《工程力学》教学课件第五章质点和刚体.ppt

第一节 点的运动 第二节 刚体的运动 第三节 点的合成运动 第四节 刚体的平面运动 第五章 质点和刚体的 运动学基础 v本章主要讲述质点和刚体运动学的基础知识。学习 时要明确点的运动在不同坐标系下有不同的表示方 式，重点掌握描述点的运动的矢量表示法。掌握运 动合成和分解的基本概念和方法，能应用速度和加 速度合成定理分析解决具体的运动学问题。了解刚 体运动的类型和描述方式，能够应用刚体的平面运 动方程解决具体的刚体运动问题。 教学目的和要求 v点的运动的矢量表示法以及在不同坐标系下的表示 形式； v刚体的定轴转动规律； v点的速度合成定理； v刚体平面运动速度分析方法。 教学重点 v点的运动方程、轨迹、速度和加速度的求解； v刚体定轴转动的描述规律； v速度合成定理的应用； v基点法、速度投影定理和瞬时速度中心法分析刚体 的平面运动。 教学难点 运动学所研究的内容：运动学所研究的内容： (1) (1) 建立物体的运动方程；建立物体的运动方程； (2) (2) 分析物体运动的速度、加速度、角速度、角加速度等；分析物体运动的速度、加速度、角速度、角加速度等； (3) (3) 研究物体运动的分解与合成规律。研究物体运动的分解与合成规律。 vv1.1.参考系、瞬时、时间间隔。参考系、瞬时、时间间隔。 vv2. 2. 运动方程运动方程 ：点的位置随时间的变化规律。：点的位置随时间的变化规律。 vv3.3.速度速度: :描述点在描述点在 t t 瞬时瞬时运动快慢和运动方向的力学量。运动快慢和运动方向的力学量。 vv4.4.加速度加速度 : :描述点在描述点在 t t 瞬时瞬时速度大小和方向变化率的力学量。速度大小和方向变化率的力学量。 第一节 点的运动 几个基本概念几个基本概念 一、一、 点的空间运动的矢量表示法点的空间运动的矢量表示法 运动方程运动方程变矢量法中，运动方程用点在任意瞬时变矢量法中，运动方程用点在任意瞬时t t 的位置矢量的位置矢量r r( (t t) )表示。表示。 r r( (t t) )简称为简称为位矢位矢。 x x z z y y r r r r r = = r r ( (t t) ) M M M 动点M运动过程中，矢径r 末端在空间描绘出一条连续 曲线，即为点M的运动轨迹 ，亦称矢端曲线（或称矢径 端图）。 1. 1. 点的速度矢量点的速度矢量v v x x z z y y r r( (t t) ) M M v t t 瞬时瞬时: : 矢径矢径 r r( (t t) ) 点在点在 t t 瞬时的速度瞬时的速度 t t t t 瞬时瞬时: : 矢径矢径 r r ( (t t t t ) ) 或或r r( (t t) ) r r( (t t) ) r r r r ( (t t t t) ) r r( (t t) ) t t 时间间隔内矢径的改变量时间间隔内矢径的改变量 t t 时间时间内的平均速度内的平均速度 2. 2. 点的速度矢量点的速度矢量a a 速度矢端曲线将各不同瞬时的速度平行移动到同一出 发点O1 (任选)，以光滑曲线连接各速度端点。此曲线称为 速度矢端曲线，简称速度端图。 v v v v ( (t t t t ) ) v v( (t t) ) 点在点在 t t 瞬时的加速度：瞬时的加速度： t t 时间间隔内速度的改变量时间间隔内速度的改变量 t t t t 瞬时瞬时: :速度速度 v v( (t t t t ) ) 或或v v( (t t) ) v v( (t t) ) t t 时间时间内的平均加速度内的平均加速度 或 二、二、 动点速度和加速度的直角坐标表示法动点速度和加速度的直角坐标表示法 不受约束的点在空间有不受约束的点在空间有 3 3个自由度，在直角坐标个自由度，在直角坐标 系中，点在空间的位置由系中，点在空间的位置由 3 3个方程确定：个方程确定： x x = f1(t)=x(t) y y = f2(t)=y(t) z z = f3(t)=z(t) 1.点的运动方程和轨迹方程 1)运动方程式 2)点的轨迹方程 消去参数t 平面运动时 消去参数t 2.点的速度 点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时相应坐标对时 间的一阶导数间的一阶导数。 3.点的加速度 点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对相应坐标对 时间的二阶导数时间的二阶导数。 例5-1 正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动 ，它与水平线间的夹角为 其中 为t = 0时的夹角， 为一常数。已知动杆上A、B两点间距离为b。 求点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。 解 A、B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。 运动方程为 B点的速度和加速度 周期运动 1. 1.弧坐标形式的运动方程弧坐标形式的运动方程 如果点沿着已知的轨迹运动，如果点沿着已知的轨迹运动， 则点的运动方程可用点在已则点的运动方程可用点在已 知轨迹上所走过的弧长随时间知轨迹上所走过的弧长随时间 变化的规律描述。变化的规律描述。 