《实变函数与泛函分析基础》第二版程其襄第十章答案.pdf

1. 设X赋范线性空间, 12 , k x xxL是X中k个线性无关向量, 12 , k L是一组数, 证明:在X上存在满足下列条件:(1)( ),1,2, ii f xik=L;(2)fM的线性连续泛函 f的充要条件为:对任何数 12 , , k t ttL, 11 kk iiii ii tMt x = . 证证 必要性 若线性连续泛函f满足(1)和(2),则 () 1111 kkkk iiiiiiii iiii tf t xft xMt x = = . 充分性 若对任意数 12 , , k t ttL,有 11 kk iiii ii tMt x = ,则令 012 , k Xspan x xx=L,对任意的, 0 1 k ii i t xX = ,定义 0 X上的线性泛函 kk 00ii i=1i=1 :tt ii ffx = .因 kkk 0iii i=1i=1i=1 ttt iii fxMx = ,故 0 f是有界线性泛函. 由泛函延拓定理,存在X上的线性连续泛函f,使 0 0X ff=,且满足 (1)( )( ) 0 ,1,2, iii f xfxik=L;(2) 0 0 XX ffM=.证毕. 2. 设X是赋范线性空间,Z是X的子空间, 0 xX,又() 0, 0d x Z .证明存在f X 满足条件: 0 1当xZ时,( )0f x =; ()() 0 00 2,f xd x Z=; 0 31f =. 证证 令 0 ,MxxxZ=+.在M上定义泛函()() 0000 :,ffxxd x Z+=,则 (1)当xZ时,( )()() 0000 00,0fxfxxd x Z=+=; (2)()()()() 0000 101,f xfxd x Zd x Z=+= =; (3)对任意的 0 xxM+,则 ()() 00000 1 ,fxxd x Zxxxx +=+=+, 故1 M f; 又对()() 000000 ,xZfxfxxfxx =,由x的任意性,可得 ()() 0000, fxfd x Z,而()() 00, f xd x Z=,所以 0 1 M f.综上讨论知 0 1 M f=. 由泛函延拓定理,存在X上的线性连续泛函f,使 0M ff=且 0 XM ff=,故结论成 立. 3. 证明:无限维赋范线性空间的共轭空间也是无限维的. 证证 设 1 n n x = 是X中的一列线性无关向量.记 12 ,1,2, nn Mspan x xxn=LL.因 1 n n x = 是线性无关的,故 1nn xM + ,由上述习题 2 知, n f X ,使()() 1 1, nnnnn ffxd x M =, n f在 1n M 上为零,1,2,n =L.只需证明 1 n n f = 是 X 中的线性无关的向量.事实上: 若,1,2, i K in=L,使得 1 0 n ii i K f = = ,则有( ) 1 1 0 n ii i K fx = = ,因为( ) 1 0,2,3, i f xin=L, 所以( ) 1 11 0K fx=,又( ) 111 00fxK=.类似可证( )00,2,3, iiii K fxKin=L. 这样我们证明了 X 中有无限多个线性无关的向量 1 n n f = ,因此 X 是无限维的. 4. 证明 Banach 空间X自反的充要条件是 X 自反. 证 若X是 Banach 空间,则存在一个从X到 X 的自然的等距同构映射: X JX X , 若() X JX X =,则称X是自反的,其中 X J是这样定义的,若( )( )( ),fX J xff x=.为 方便起见,记X到 X 的自然的等距同构映射为 0 J, X 到 X 的自然的等距同构映射为 1 J. 我们要证明()() 01 JXXJXX=. 若() 0 JX X =.对任意F X ,定义:f X 若( )( )() 0 ,xX f xF Jx=.对xX , ( )()( )()( )( )( )( )() 1000 JfJxJxff xF Jx=,因() 0 JX X =,因此( ) 1 JfF=,这就 证明了() 1 JXX=. 反之,若() 1 JXX=,而() 0 JX X .则存在F X ,使F在() 0 JX上恒为零,而 1F =.但() 1 JXX=,必有f X ,使( ) 1 JfF=.