概率论与数理统计茆诗松第二课后习题参考答案.pdf

1 第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 习题习题 4.1 1 如果XX P n ，且YX P n 试证：PX = Y = 1 证：因 | X Y | = | (Xn X ) + (Xn Y )| | Xn X | + | Xn Y |，对任意的 0，有 + 2 | 2 |0 YXPXXPYXP nn ， 又因XX P n ，且YX P n ，有0 2 |lim= + XXP n n ，0 2 |lim= + YXP n n ， 则 P| X Y | = 0，取 k 1 =，有0 1 |= k YXP，即1 1 |= 0，有 + + 2 | 2 | )()(|0 YYPXXPYXYXP nnnn ， 又因XX P n ，YY P n ，有0 2 |lim= + XXP n n ，0 2 |lim= + YYP n n ， 故0| )()(|lim=+ + YXYXP nn n ，即YXYX P nn +； （2）因 | XnYn XY | = | (Xn X )Yn + X (Yn Y ) | | Xn X | | Yn | + | X | | Yn Y |，对任意的 0，有 + 2 | 2 |0 YYXPYXXPXYYXP nnnnn ， 对任意的 h 0，存在 M1 0，使得 4 | 1 h MXP 0，使得 8 | 2 h MYP 0，当 n N1时， 8 1| h YYP n 0，当 n N2时， 4) 1(2 | 2 h M XXP n maxN1, N2 时，有 2 244 1| ) 1(2 | 2 | 2 2 hhh MYP M XXPYXXP nnnn =+ 0，当 n N3时， 42 | 1 h M YYP n 0，当 n maxN1, N2, N3 时，有 h hh YYXPYXXPXYYXP nnnnn =+ 0，存在 M 0，使得 4 | h MXP 0，当 n N1时， 4 1| h XXP n 0，存在 0，当 | x y | 0，当 n N2时， 4 | h XXP n 0，当 n maxN1, N2 时，有 |1| )()(|0MXMXXXPXgXgP nnn +UU h hhh MXPMXPXXP nn =+ 0，有0 | |lim= + c aXP n n ， 故0|lim= + cacXP n n ，即cacX P n 5 试证：XX P n 的充要条件为：n + 时，有0 |1 | + XX XX E n n 3 证：以连续随机变量为例进行证明，设 Xn X 的密度函数为 p( y)， 必要性：设XX P n ，对任意的 0，都有0|lim= + XXP n n ， 对0 1 2 + ，存在 N 0，当 n N 时， + 0，取正整数 2 k， 则存在分点 x1 0，当 n N 时，1, 2, 1, 2 | )()(|= 222 )()()()( 1 xFxFxFxF jn ，且 =+ 0 和任意实数 x，总存在 N 0，当 n N 时，都有 | Fn (x) F (x) | 0，存在 h 0，当 | y y0 | N1时， 4 | )()(| N1且 | y y0 | MFX， 4 )( = + MFMF XX n n ， 4 )()(lim N2时， 4 1)( MF n X ， 4 )( MFMFMXP nn XXn ， 因数列 an a，bn b，存在 N3，当 n N3时， M h aan 4 | maxN2, N3时， += + 2 | )()( | 2 | )()( | h bbXaaP h baXbXaP nnnnnnn 2 | 24 | 42 | + +MXP hh X M h P h bbXaaP nnnnn ， 则 + += + 2 | )()( | 2 )( 000 h baXbXa h ybaXPybXaPyF nnnnnnnnbXa nnn U 222 | )()( | 2 00 + + + + h yF h baXbXaP h ybaXP baXnnnnn n ， 5 且 + += + 2 | )()( | 22 000 h baXbXaybXaP h ybaXP h yF nnnnnnnnbaXn U 2 )( 2 | )()( | 00 + + yF h baXbXaPybXaP nnn bXannnnnnn ， 即 22 )( 22 000 + + N1且 | y y0 | maxN1, N2, N3时， + maxN1, N2, N3时， + )( 2 )( 22 )( 0200 yFyF h yFyF baXbaXbaXbXa nnnnn ， 即对于 FaX + b( y) 的任一连续点 y0，当 n maxN1, N2, N3时， 0，存在 h 0，当 | y y0 | N1时， 4 | )()(| N1且 | y y0 | + h aYP n n ，存在 N2，当 n