三、动点速度和加速度的三、动点速度和加速度的自然坐标表示法自然坐标表示法 轨迹的运动方程 2. 2. 自然轴系自然轴系 3. 3. 点的速度点的速度 （1）速度的大小 （2）速度的方向 与 同向，点沿轨迹正向运动。 与 反向，点沿轨迹负向运动。 由 得速度的大小为 4. 4. 点的加速度点的加速度 点作加速运动， 与同向 点作减速运动， 与反向 例5-2 半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称 为纯滚动），设轮子转角 为常值），如图所 示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的 运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速 度。 解 M点作曲线运动，取直角坐标系如图所示。 又点M的切向加速度为 则有 例5-3 列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速 运动。如初速度为0，经过2min，速度到达54km/h 。求列车起点和末点的加速度。 解 列车作曲线匀加速运动，取弧坐标如上图。 有 第二节 刚体的运动 一、刚体的平动一、刚体的平动 平动平动刚体在运动过程中，其上任一条直线始终与其刚体在运动过程中，其上任一条直线始终与其 初始位置保持平行。这种运动称为平动初始位置保持平行。这种运动称为平动。 二、刚体定轴转动二、刚体定轴转动 刚体定轴转动刚体定轴转动刚体在运动过程中，其上有且只有一 条直线始终固定不动时，称刚体绕定轴转动。该固定直 线称为轴线或转轴。 1. 1.转动方程转动方程 称为刚体的角坐标，决定了平面 图形的面积。 2.2.转动刚体的角位移、角速度和角加速度转动刚体的角位移、角速度和角加速度 1）角位移 2） 角速度 3）角加速度 3.3.转动刚体上各点的运动转动刚体上各点的运动 例5-4 直径为d的轮子作匀速转动，每分钟转数为n。求轮 缘上各点速度和加速度。 解 根据题意 将代入得 由于轮子作匀速转动，所以 坐标系： 定坐标系：建立在固定参考物上的坐标系， 称为定坐标系，简称定系。一般将定系固连 在地球上。 动坐标系：把固定于相对于地面运动物体上 的坐标系，称为动坐标系，简称动系。例如 在行驶的汽车建立的坐标系。 第三节 点的合成运动 一、相对运动、牵连运动和绝对运动 1.绝对运动、相对运动和牵连运动的概念 绝对运动：动点相对于定系的运动。 相对运动：动点相对于动系的运动。 牵连运动：动系相对于定系的运动。 点的运动 刚体的运动 绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度 与绝对加速度 相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度 与相对加速度 牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度 与牵连加速度 牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是 设想将该动点固定在动坐标系上，而随着动坐标系一 起运动时该点叫牵连点。 。 。 。 运动方程 绝对运动 运动方程 相对运动 2.运动方程及坐标变换 运动方程 牵连运动 坐标变换关系 例5-5 点M相对于动系 沿半径为r的圆周以速 度v作匀速圆周运动(圆心为O1 ） ，动系Ox y相对于 定系 以匀角速度绕点O作定轴转动，如图所 示。初始时 与 重合，点M与O重合。 求点M的绝对运动方程。 (2) 相对运动方程 代入 (1) 动点 M 动系 解 分析 (3) 绝对运动方程 M点的相对运动方程： 例5-6 用车刀切削工件的端面，车刀刀尖M沿 水平轴x作往复运动，如图所示。设Oxy为定坐标系 ，刀尖的运动方程为 。工件以等角 速度 逆时针方向转动。 求车刀在工件圆端面上切出的痕迹。 （3） 相对运动轨迹 （2） 相对运动方程 解 （1） 动点M, 动系工件 速度合成定理将建立动点的绝对速度、相对速度和牵连速度 之间的关系。 当t t+t ABAB MM 也可看成M M M MM 为绝对轨迹 MM 为绝对位移 M1M 为相对轨迹 M1M 为相对位移 将上式两边同除以 后， 时的极限，得取 二、点的速度合成定理 说明：va动点的绝对速度； vr动点的相对速度； ve动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度 I) 动系作平动时，动系上各点速度都相等。 II) 动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。 即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的 矢量和，这就是点的速度合成定理。 点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小、方向等六 个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。 解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动系 ，基座为静系。 