对xX , ( )( )( )( )()( )()( )() 0100 0f xJxfJfJxF Jx=, 所以,0f =,此与 1 1J fF=矛盾.因此必有() 0 JX X =.证毕. 5. 设 12 , n LL是一列数,证明存在, a b上有界变差函数( )g t,使( ), b n n a t dg t= 0,1,2,n =L成立的充要条件是对一切多项式( ) 0 n i i i p tct = =成立 ( ) 0 max n ii a t b i cMp t = , 其中M为常数. 证证 充分性 在,C a b的线性子空间,Pp pa b=是上定义的多项式上定义线 性泛函 00 : nn i iii ii ffctc = = .由条件( ) 0 max n ii a t b i cMp t = 可知f在P上是有界的.因 为P在,C a b上稠密,所以,可将f连续地延拓到,C a b(不妨仍记为f),这样f是,C a b 上的连续线性泛函,且 ( ) ,1,2, n n f tn=L. 必要性 若存在有界变差函数( )g t,使( ), b n n a t dg t= 0,1,2,n =L.定义,C a b上的 有界线性泛函( )( )( ): b a ff xx t dg t=,则对每一多项式( ) 0 n i i i p tct = =,有 ( )( ) 0 max n ii a t b i cfppffp t = = , 令Mf=,则得到结论.证毕. 6. 设T为()1 p lp 中单向移位算子,即若() 12 , p n xl =LL,则 () 12 0, n Txy =LL, 求 X T. 解解 若() 12 , p n xl =LL,() 12 , q n fl =LL,则 ( )( )() 2 1321 X nn Tfxf Tx + =+LL, 所以( )() 23 , X n Tf =LL. 7. 举例说明一致有界性定理中空间X完备的条件不能去掉. 解解 设X为 2 l的 线 性 子 空 间 ,xX除 有 限 多 个 i 外 其 余 i 皆 为 零.()() 12 , n x =LL.若() 12 ,0,0, n xX =LLL,定义X到X的线性映射 m T: ()0,0,0,1,2, mm T xmm=LLL,则 ,1,2,sup mm m Tm mT= +L, 对任一() 12 ,0, n xX =LL,当mn时,有0 m T x =,因此 1 supmax, mn m T xT xT x , 当, n mN时,有(), nm d x x 时, () 1 , 2 mm d xx ,当 2 ,m mN 时,() 2 1 , 2 mm d xx ,当, k m mN 时,() 1 , 2 mm k d xx L 若 若 则显然 n f为, a b上的有界可测函数, 若, p gLa b,定义, p La b上的泛函( )( )( ): b nnn a FFgg t ft dt=,则 n F是, p La b上的 有界线性泛函,且( ) () 1 b q q nn a Fftdt= . 又因为( ) ( )( ) ( ) 1 , n ft g tf t g tL a b,由勒贝格控制收敛定理知, ( )( ) ( )lim b n an Fgf t g t dt =. 由一致有界性定理,存在0M ,使得sup n n FM,使对一切xX,成立 ( )p xM x. 证证 先证对任意的( ) 0,Mx p xM是X中的闭集.事实上,若 n x( ) , x p xM lim n n xx =,则( )()lim n n p xp x ,所以( ) xx p xM,即( ) x p xM是闭集. 记( ) , 1,2, k Xx p xkk=L,则 1 k k XX = =U,由Baire纲定理,存在某 k X,使 k X在某一 小球() 0 ,Oxd x x=sup n n T M =L.设 n x是X中的 可 数 稠 密 子 集 . 考 察 有 界 数 列( ) 1 1 n n fx = . 由 Weierstrass 定 理 , 存 在 收 敛 子 列 ( )( ) 1,11nn fxfx.同理() 1,2n fx也有收敛子列() 2,2n fx.一般地,若已有子列() ,k nk fx 收敛,考察() ,1k nk fx + ,由数列的有界性知,存在收敛子列() 1,1 1, knk n fx + = L. 