山东省高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.3～2.3.4直线与平面垂直的性质学案.docx

23.3直线与平面垂直的性质23.4平面与平面垂直的性质学习目标1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；2.能运用性质定理解决一些简单问题；3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系知识点一直线与平面垂直的性质思考在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？答案平行.文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言ab图形语言知识点二平面与平面垂直的性质定理思考黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直.文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言，l，a，ala图形语言类型一直线与平面垂直的性质定理例1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AB平面PAD，ADAP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MNAB，MNPC.证明：AEMN.解因为AB平面PAD，AE平面PAD，所以AEAB，又ABCD，所以AECD.因为ADAP，E是PD的中点，所以AEPD.又CDPDD，所以AE平面PCD.因为MNAB，ABCD，所以MNCD.又因为MNPC，PCCDC，所以MN平面PCD，所以AEMN.反思与感悟证明线线平行的常用方法有：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行跟踪训练1如图，l，PA，PB，垂足分别为A、B，a，aAB.求证：al.证明PA，l，PAl.同理PBl.PAPBP，l平面PAB.又PA，a，PAa.aAB，PAABA，a平面PAB.al.类型二平面与平面垂直的性质定理例2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是DAB60且边长为a的菱形侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点求证：(1)BG平面PAD；(2)ADPB.证明(1)由题意知PAD为正三角形，G是AD的中点，PGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PG平面ABCD，PGBG.又四边形ABCD是菱形且DAB60，ABD是正三角形，BGAD.又ADPGG，BG平面PAD.(2)由(1)可知BGAD，PGAD，BGPGG，所以AD平面PBG，又PB平面PBG，所以ADPB.反思与感悟证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线跟踪训练2如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求证：BCAB.证明如图，在平面PAB内，作ADPB于D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB.AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC.又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADA，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.类型三线线、线面、面面垂直的综合问题例3如图，在四面体ABCD中，平面ABC平面BCD，ABAC，DCBC.求证：平面ABD平面ACD.证明平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，在平面ABC内，作AEBC于点E，如图，则AE平面BCD.又CD平面BCD，AECD.又BCCD，AEBCE，AE、BC平面ABC，CD平面ABC，又AB平面ABC，ABCD.又ABAC，ACCDC，AC，CD平面ACD.AB平面ACD.又AB平面ABD，平面ABD平面ACD.反思与感悟在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：跟踪训练3如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点求证：(1)DEDA；(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA.证明(1)设BDa，如图，作DFBC交CE于F，则CFDBa.因为CE面ABC，所以BCCF，DFEC，所以DEa.又因为DB面ABC，所以DAa，所以DEDA.(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN綊CE綊DB.所以四边形MNBD为平行四边形，所以MDBN.又因为EC面ABC，所以ECBN，ECMD.又DEDA，M为EA的中点，所以DMAE.所以DM平面AEC，所以面BDM面ECA.(3)由(2)知DM平面AEC，而DM平面DEA，所以平面DEA平面ECA.1已知ABC所在的平面为，直线lAB，lAC，直线mBC，mAC，则直线l，m的位置关系是()A相交 B异面 C平行 D不确定答案C解析因为lAB，lAC，AB，AC且ABACA，所以l，同理可证m，所以lm.2已知平面平面l，平面，则()Al BlCl与斜交 Dl答案D解析如图，在面内取一点O，作OEm，OFn，由于，m，所以OE面，所以OEl，同理OFl，OEOFO，所以l.3已知l平面，直线m平面.有下面四个命题：lm；lm；lm；lm.