： 可以证明其为一个同态映射。 6、多项式环 7 理想 定义环R的一个非空子集叫做一个理想子环（理想）若： 1、 2、 显然：只包含零元的集合，是R的理想，称为R的零理想。 R自己也是R的理想，称为R的单位理想。 * 定理1 除环R中有零理想和单位理想。 证明：设 是R的一个理想，且不是零理想， 则由得 所以对任意 所以 注：理想对除环和域没有用处。 7 理想 例1 设R是整数环，n为是0，1的整数，则所有倍数 rn作成一个理想。 例2 环R上的一元多项式环Rx则所有次数不超过n 次的多项式构成的集合是Rx的理想。 7 理想 设R一个环，若a为R的一个非0元，则所有形式为 的元构成一个集合是R的一个理想记作 。 结论：是包含a的最小理想。 7 理想 定义 上面得到的理想叫做由a生成的主理想，记作(a). 当R为交换环时 当R有单位元时 当R有单位元且为交换环时 7 理想 设R是一个环，若是R的m个元，则 是R的一个理想。 证明：因为 则 所以是R的理想。 7 理想 注： 是包含的最小理想。 定义 称为由生成的理想。 记作 7 理想 例3 设Rx整数环R上的一元多项式环，则 1、可以证明 2、可以证明不是Rx主理想。 因为若则 则矛盾。 7 理想 8 剩余环、同态与理想 设R为一个环， 为其一个理想，则对加法运算 是R的一个不变子群，所以的陪集 是R的一个分类，称为R的模 的剩余类。 显然 * 8 剩余环、同态与理想 把R的所有剩余类作成的集合记作在其上规定 加法 乘法 则有结论： 定理1 设R是一个环， 是它的一个理想， 是所有 模 的剩余类作成的集合，则 是一个