角形、直角、等腰、中垂线.ppt

三角形与全等三角形 （1）边与边 三角形的边角关系 （2）角与角 （1）按边的大小分 三角形的分类 （2）按角的大小分 （1）三角形的角平分线 三角形中的特殊线段 （2）三角形的中线 （3）三角形的高线 （4）三角形的中位线 若（1）三角形的三边长 分别为2，4，x，则x的 值的情况怎样？ 若（2）直角三角形的三 边长分别为2，4，x，则 x的值的情况怎样？ 三角形全等的证题思路： SSS HL SAS 找另一边 找直角 找夹角 已知两边 AAS ASA SAS AAS 找边的对角 找夹角的另一角 找夹角的另一边 边为角的邻边 找任一角边为角的对边 已知一边一角 例1：如图，D在AB上，E在AC上，且 B =C，那么补充下列一具条件后 ，仍无法判定ABEACD的是( ) AAD=AE B AEB=ADC CBE=CD DAB=AC B 例2：已知：如图，CDAB， BEAC，垂足分别为D、E，BE 、CD相交于O点，1=2，图中 全等的三角形共有( ) A1对 B2对 C3对 D4对 D 例3：如图，在ABC 中，AD BC，CE AB，垂足分别为D、 E，AD、CE交于点H，请你添加 一个适当的条件： ，使AEHCEB。BE=EH 例4：在ABC和ADC中，下列三个论断： AB =AD；BAC=DAC；BC=DC。将 两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成 一个命题，写出一个真命题： ABC和ADC中，若AB =AD， BC=DC， 则BAC=DAC。 C A B D 例5：如图，点A、F、E、C在同一直线上，AF CE，BE = DF，BEDF，求证：ABCD。 例6：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。 已知：如图，AD是ABC 的中线，求证： A BC D E 证明： 延长AD到E，使DEAD，连结BE AD是ABC 的中线 BDCD 又 DEAD ADC EDB AC = EB 在ABE中，AE AB+BEAB+AC 即 2AD AB+AC 在直角ABC中，AB=AC,A=900，点 D为BC边上任一点，DFAB与点F， DEAC与点E，M为BC的中点试判断 MEF是什么三角形？并说明理由？ A B CD E F M 第四章第三课时： 等腰三角形及 直角三角形 要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练 要点、考点聚焦 1.等腰三角形的性质定理及推论 1)定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 2)推论1：等腰三角形的顶角平分线平分底边并且 垂直于底边(即等腰三角形三线合一). 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每个角 都等于60. 2.等腰三角形的判定定理及推论 (1)定理：等角对等边). (2)推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30， 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 3.勾股定理：c2=a2+b2(c为斜边). 4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c， 有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 课前热身 B C 1.如果一个三角形的一个内角等于其他两个内角的差， 那么这个三角形是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 2.一个直角三角形两边的长分别为15、20，则第三边的 长是( ) A.57 B.25 C.57或25 D.无法确定 3.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这 个等腰三角形的顶角为( ) A.30 B.60 C.150 D.120 D 4.在下列四个命题中，正确的命题的个数是( ) 等腰三角形两腰上的中线相等 等腰三角形两腰上的高相等 等腰三角形两底角的平分线相等 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 A.1 B.2 C.3 D.4 D 5.在ABC中，如果只给出条件A=60，那么还不能 判定ABC是等边三角形，给出下列四种说法： 如果再加上条件：AB=AC，那么ABC是等边三角 形 如果再加上条件：tanB=tanC，那么ABC是等边三 角形 如果再加上条件：D是BC的中点，且ADBC，则 ABC是等边三角形 如果再加上条件：AB、AC边上的高相等，那么 ABC是等边三角形 其中正确的说法有 (把你认为正确的序号全 部填上). 典型例题解析 (1)OA=OB=OC. 【例1】 (2003广东省)如图4-3-1所示，在RtABC中， AB=AC，BAC=90，O为BC中点. (1)写出O点到ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系 .(不要求证明) (2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保 持AN=BM，请判断OMN的形状，并证明你的结论. (2)OMN是等腰直角三角形. 【例2】如图4-3-2所示，在四边形ABCD中，AB=AD=8 ，A=60，D=150已知四边形的周长为32，求四边 形ABCD的面积. S四边形ABCD=16 +24. 【例3】已知：如图4-3-3所示，等腰ABC的底边长8cm，腰长 5cm，一动点P在底边上从B向C以0.25cm/秒的速度运动，当点P 运动到PA与腰垂直的位置时，求点P运动的时间? P运动的时间为7秒或25秒. 【例4】 (2003苏州市)如图4-3-4所示，已知ABC中 ，AB=AC，BAC=90，直角EPF的顶点P是BC中点 ，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个 结论：AE=CFEPF是等腰直角三角形S四边形 AEPF=1/2SABCEF=AP 当EPF在ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合 )，上述结论中始终正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 方法小节 1.