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教学目的：理解正项级数的概念和性质 重点： 正项级数的各种审敛法，几 何级数与P-级数 难点： 比较判别法 第二讲 正项级数 主视图 正项级数 比较判敛法 比值判敛法 自比判敛法 根值判敛法特殊级数 正项级数 称为正项级数 正项级数部分和的性质 正项级数收敛的充要条件是其部分和有上界 由此得到 回主视图 定理(比较审敛法) 设 和 都是正项级数，且 , (2) 如果级数 发散，则级数 也发散. (1) 如果级数 收敛，则级数 也收敛； 比较审敛法 根据正项级数收敛的充要条件得证 回主视图 P级数 由比较判敛法得 由比较判敛法得 回主视图 例1 证明级数 是收敛的 证 因为 ，而级数 是收敛的，故所给级 数也是收敛的 例题 例3 判别级数 的收敛性 解 因为 ，而 是收敛的，故 收敛 设 和 都是正项级数，若 则级则级 数 和 收敛性相同 比值判敛法 故级级数 和 收敛性相同 证: 回主视图 设 和 都是正项级数，若 比值判敛法 证: (2) 如果级数 发散，则级数 也发散. (1) 如果级数 收敛，则级数 也收敛； (2) 如果级数 发散，则级数 也发散. (1) 如果级数 收敛，则级数 也收敛； 由比较判敛法 回主视图 例4 判别级数的收敛性 解 因为 而是发散的， 比较审敛法是通过与某个已知敛散性的级数比较对应 项的大小，来判断给定级数的敛散性，但有时不易找到作 为比较对象的已知级数，这就提出了一个问题，能否从级 数本身直接判别级数的收敛性呢？达朗贝尔找到了比值审 敛法，柯西找到了根值审敛法 例题 发散故 定理(达朗贝尔(DAlembert) 比值审敛法) 设是正项级数，并且 ，则 (1) 当时，级数收敛； (2) 当(或)时，级数发散； (3) 当时，级数可能收敛，也可能发散 自比判敛法 由比较判敛法,结论(1)(2)得证,结论(3)通过实例可以得到验证 例题 例5 判别下列级数的收敛性 (1) (2) 解 (1) 因为 故 收敛 (2) 因为 故 发散 例6 判别级数 的收敛性 解 比值审敛 法失效，必须用其它方法来判别这级 数的收敛性 这时 因为 ，所以 , 而 收敛，则 收敛 例题 回主视图 定理(柯西（Cauchy）根值审敛法) 设 是正项级数，并且 ，则 (1) 当 时，级数收敛； (2) 当 (或 )时，级数发散； (3) 当 时，级数可能收敛，也可能发散 根值判敛法 由比较判敛法,结论(1)(2)得
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