大学物理第19章习题解答.pdf

1 第十九章习题第十九章习题 解答解答 19-1：维恩位移定律： 3 (2.898 10 ) mT b b = 3 3 1 6 1 2.898 10 5.3 10 0.55 10 m b TKK = 3 3 1 6 1 2.898 10 8.3 10 0.35 10 m b TKK = 3 4 1 6 1 2.898 10 1 10 0.29 10 m b TKK = 19-2: 斯特藩波耳茨曼定律： 4824 (5.67 10/()MTwm k = 1 1 4 4 4 3 8 22.8 10 1.42 10 5.67 10 M TK = 193：(1)最大动能： max 348 19 7 19 () 6.63 103 10 4.2 1.6 10 2 10 3.225 102 k c EhAhA JeV = = = 2 (2) max 19 max 19 () ()3.225 10 2 1.6 10 k k eUE E UV E = = (3) 348 7 0 19 6.63 103 10 2.96 10 4.2 1.6 10 hc mm A = 19-4：(1)视网膜接收到光的能量为： 8 3419 7 18 3 10 5 6.63 1010 5 10 1.99 10 c Wnnhnh J J = = = (2)功率为： 18 1.99 10 E Pw t = 195： （1）每秒落到地面上单位面积的光子数量是： 12 8 34 7 1912 8 1 1 3 10 6.63 10 5 10 2.01 10 ns m s m = = 3 (2)每秒钟进入人眼的光子数是： 2 3 1 8 34 7 141 3 8 1 3.1410 2 3 10 6.63 10 5 10 1.42 10 NS S = = 19-6:(1) 光子的频率为： () 2 0 2 0 2 318 20 34 9.1 103 10 1.236 10 6.63 10 hm c m c h HZHZ = = = (2) 光子的波长： () 34 318 0 6.63 10 0.2 9.1 103 10 h mA m c = (3)光子的动量： () 3181 0 221 9.1 103 10 2.73 10 h Pm ckg ms kg ms = = 19-7: 光电效应和康普顿效应都通过光和物质的相互作用过程揭示了光具有粒子性的一面。 光电效应揭示了光子能量与频率的关系，康普顿效应则进一步揭示了光子动量与波长的关 系。 两者的区别源于产生这两效应的能量范围大不相同。光电效应中光子的波长在光学范围， 能 量的数量级是几个 eV，金属中电子逸出功的数量级是 1eV。在线性光学范围内的光电效应 中，入射光子能量大于或等于逸出功时，一个电子吸收一个光子，电子和光子系统的能量守 恒，而因电子受束缚，系统的动量不守恒；康普顿效应中的光子在 X 射线波段，具有 4 10eV 数量级的能量， 相对来说电子逸出功和电子热运动的能量等都可忽略， 原子的外层电子可看 4 作是自由的、静止的。所以，康普顿效应反映的是高能光子和低能自由态电子间的弹性碰撞 问题，系统的能量和动量都守恒。 可见， 光电效应和康普顿效应虽然同为光子和电子的相互作用， 但是它们发生的概率是与光 子的能量有关的。一般说来，发生光电效应的概率随着光子能量的增大而迅速减小。 19-8：散射光子的能量与反冲电子的动能之比： 6 = 5 5 = 6 1 6 5 k k c h E E = = = 散 入 入散 入入散 散 且 19-919-919-919-9波长波长 0 0 A708 . 0 =的的 X X X X 射线在石蜡上受到康普顿散射，求在射线在石蜡上受到康普顿散射，求在 2 和和方向上方向上 所散射的所散射的 X X X X 射线波长各为多大？射线波长各为多大？ 解：根据波长改变公式 )cos1 ( 0 0 = cm h 散射线波长可以表示为 m1008 . 7 m10)cos1 (426 . 2 )cos1 ( 1112 0 0 +=+= cm h 当 2 =时： A732 . 0 m1032 . 7 11 = 当=时： A756 . 0 m1056 . 7 11 = 19-1019-1019-1019-10已知已知 X X X X 光子的能量为光子的能量为 0.60MeV0.60MeV0.60MeV0.60MeV，在康普顿散射之后变化了在康普顿散射之后变化了 20%20%20%20%，求反冲求反冲 电子的能量。