《理论力学》第九章质点动力学.ppt

HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 质点动力学 第九章 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 静力学：研究物体在力系作用下的平衡问题 运动学：从几何角度研究物体的运动 已知作用于质点的力求质点的运动 动力学：研究作用在物体上的力与物体运动之间的 关系，从而建立物体机械运动的普遍规律 求解两 类问题 已知质点的运动求质点所受的力， 但如果力系不平衡呢？物体将怎样运 动？为什么会这样运动？ 在牛顿定律的基础上 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 9-1 动力学基本定律 单位制 一、动力学基本定律（牛顿运动定律） 第一定律： 任何物体(质点、质点系、刚体)如不受外力作用，将 保持静止或匀速直线运动状态。 惯性定律 质点受到外力作用时，所产生的加速度大小与 力的大小成正比，而与质量成反比，加速度的 方向与力的方向相同。 第二定律： 力与加速度的关系定律 第三定律： 力的作用与反作用定律 两物体间相互作用的力同时存在，等量、反向 、共线，分别作用在两个物体上。 第二定律（用于单个质点和惯性坐标系 ） HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 质点受到外力作用时，所产生的加速度大小与力的 大小成正比，而与质量成反比，加速度的方向与力 的方向相同。 第二定律（只适用于单个质点） ： 是力与加速度的关系定律 质量是物体惯性的度量 F是作用在质点上所有力的合力 质量与重量不同，质量不变，重量可变 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 牛顿定律适用范围 ： 惯性参考系 物体相对惯性参考系的运动 称为绝对运动 适用于牛顿定律的参考系称为惯性参考系（ 固定坐标系或静系）。绝大多数工程问题取 地球的坐标系为惯性参考系。 凡是相对惯性参考系作匀速直线平动的参考 系也是惯性参考系 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 基本量：长度（m） 时间（s） 质量（kg） 量 纲：长度 L 时间 T 质量 M 二、单位制和量纲 9-1 动力学基本定律 单位制 单位制： 国际单位制（SI） HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 矢量表示法 : 直角坐标表示法 : 9-2 质点运动微分方程 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 自然表示法: 9-2 质点运动微分方程 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 极坐标表示法: 9-2 质点运动微分方程 r O M x ar aa HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 质点动力学的两类问题 ： 1. 已知质点的运动，求作用于质点的力 2. 已知作用于质点的力，求质点的运动 已知质点的r(t)或v(t)，通过如下微分方程求解： 这类问题归结为求解运动微分方程。对于这类问 题，除了作用于质点的力外，还必须知道质点运动 的初始条件，才能确定质点的运动。 积分求解、变量分离 混合问题：求质点的运动规律与约束力 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 质点动力学第一类问题（已知运动求力的问 题）关键是求解质点的加速度。质点的加速 度可用下述方法之一求解 直角坐标表示方法 牵连运动为转动时点的合成运动 点作圆周运动或点在定轴转 动的刚体上 点在作平面运动的刚体上 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 1）力是常量或是时间的函数 +初始条件 2）力是位移x的函数（如弹簧力） +初始条件 3）力是速度v的函数（如跳伞） 2.第二类问题：已知作用于质点的力，求质点的运动规律 +初始条件 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 例1 质量m的小球系于长为l的绳上，绳与铅直成角， 小球在水平面上作匀速圆周运动。求小球的速度和 绳中的张力。 解 ： 1. 以小球为研究对象 2. 受力分析 3. 运动分析 4. 动力学方程 得： （采用自然法求解 ） 法向 切向 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 例2 混合为题 质量m的小球从半径为r的固定光滑球面顶部无初 速地落下，试计算图示时刻球面对小球的法向力 。 解 ： 1. 以小球为研究对象 2. 受力分析 3. 运动分析 4. 动力学方程 M M0 r FN为约束力， 即法向力 法向 切向 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 例2 解 ： 质量m的小球从半径为r的固定光滑球面顶部无初 速地落下，试计算图示时刻球面对小球的法向力 。 M M0 r （1 ） （2 ） 为了求法向力FN必须求出 由（2）式可得 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS M M0 r HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS M MO r +初始条件 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS M MO r O 例 质量m的小球在半径为r的光滑半球面中运动， 已知在最低位置时其速度为v0，试计算图示时刻球面 对小球的法向力。 解 ： 1. 以小球为研究对象 2. 受力分析 3. 运动分析 4. 动力学方程 +初始条件 第二式要积分所以加初始条件 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 解： 一边长为a的正方体重W，放置于比重为 的水中， 设该物体从其平衡位置下沉一微小距离x0，此时v0= 0，求此后该物体的运动。不计水的粘滞阻力。 W h x 平衡位置 W F h+x 任意位置 其中： 代入上式，有： 例3 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 解： W h x 平衡位置 W F h+x 任意位置 令： 得： 可见，物体作简谐振动，振 幅为x0，周期T为 例3 一边长为a的正方体重W，放置于比重为 的水中， 设该物体从其平衡位置下沉一微小距离x0，此时v0= 0，求此后该物体的运动。不计水的粘滞阻力。 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS O r0 M r 例4 解： 一质点M沿离心泵的光滑导叶向外运动，设 离心泵以匀角速转动，初瞬时质点静止于导叶内端 r = r0 处。试求质点沿导叶的运动方程。 采用极坐标表示法简便。 将代入(1)式，得： 得： HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS O r0 M r 例4 解： 将(3)代入(2)式， 得： 一质点M沿离心泵的光滑导叶向外运动，设 离心泵以匀角速转动，初瞬时质点静止于导叶内端 r = r0 处。试求质点沿导叶的运动方程。 采用极坐标表示法简便。 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS O r0 M r 例4 解：采用极坐标表示法简便。 得： 取0=0，则t 将(3)改写成： 一质点M沿离心泵的光滑导叶向外运动，设 离心泵以匀角速转动，初瞬时质点静止于导叶内端 r = r0 处。试求质点沿导叶的运动方程。 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 解：1. 以小球为研究对象 （确定合