绝对速度：va = r 方向垂直 OA 相对速度：vr = ? 方向平行O1B 牵连速度：ve = ? 方向垂直O1B 例5-7 刨床的急回机构如图所示。 已知OA= r , OO1=l且 亦为已知量，图示瞬 时OAOO1 求摆杆O1B角速度1。 由速度合成定理 va= vr+ ve 作出速度平行四边形 如图所示 。 例5-8 如图所示，半径为R、偏心距为e的凸轮，以匀角速 度绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始 终与凸轮接触，且OAB成一直线。求在图示位置时，杆AB 的速度。 解 选取杆AB的端点A作为研究的动 点，动系随凸轮一起绕O轴转动。 作速度平行四边形，由三角关系得： 例5-9 矿砂从传送带A落入到另一传送带B上，如图所 示。站在地面上观察矿砂下落的速度为 ，方向 与铅直线成30o。已知传送带B水平传动速度度 求矿砂相对于传送带B的速度。 。 解 （1）动点矿砂M ， 动系传送带B。 牵连运动：平移 （2）绝对运动：直线运动 相对运动：未知 （3) 在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终 保持不变。也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的 某一平面内运动。具有这种特点的运动称为刚体平面运动。 第四节 刚体的平面运动 一、刚体平面运动方程式一、刚体平面运动方程式 1.1.刚体平面运动概念刚体平面运动概念 刚体的平面运动可以 简化为平面图形S在其自 身平面内的运动。在研究 平面运动时，不需考虑刚 体的形状和尺寸，只需研 究平面图形的运动，确定 平面图形上各点的速度和 加速度。 2刚体的平面运动简化成平面图形的运动 3刚体平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只 需确定平面图形内任意一条线段的位置。 任意线段AB的位置可用A点的坐 标和AB与x轴夹角表示因此图形S 的 位置决定于 三个独立的 参变量。所以 平面运动方程 对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 ， 图形S 在该瞬时的位置也就确定了。 当图形上点不动时，则刚体作定轴转动。 当图形上 角不变时，则刚体作平动。 故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。 二、平面运动分解为平动和转动 1基点法是研究刚体平面运动的基本方法 例 平面图形在时间内从位置I运动到位置II。 以A为基点: 随基点A平动到AB后, 绕基点转 角到AB。 以B为基点: 随基点B平动到AB后, 绕基点转 角到AB 。 由图可知 AB AB AB ， 。 v（1）平动部分与基点选择有关。 v（2）转动部分与基点选择无关。 v（3）图形的角速度与基点选择无关。 2.基点法的特点 三、平面运动刚体上各点的速度分析 根据速度合成定理则M点速度为： 1基点法 取M为动点, 则M点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动 为圆周运动的合成。 指向与 转向一致 取A为基点, 将动系固结于A点, 动系作平动。 设已知图形S内一点A的速度 及角速度，求 。 由于A, B点是任意的，因此 表示了图形上任 意两点速度间的关系由于恒有 ，因此将上式在AB 上投影，有 速度投影定理 即 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相 等这种求解速度的方法称为 速度投影法。 即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基 点转动的速度的矢量和。这种求解速度的方法称为基点法，也 称为合成法。它是求解平面图形内一点速度的基本方法。 2、速度投影法 1）速度瞬心的定义 平面图形S，某瞬时其上一点A速度 , 图形角速度，沿 方向取射线AL, 然后 顺 的转向转90o至AL的位置,在AL上取长 度 则： 3、速度瞬心法 即在某一瞬时必唯一存在一点 速度等于零，该点称为平面图形在 该瞬时的瞬时速度中心，简称速度 瞬心。 2）、确定平面运动刚体速度瞬心位置的常用方法 （1）纯滚动时，与固定面之接触点即为瞬时之瞬心。 (3)已知某瞬时图形上A ,B两点速度 大小, 且 （2)已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 的方位，且 过A , B两点分别作 速度的垂线,交点C即为该瞬间的速度瞬心。 (4)已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线 垂直。此时, 图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度 =0, 图 形上各点速度相等, 这种情况称为瞬时平动。 (此时各点的加速 度不相等) 例5-10 有曲柄连杆机构。已知OA=r，AB=l。(1)求图示位 置连杆AB之瞬心；(2)求OA在铅垂位置时连杆AB之运动特 点。 解（1）OA绕O做定轴转动 沿OB方向，过A、B两点分别作 的垂线，其交点C即为瞬时速度中心。 （2）当OA位于铅垂位置时的情 形