电子的能量。 5 解： hhEEEe= 00 ， 已知 00 2 . 0=，得 0 2 . 1 cc =，得 2 . 1 0 =， MeV10 . 0 MeV) 2 . 1 12 . 1 (60 . 0 2 . 1 0 0 = = h hEe 19-1119-1119-1119-11在康普顿散射中，入射光子波长为在康普顿散射中，入射光子波长为 0 0 A030 . 0 =，反冲电子的速度，反冲电子的速度为为 0.600.600.600.60c c c c，求散射光子的波长及散射角。，求散射光子的波长及散射角。 解：反冲电子的能量增量为 2 0 2 0 2 2 02 0 2 25 . 0 6 . 01 cmcm cm cmmcE= = 电子增加的能量等于光子损失的能量， 2 0 0 25 . 0 cm hchc = 散射光子波长 1083134 1034 00 0 10030 . 0 103101 . 925 . 0 1063 . 6 10030 . 0 1063 . 6 25 . 0 = = cmh h A043 . 0 m103 . 4 12 = 由康普顿散射公式 )cos1 ( 0 0 = cm h 得rad465 . 0 cos=， 1762= 19-1219-1219-1219-12实验发现基态氢原子可吸收能量为实验发现基态氢原子可吸收能量为 12.75eV12.75eV12.75eV12.75eV 的光子。的光子。 （1 1 1 1） 试问氢原子吸收光子后将被激发到哪个能级？试问氢原子吸收光子后将被激发到哪个能级？ （2 2 2 2） 受激发的氢原子向低能级跃迁时，可发出哪几条谱线？请将这些跃受激发的氢原子向低能级跃迁时，可发出哪几条谱线？请将这些跃 迁画在能级图上。迁画在能级图上。 6 解： （1）由eV 6 . 13 22 1 nn E En= 得eV75.12) 1 1 ( 6 . 13 2 1 = n EEn 故4=n，第三激发态。 （2）可发出六条谱线，分别是 41 、 42 、 43 、 31 、 32 、 21 。如下 图， 9-139-139-139-13以动能以动能 12.5eV12.5eV12.5eV12.5eV 的电子通过碰撞使氢原子激发时，最高能激发到哪一能的电子通过碰撞使氢原子激发时，最高能激发到哪一能 级？当回到基态时能产生哪些谱线？级？当回到基态时能产生哪些谱线？ 解：设氢原子全部吸收 12.5eV 能量后，最高激发到第 n 和能级，则 ) 1 1 1 ( 6 . 13 22 1 n EEn= 得到5 . 3=n，只能取整数， 所以最高激发到3=n，可发 3 条谱线。 n从13 ：RR 9 8 ) 3 1 1 1 ( 22 1 =， A1026m10026 . 1 8 9 7 1 = R ； n从12 ：RR 4 3 ) 2 1 1 1 ( 22 2 =， A1216 3 4 2 = R ； n从23 ：RR 36 5 ) 3 1 2 1 ( 22 3 =， A6563 5 36 3 = R ； 4=n 3 2 1 21 42 43 41 31 32 7 19-1419-1419-1419-14处于基态的氢原子被外来单色光激发时处于基态的氢原子被外来单色光激发时， 发出巴尔末系中只有两条谱线发出巴尔末系中只有两条谱线， ， 试求这两条谱线的波长及外来光的频率？试求这两条谱线的波长及外来光的频率？ 解：巴尔末系是由2n的高能级跃迁到2=n的能级发出的谱线，只有两条 谱线说明激发后最高能级是4=n的激发态。 eV85 . 0 4 6 . 13 2 4 =E eV51 . 1 3 6 . 13 2 3 =E eV4 . 3 2 6 . 13 2 2 =E 而 mn EE hc = 所以 A6573m106573 10 23 = = EE hc A4872 24 = = EE hc 基态氢原子吸收一个光子h被激发到4=n的能态 hc EEh= 14 Hz1008 . 3 15 14 = = h EE 9-159-159-159-15当基态氢原子被当基态氢原子被 12.09eV12.09eV12.09eV12.09eV 的光子激发后，其电子的轨道半径将增加多少的光子激发后，其电子的轨道半径将增加多少 倍？倍？ 解： 09.12) 1 1 1 ( 6 . 