N2时， 22 | h aYP n ， 则 += + 2 | 2 )( 000 h aY h yaXPyYXPyF nnnnYX nn U 6 222 | 2 00 + + + + h yF h aYP h yaXP aXnn n ， 且 + += + 2 | 22 000 h aYyYXP h yaXP h yF nnnnaXn U 2 )( 2 | 00 + + yF h aYPyYXP nn YXnnn ， 即 22 )( 22 000 + + N1且 | y y0 | maxN1, N2时， + maxN1, N2时， + )( 2 )( 22 )( 0200 yFyF h yFyF aXaXaXYX nnnn ， 即对于 FX + a ( y) 的任一连续点 y0，当 n maxN1, N2时， 0，存在 M，使得 FX (x) 在 x = M 处连续，且 4 1)( h MFX， 4 )( h MFX= + ， 4 )()(lim h MFMF XX n n N1时， 4 1)( h MF n X ， 4 )( h MF n X ， 因0 P n Y ，对任意的 0，有0|lim= + M YP n n ，存在 N2，当 n N2时， 2 | h M YP n ， 则当 n maxN1, N2时，有 7 h M YPMXP M YMXPYXP nnnnnn + |U， 故0|lim= + nn n YXP，即0 P nnY X 11如果XX L n ，aY P n ，且 Yn 0，常数 a 0，试证： a X Y X L n n 证：设 y0是 FX / a ( y) 的任一连续点， 则对任意的 0，存在 h 0，当 | y y0 | N1时， 4 | )()(| N1且 | y y0 | MFX， 12 )( = + MFMF XX n n ， 12 )()(lim N2时， 12 1)( MF n X ， 12 )( MFMFMXP nn XXn ， 因0aY P n ，有0 2 |lim= + h aYP n n ， 存在 N3 0，当 n N3时， 62 | | a aYP n ，有 62 | | M ha aYP n ， 可得当 n maxN1, N2, N3时， = = 2| | 2 )( 2 h Ya aYX P h aY YaX P h a X Y X P n nn n nnn n n 2 | | 4 | 2 a Y M ha aYMXP nnn UU 22 | | 4 | 2 + a YP M ha aYPMXP nnn ， 8 则 + = 22 )( 000/ h a X Y Xh y a X Py Y X PyF n n nn n n YX nn U 2222 0/0 + + + h yF h a X Y X P h y a X P aX n n nn n ， 且 = 222 000/ h a X Y X y Y X P h y a X P h yF n n n n nn aXn U 2 )( 2 0/0 + yF h a X Y X Py Y X P nn YX n n n n n ， 即 22 )( 22 0/0/0/ + + N1且 | y y0 | maxN1, N2, N3时， + maxN1, N2, N3时， )( 2 )( 22 )( 0/2/0/0/ yFyF h yFyF aXaXaXYX nnnn ， 即对于 FX / a ( y) 的任一连续点 y0，当 n maxN1, N2, N3时， 0，)arctan( 2 )arctan( 1 )1( | 22 nnxdx xn n XP n = + = 0，令 Yn = maxX1, X2, , Xn，试证： P n Y 证：对任意的 0，P| Yn | = 1 PmaxX1, X2, , Xn = 1 PX1 PX2 PXn n = 1， 则11lim|lim= = 0，P| Yn a | 0， 22 1)Var( | )(| n Z ZEZP n nn =， 10 则0 1 lim| )(|lim0 2 = + n ZEZP n nn n ，即0| )(|lim= + nn n ZEZP，1)(= n P n ZEZ， 因 n Z n Ye=，且函数 e x是直线上的连续函数，根据本节第 3 题的结论，可得 1 ee = P Z n n Y， 故cY P n ，其中 1 e=c为常数 16设分布函数列Fn(x)弱收敛于分布函数 F (x)，且 Fn(x) 和 F(x) 都是连续、严格单调函数，又设 服从 (0, 1) 上的均匀分布，试证：)()( 11 FF P n 证：因 F (x) 为连续的分布函数，有 F () = 0，F (+) = 1， 则对任意的 h 0，存在 M 0，使得 2 1)( h MF， 2 )( h MF 0， 存在 0， 当 y, y* F ( M 1), F (M + 1) 且 | y y* | 0 和任意实数 x，总存在 N 0，当 n N