对等腰三角形的性质和判定未能很好理解，造成性 质和判定混淆.事实上，“性质”指的是边相等得出角 相等，即“等边对等角”；而“判定”指的是根据一些条 件来判断三角形是不是等腰三角形，“边相等”是推出 的结论，应写在后面，即“等角对等边”. 2.直角三角形中有时会把斜边与直角边弄错. 课时训练 D 1.(2003重庆市)如图4-3-5所示，ABP与CDP是两 个全等的等边三角形，且PAPD，有下列四个结论： PBC=15ADBC直线PC与AB垂直四边形 ABCD是轴对称图形，其中正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 A 2.设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三 角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示 它们之间关系的是( ) B 3.(2003河南省)用两块完全重合的等腰直角三角形纸片 拼下列图形：(1)平行四边形(不是特殊的)(2)矩形(3)正方 形(4)等边三角形(5)等腰直角三角形，一定能拼成的图形 是( ) A.(1)(2)(3) B.(1)(3)(5) C.(2)(3)(5) D.(1)(3)(4)(5) 4.(2003黑龙江省)矩形一个角的平分线分矩形一边为 1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为 . 4或12cm2 5(2003年山东省)2002年8月在北京召开的国际数学 家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图 ，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的 一个大正方形(如图4-3-6所示).如果大正方形的面积是13. 小正方形的面积是1，直角三有形的较短直角边为a，较长 直角边为b，那么(a+b)2的值是( ) A.13 B.19 C.25 D.169 C 6.(2003贵阳市)有六根细木棒，它们的长度分别是2、4 、6、8、10、12，从中取出三根首尾顺次连接搭成一个 直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为( ) A.2、4、6 B.4、8、10 C.6、8、10 D.8、10、12 C 第四章第四课时： 角平分线定理和 中垂线定理 要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练 要点、考点聚焦 1.角平分线的性质定理和逆定理 (1)点在角平分线上 点到这个角的两边的距 离相等. (2)用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理.如 图4-4-1所示. 性质定理：P在AOB的平分线上，PDOA，PEOB PD=PE 逆定理：PD=PE,PDOA,PEOB 点P在AOB的平分线上. (3)角平分线是到角两边的距离相等的所有点组成的集 合. (4)互逆命题与互逆定理. 2.线段垂直平分线的性质定理及逆定理 (1)性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个 端点的距离相等. (2)逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这 条线段的垂直平分线上. (3)用符号语言表示线段垂直平分线的性质定理和逆定 理.如图4-4-2所示. 性质定理：PC是线段AB的中垂线 PA=PB 逆定理：PA=PB 点P在AB的中垂线上. (4)线段中垂线是和线段两个端点距离相等的所有 点的集合. 2.如图4-4-3所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公 路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相 等，则可供选择的地址有( ) A1处 B.2处 C.3处 D. 4处 课前热身 C D 1.下列说法正确的是( ) A.每个定理都有逆定理 B.直角都是邻补角 C.若1/a=1/b则a=b. D.真命题的逆命题是真命题. 图4-4-3 4.如图所示，在ABC中，C=90，B=15，AB的 垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB=10cm，则AC=( C ) A.6 B.8 C.5 D.10 5.如图4-4-6所示，在RtABC中，C=90，AB的垂直 平分线交BC于D，CADDAB=12，则B= . 36 典型例题解析 AB+AD=BC 【例1】 如图4-4-7所示，在ABC中，A=90， AB=AC，BD是ABC的平分线，请你猜想图中哪两条线 段之和等于第三条线段，并证明你的猜想的正确性(证明 你的猜想需用题中所有的条件) 方法小节 1.全等运用的干扰 角平分线定理及中垂线性质定理都是不用全等，而直 接能得出边相等，但好多学生还是喜欢再重新证一遍. 2.证线段的中垂线时，往往只得出一个点到一条线段 的两个端点距离相等，就下结论过这一点的直线是 这条线段的中垂线，实际上由直线公理：“两点确定一 条直线”，还要再找出一个这样的点. 课时训练 C 1.(2003福州市)下列命题中，是真命题的是( ) A.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 B.两条对角线相等的四边形是矩形 C.线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等 D.如果两个圆相交，那么这两个圆有三条公切线 2.ABC中，B=90，AB=7，BC=24，在ABC内 有一点P到各边的距离相等，则这个距离是( ) A.1 B3. C.6 D.无法求出 B B 3.若点P是ABC内一点，且PA=PB=PC，则点P是三 角形( ) A.内