13 22 1 = n EEn 得3=n 而 11 2 1 2 93rrrnrn=， 轨道半径增加到 9 倍。 9-169-169-169-16德布罗意波的波函数与经典的波函数的本质区别是什么？德布罗意波的波函数与经典的波函数的本质区别是什么？ 答：德布罗意波是概率波，波函数不表示实在的物理量在空间的波动，其振 8 幅无实在的物理意义， 2 仅仅表示粒子某时刻在空间的概率密度。 第第 1 1 1 19 9 9 9 章章答案答案 1 1 1 19 9 9 9- - - -17171717. . . . 为使电子的德布罗意波长为为使电子的德布罗意波长为 1 1 1 1 ，需要多大的加速电压？，需要多大的加速电压？ 解：电子的德布罗意波长与加速电压之间的关系式为 1931 34 10 106 . 1101 . 92 10626 . 6 2 101 = V eVm h p h m e 计算得 V=150.77 特. 1 1 1 19-18.9-18.9-18.9-18.具有能量具有能量 15eV15eV15eV15eV 的光子的光子, , , ,被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子所吸收被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子所吸收, , , ,形成一个光电子形成一个光电子. . . . 问此光电子远离质子时的速度为多大问此光电子远离质子时的速度为多大? ? ? ?它的德布罗意波长为多大它的德布罗意波长为多大? ? ? ? 解：氢原子中处于第一玻尔轨道的电子的电离能为 13.6eV，所以形成的光电子的动能为 1.4 eV。光电子的德布罗意波长与光电子的动能之间的关系式为 m Em h p h ke 9 1931 34 100377 . 1 106 . 14 . 1101 . 92 10626 . 6 2 = = 光电子的速度与光电子的动能之间的关系式为 sm m E v e k /107 101 . 9 106 . 14 . 122 5 31 19 = = 1 1 1 19 9 9 9- - - -19191919. . . .光光子与电子的波长都是子与电子的波长都是 2.02.02.02.0 ，它们的动量和总能量各为多少？，它们的动量和总能量各为多少？ 解：光子与电子的动量相等且等于 smkg h p/.10313 . 3 102 10626 . 6 24 10 34 = = 光子的总能量为 J hc hEg 16 10 834 10919 . 9 102 10310626 . 6 = = 电子的德布罗意波长与电子的动能之间的关系式为 m Em h p h ke 10 102 2 = 所以电子的动能为 37.7eV 电子的总能量为 keVEcmE kd 0377.511 2 0 =+= 1 1 1 19 9 9 9- - - -20202020. . . . 已知中子的质已知中子的质量量mmmmn n n n=1.67=1.67=1.67=1.6710101010-27 -27-27-27kg, kg,kg,kg,当中子的动能等于温当中子的动能等于温度度300300300300K K K K的热平衡中子气体的的热平衡中子气体的 平均动能时，其德布罗意波长为多少平均动能时，其德布罗意波长为多少? ? ? ? 解：中子的平均动能为： 9 JkTEk 21 1021 . 6 5 . 1 = 中子的速率为 sm m E v n k /107 . 2 2 3 = 其德布罗意波长为 nm p h 15 . 0 = 1 1 1 19 9 9 9- - - -21212121. . . . 一个质量为一个质量为 mmmm 的粒子的粒子，约束在长度为约束在长度为 L L L L 的一维线段上的一维线段上。试根据测不准关系估算这个试根据测不准关系估算这个 粒子所具有的最小能量的值。粒子所具有的最小能量的值。 解：根据测不准关系得 L p 2 由于动量的数值不可能小于它不确定量，故粒子的动量 L p 2 所以粒子所具有的最小动能的值为 2 22 82mLm p Ek = 1 1 1 19 9 9 9- - - -22222222从某激发能级向基态跃迁而产生的谱线波长为从某激发能级向基态跃迁而产生的谱线波长为4000400040004000 ，测得谱线宽度为测得谱线宽度为10101010-4 -4-4-4 ， ，求该求该 激发能级的平均寿命。