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空间向量解决空间位置关系 a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量。 o j k i x y z 空间直角坐标系o-xyz A 称(x,y,z)为向量OA在单位正 交基底下的坐标 记作：OA=(x,y,z) 即：A(x,y,z) 一、复习引入 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p,存在有序 实数组x,y,z,使得 p=xa+ yb+ zc. 空间直角坐标系: 一、向量的直角坐标运算 1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式 二、距离与夹角 （2）空间两点间的距离公式 已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 2.两个向量夹角公式 三、空间向量解决立体几何问题三步曲 1）建立空间直角坐标系，用向量表示问题中 的点、直线、面。 2）通过向量运算，研究点、线、面的位置关 系及它们之间的距离和夹角等问题 3）把向量运算结果“翻译”成相应的几何意义 。 【知识方法总结】 （1）线线平行，线面平行 （2）线线垂直，线面垂直，面面垂直； 1、用向量可证明： 2、用向量可计算： 异面直线所成角 线面所成角 二面角 点到面的距离 例1、如图，两个边长为1的正方形ABCD 与正方形ABEF有公共边AB，EBC900 ，M，N分别是BD，AE上的点，且ANDM 。求证：MN面EBC。 A D C E F x y z B M N 注：1、用向量法证明线面平行的方法： 2、用向量法证明面面平行的方法： 练习：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD， PD=DC,E是PC的中点，证明：PA平面EDB ； D E A B P C y x z F 【例2】 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中， E、F分别为BD、DD1的中点，G在CD上且CG=CD/4 （1）求证： EF平面ACB1； （2）求EF与C1G所成角的余弦值. A A D D B B C C 1 1 1 1 E F G 【典例剖析】 y x z 注：1、线面垂 直证明方法： 2、面面垂直的 证明方法。 例3、(2009宁夏海南理 19) 如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱 的长都是底面边长的2倍 ，P为侧棱SD上的点。 （）求证：ACSD； （）若SD平面PAC，求 二面角P-AC-D； （）在（）的条件下， 侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE平面PAC。若存在 ，求SE：EC的值；若不存在 ，试说明理由。 S A BC D O P300 存在2：1 x z y 例4、如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底 面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1分别是棱AD、AA1 的中点. 设F是棱AB的中点, 1）证明：直线EE1/平面FCC1； 2）证明:平面D1AC平面BB1C1C.（09山东） x y z E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D M 练习：（福建09高考17题） 【例5】如图所示,在三棱锥S-ABC中,侧面SAB与 侧面SAC均为等边三角形,BAC=900,O为BC中点. (1)证明:SO平面ABC;(2)求二面角A-SC-B的余 弦值.(07宁夏) S C