其中正确的两个命题是()A B C D答案D解析l，m，lm，故正确；lm，l，m，又m，故正确4.如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC底面ABCD，求证：平面SCD平面SBC.证明因为底面ABCD是矩形，所以BCCD.又平面SDC平面ABCD，平面SDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，所以BC平面SCD.又因为BC平面SBC，所以平面SCD平面SBC.1垂直关系之间的相互转化2平行关系与垂直关系之间的相互转化3判定线面垂直的方法主要有以下五种线面垂直的定义；线面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理；如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，b；如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，a.一、选择题1下列命题错误的是()A若，则内所有直线都垂直于B如果不垂直于，那么内不存在直线垂直于C若，则内一定存在直线平行于D若，则经过内一点与垂直的直线在内答案A解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AA1B1B平面ABCD，直线AB1平面AA1B1B，但AB1与平面ABCD不垂直，故A错2若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析m垂直于平面，当l时，也满足lm，但直线l与平面不平行，充分性不成立，反之，l，一定有lm，必要性成立故选B.3设l是直线，、是两个不同的平面，下列结论正确的是()A若l，l，则 B若l，l，则C若，l，则l D若，l，则l答案B解析设a，若直线la，且l，l，则l，l，因此不一定平行于，故A错误；由于l，故在内存在直线ll，又因为l，所以l，故，所以B正确；若，在内作交线的垂线l，则l，此时l在平面内，因此C错误；已知，若a，la，且l不在平面，内，则l且l，因此D错误4平面平面，直线a，直线b，那么直线a与直线b的位置关系一定是()A平行 B异面 C垂直 D不相交答案C解析因为平面平面，直线a，所以a或a.若a，则ab，若a，设过a的平面与平面的交线为c，则ac，由bc知ab.综上知ab.5已知直线m，n与平面，下列说法正确的是()Am，n且，则mnBm，n且，则mnCm，nm且，则nDm，n且，则mn答案B解析A错误由m，可知m或m.又n，所以m与n的位置关系不确定B正确因为，设l，在l上取点O，过O在内作OAl，则OA，又n，所以OAn.过O在内作OBl，则OB，又m，所以OBm.AOB是二面角l的平面角，由知AOB90，所以mn.C错误由面面垂直的性质定理可知，因为缺少n，所以无法推出n.D错误m与n位置关系不确定6.如图所示，平面平面，A，B，AB与两平面、所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A、B，则ABAB等于()A21 B31 C32 D43答案A解析如图：由已知得AA面，ABA，BB面，BAB，设ABa，则BAa，BBa，在RtBAB中，ABa，.7设l是直二面角，直线a，直线b，a，b与l都不垂直，那么()Aa与b可能垂直，但不可能平行Ba与b可能垂直，也可能平行Ca与b不可能垂直，但可能平行Da与b不可能垂直，也不可能平行答案C解析由题意，当al，lb时，ab；故A，D错；若ab，b与l不垂直，在b上取点A，过A作ABl，由面面垂直的性质定理得AB，a，ABa，又ab，ABbA，aal.这和a与l不垂直相矛盾不可能ab.故B错，所以选C.二、填空题8已知，是三个不同的平面，命题“，且”是真命题，如果把，中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有_个答案2解析若，换为直线a，b，则命题化为“ab，且ab”，此命题为真命题；若，换为直线a，b，则命题化为“a，且abb”，此命题为假命题；若，换为直线a，b，则命题化为“a，且bab”，此命题为真命题9直线a和b在正方体ABCDA1B1C1D1的两个不同平面内，使ab成立的条件是_(只填序号)a和b垂直于正方体的同一个面；a和b在正方体两个相对的面内，且共面；a和b平行于同一条棱；a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直答案解析为直线与平面垂直的性质定理的应用，为面面平行的性质，为公理4的应用10.如图，四面体PABC中，PAPB，平面PAB平面ABC，ABC90，AC8，BC6，则PC_.答案7解析取AB的中点D，连接PD，PAPB，PDAB，平面PAB平面ABC，PD平面ABC.连接DC，则PDC为直角三角形，在RtABC中，AB2，在RtDBC中，DC，PD.PC7.三、解答题11如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC4.设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD.证明在ABD中，AD4，BD8，AB4，AD2BD2AB2，ADBD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，BD平面PAD.又BD平面MBD，平面MBD平面PAD.12.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以APCD.所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF.又因为CDBE，EFBEE，所以CD平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.13.如图，在BCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB