公共基础——数学之无穷级数每日心得.docx

1.4 无穷级数1.4.1数项级数 每日心得概念有些陌生，级数与 极限、级数与微积分的联系，以及级数的作用，有个概念性的理解。级数理论是分析学的一个分支，它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系函数。级数数项级数正项级数审敛法 & 任意项级数审敛法。级数的基本问题：其收敛性问题。级数的作用：研究函数级数的应用：近似计算在判断级数的收敛性的时候，需要用到多种判断方法，不可急躁的想一步到位，要耐心。今天先消除恐惧，然后明天再复习一下。2017/2/8级数这一章内容不熟，所以进展缓慢，目前学习计划已经延后了4到5天！有点不可原谅。还没开窍，好吧。在学习第二节 幂级数和泰勒级数的时候有点更加摸不着头脑，处于一个艰难的摆脱期，今天夜班计划再次重复，要把第一节第二节的内容和习题掌握了。计划不能再往后延期了。1.4.2 幂级数泰勒级数2017/2/9l 再次复习了 幂级数和泰勒级数的 习题，泰勒级数是幂级数的一种，麦克劳林级数是泰勒级数 的一种。所以本节的习题 除了展开式之外也大量用到了数项级数的收敛性判断知识。或者说，对于函数级数，当函数自变量x确定（也就是级数表达式中只有n是未知的）以后，原级数实际上变成了一个 数项级数（至于n有关）。比如在判断某点上的 收敛性就是一个典型代表。l 对于非标准形式的幂级数n=0an(x-x0)nx0的意义是 级数收敛区间的中心点。比如n=0an(x-1)n如果其在x=-1 处收敛，则其收敛半径为R=-1-1=2，也就是说级数至少在(-1,3) 的范围内是收敛的。（实际收敛域有可能更大，所以用了“至少”）l 本节的习题也运用到了之前的 导数的知识，因为函数展开成幂级数的方法中间接法包括：已知函数展开式、幂级数运算（如四则运算、逐项求导、逐项积分）以及变量代换等。所以对于 原函数以及导函数的形式要特别敏感。l 那么常用函数的展开式，有什么用？常用函数的展开式，相当于把某一函数表达式与 一个级数相联系起来，比如：11-x=1+x+x2+x3+=n=0xn如果要求n=1nxn-1的和函数我们可以进行如下的代换：n=1nxn-1=n=0xn=(n=0xn)=11-x=11-x2l 如何用间接法将函数展开成幂级数？（大纲要求掌握）主要是运用已知的常用函数的 幂级数展开式（以下8个）ex=n=0+xnn! (-x+)函数1sinx=n=0+(-1)nx2n+1(2n+1)! (-x+)函数2cosx=n=0+(-1)nx2n2n! (-x+)函数3ln(1+x)=n=0+(-1)nxn+1n+1 (-1x1)函数411-x=1+x+x2+x3+xn函数5(1+x)=n=0+(-1)(-n+1)n! x n (-1x1)函数6当=-1/2时11+x=1-12x+1*32*4x2-1*3*52*4*6x3+(-1x1)函数6函数7当=-1时11+x=1-x+x2-x3+(-1)nxn函数8(-1x1)函数6例题：将函数 1x 展开成 x-3 的幂级数方法就是 在原函数中努力创造出 带有x-3的 以上常用函数的 形式，进行变量代换即可。解：1x=13+(x-3)=1311+x-33=13n=0-1nx-33n运用 上面的函数8进行展开=n=0-1nx-3n3n+1-1x-331 0x6l 今天又花费了4/3 h 将1.4.2的习题认真做了一遍，下载可以说是完全搞明白了，习题做的也是越来越顺手，再次体会到了“so easy”的感觉，果然，“无他，唯手熟尔”是句真理。面对难题，我们要做的就是：一、 多次