激发能级的平均寿命。 解：频率与波长之间的关系为 =c（1） 对（1）式两边微分得 dd+=0（2） 所以得 8 4 105 . 2 4000 10 = = = E E （3） 根据（3）式得 J c hhEE 26888 1024 . 1 105 . 2105 . 2105 . 2 = （4） 根据测不准关系得 s E t 9 1025 . 4 2 = （5） 1 1 1 19 9 9 9- - - -23232323 一波长为一波长为3000300030003000 o A的光的光子，假定其波长的测量精度为百万分之一，求该光子位置的测子，假定其波长的测量精度为百万分之一，求该光子位置的测 10 不准量。不准量。 解：动量与波长之间的关系为 ph=（1） 对（1）式两边微分得 pddp+=0（2） 所以得 6 10= = p p （3） 根据（3）式得 /1010 66 hpp =（4） 根据测不准关系得 m p r 2 103889 . 2 2 = （5） 1 1 1 19 9 9 9- - - -24242424 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为 a x a x 2 3 cos 1 )( 0 = )(axa 那么，粒子在那么，粒子在x=(5a)/6x=(5a)/6x=(5a)/6x=(5a)/6处出现的概率密度为多少？处出现的概率密度为多少？ 答：粒子在 x=(5a)/6 处出现的概率密度为 aa a a a 2 1 62 53 cos 1 ) 6 5 ( 220 = = 25. 粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为： )sin( 2 )( a xn a x n =)0(ax 若粒子处于1=n的状态，在 0a 4 1 区间发现粒子的概率是多少? 解：概率密度 2 2 2 ( )sin () n n x x aa =，在 0a 4 1 区间发现粒子的概率是： 11 /4/4/4 2 22 000 /4 0 22 ( )sin ()sin () () 211211 sin2sin2 242 444 11 0.0907.(1) 42 aaa a n xn xn x xdxdxd aanaa n xn xn naan n nn = = = 26.宽度为a的一维无限深势阱中粒子的波函数为x a n Ax sin)(=，求：(1)归一化系 数A；(2)在2=n时何处发现粒子的概率最大? 解： 2 0 2222 00 22 0 (1).( )1. sinsin () () 11 sin21 242 2 =. a aa a xdx nann AxdxAx dx anaa an xn xa AA naa A a = = = = 由归一化条件：有： (2).一维无限深势阱中粒子的概率密度为 将上式对x求导一次，并令它等于零 2 2 0 ( )4 sincos0 n x dxmnn xx dxaaa = = 因为在阱内，即0,sin0 n xax a 只有cos0 n x a = 于是 由此解得最大值得位置为:(21) 2 a xN n =+ 例如1,0nN=最大值位置 1 2 xa= ,0,nN=21最大值位置 13 , 44 xaa= 可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。 27.原子内电子的量子态由 sl mmln,四个量子数表征当 l mln,一定时，不同的量子态 数目是多少? 当ln,一定时， 不同的量子态数目是多少?当n一定时， 不同的量子态数目是多 少? 解：(1) 当 l mln,一定时，只有自旋磁量子数，ms= 1/2，用于确定自旋角动量的空间取 2 2 2 ( )sin1,2,3, n n xxn aa = (21)0,1,2,1 2 n xNNn a =+= 12 向，产生能级精细结构。所以不同的量子态数目只能是2。 (2) 当ln,一定时，角(轨道)量子数l= 0,1,2(n-1) ，用于确定电子的轨道角动量；对能量 有一定影响；(1)(1974)Ll l=+磁量子数，ml= 0,1, 2,l,用于确定轨道 角动量的空间取向，引起磁场中的能级分裂； zl Lm=。每个l有12 +l个 l m，每个 l m可 容纳 2 1 = s m的2个量子态所