我们用对角线法则,取泛函列 , 1 1 , k knk k n k fff = = 在稠密子集 n x上点点收敛.事 实上,由定义,对任意i,( ) , 1 i ni n fx = 是收敛的,而 ,k k k i f = 是 , 1 i n n f = 的子列,因此 ( ) , 1 k ki k fx = 也是收敛的,即 ,k k f在 n x上点点收敛.由第十章第 5 节的定理 1 知, ,k k f 弱*收敛.证毕. 14. 证明:空间,C a b中点列 n x弱收敛于 0 x的充要条件是存在常数M,使得 ,1,2, n xM n=L,并且对任何的,ta b,成立( )( ) 0 lim n n xtxt =. 证证 充分性 若0M,使,1,2, n xM n=L,且对,ta b ,成立( )( ) 0 lim n n x tx t =, 则设f是,C a b上任一有界线性泛函,由第十章第2节的Riesz表示定理,存在有界变差函数 g,使( )( )( ) b a f xx t dg t=.因为,1,2, n xM n=L,由勒贝格控制定理, lim n ( )( )( )( ) bb n aa xt dg tx t dg t= , 即()() 0 lim n n f xf x =,因此 n x弱收敛于 0 x. 必要性 设 n x弱收敛于 0 x.因为弱收敛点列必为有界点列,因此, 0M,使 ,1,2, n xM n=L.对,tab ,定义,C a b上泛函( )( ): tt ff xx t=.因( )( )max a x b x tx tx =, 所以 t f是,C a b上有界线性泛函. n x弱收敛于 0 x,即 ()()()( )()()( )() 000tntntnt fxfxnxtfxfxxtn = , 即( )( )() 0n xtxtn .证毕. 15. 设X是赋范线性空间,M为X的闭子空间,若M中有点列 n x弱收敛于 0 x,那么 必有 0 xM. 证证 若 0 xM,则() 0, 0d x M ,由本节的第 2 题知,存在f X ,满足条件: (1)f在M上恒为零; (2)()() 00, f xd x M=; (3)1f =. 由于 n xM,所以()()() 0 0lim0 nn n f xf xf x =,此与()() 00, 0f xd x M= 矛盾.证毕. 16. 证明:()1 p lp 中点列 ( )( ) 12 ,1,2, nn n xn=LL,弱收敛于 12 ,x =L p l 的充要条件为sup n n x,确定 0 k,使 () 0 1 2 q q k k k Mx =+ 时,有 ( ) 0 1 2 k n kkk k = ,则() 0 nnn x yxM .即对,xX 点列() 0 nnn x yxM ,使得 ()lim nn n x yxx =.即 0 n M在X中稠密.证毕. 19. 用闭图像定理证明逆算子定理. 证证 设T为 Banach 空间X到 Banach 空间Y上的一对一的有界性线性算子. 1 T 的 图 像()() 11 ,G Ty TyyY =, 若( )()() 1 00 , nn y Tyyxn , 则 () 1 00 , nn yy Tyxn .设 1 nn xTy =,则() 00 , nn xx Txyn .因为T连 续,所以 00 lim n n TxTxy =,即 1 00 xTy =.这样,() () 1 00 ,y xG T.于是,我们证明了() 1 G T 在YX中是闭集,故 1 T 是闭算子.再由闭图像定理, 1 T 是有界的,证毕. 20. 设T为定义在复 Hilbert 空间X上的有界线性算子,若存在常数 0 0 ,使 0 ,Tx xx x,则称T为正定的正定的.证明:正定算子必有有界逆算子 1 T ,并且 1 0 1 T . 证证 对,xXTx x为实数,由第九章第 5 节定理 1 得 * TT=. 又由于 0 ,Tx xx x,因此若0Tx =,则,0x x =,从而0x =.这样T是一一映射. 由第九章习题 11 知,R ( )T的闭包=N ( ) * T = N ( )TX =,所以T的值域是稠密的. 对 0 , nn yXyTx=R ( )()1,2,Tn =L,使 0 lim n n Txy