沿江污水排放控制问题(完稿).doc

第五组 数学建模论文 Page 17 of 17沿江污水排放控制问题 王凯、周凯、耿科学案例实际背景如图所示，某江沿岸有若干个污水源及为之配备的污水处理站和若干个居民点。污水源以的流量向污水处理站排放浓度为的污水，经污水处理站的净化处理后，污水以浓度（）通过排水口向江中排放。一般地，污水处理站净化的费用与处理前后的污水浓度差成正比，即，其中为比例系数，它反映了污水处理站每流量单位降低每个浓度单位所需的资金，也反映了污水处理的技术水平。设国家规定的江水水质标准为，与污水源、污水处理站相关的数据如下表所示：下标1234流量5434浓度10070508021.511.5以污水处理站的排水口为分界点，可以将该段江面划分为5个段子，各字段的水流量及水质分别为和。考虑到江中流水的自净作用，对每个子段引入自净系数。显然 ，自净系数与河流状态有着紧密的联系。在该段江水中，设。设该段江水的来流的流量及污水浓度分别为和。1、 在该段江水全面达到国家水质标准的前提下，使投入污水处理的总资金最少。2、 在每个居民点上游水质达到国家标准的前提下，使投入污水处理的总资金最少。3、 当污水源的流量和浓度，污水处理费用系数的变化后，在上述两问中污水处理的总资金将发生什么变化？4、 事实上，自净系数不仅与河流状态有关，还与江水的污水浓度有关。当江水的污水浓度较低时，流水发挥自净作用；当污水浓度逐渐增加时，流水的自净能力逐渐降低；当江水的污水浓度超过某个阀值时，流水就失去了自净功能。考虑适当的函数形式，重新研究上述三个问题。沿江污水排放控制问题优化模型摘要：建立了污水处理站处理方案的优化模型，使污水源公司处理污水的投资最少。方案结合所求四个问题，分别给出了本段江水全面达到国家水质标准、每个居民点上游水质达到国家水质标准时，四个污水处理站处理过后的污水水质标准所要达到的指标，使得工厂花费的午睡处理费用最少。与此同时，该模型分别对污水流量、污水处理站出来的污水浓度、污水处理站每流量单位降低每个浓度单位所需的资金发生相应的变化时，工厂投入的污水处理总资金最少。对于第四问，考虑到发生改变，不再是定值，我们结合所设模型，引入函数=,对上面三个问题再次进行讨论。在模型1中，在整条江全面达到国家水质标准的前提下，建立工厂排放污水浓度和流量、处理站排放污水浓度、所需资金的模型，运用决策的方法给出了四个污水处理站处理完后的污水浓度须达到41mg/l、70mg/l、50mg/l、80mg/l时才能使处理费最少，为590万元。对于模型2，结合模型1的结论和经验，在每个居民点上游水质达到国家标准的前提下，给出了只有污水处理站处理后的污水浓度达到100mg/l、57.25mg/l、50mg/l、80mg/l时投入的总资金最少，为76.5万元。对于第三问，我们认为题干给出的q、u、r都是用向量表示的，故三个变量中四个分量只可以同时变大、变小或不变，基于此，我们根据模型1和模型2，采用控制变量法，得出了三个变量增长10%、减少10%和不变时的处理费用以及处理费用的变化率，详见表1。针对第四问，我们根据已知条件画出了和浓度C的图像，估计出两者应该满足反比例函数、一次函数、二次函数或三次函数这样的函数关系式，再经过MATLAB的相关拟合最后得出关系式为。给出在江水的污水浓度小于时，流水发挥自净作用，当流水浓度增加到甚至高于时，流水失去自净功能。关键词： 污水处理 决策优化 自净功能 问题的提出污水处理要综合考虑多种因素，包括工厂排放的污水浓度、处理站的处理能力、居民点的位置、江水的自净能力。国家对于水质标准有相应的规定，江水的浓度需达到C=1mg/l。污水源和流量q、污水浓度以及每流量单位降低每个浓度单位所需的资金如表1所示，所需求解的问题如下：1、在该段江水全面达到国家水质标准的前提下，使投入污水处理的总资金最少；2、在每个居民点上游水质达到国家标准的前提下，使投入污水处理的总资金最少；3、当污水源的流量和浓度，污水处理费用系数的变化后，在上述两问中污水处理的总资金将发生什么变化？4、事实上，自净系数不仅与河流状态有关，还与江水的污水浓度有关。当江水的污水浓度较低时，流水发挥自净作用；当污水浓度逐渐增加时，流水的自净能力逐渐降低；当江水的污水浓度超过某个阀值时，流水就失去了自净功能。考虑适当的函数形式，重新研究上述三个问题。问题的分析本问题前两问的分析重点在于所设环境不同，第一问求该段江水全面达到国家水质标准是的总投资最少，即是每个污水处理站的排放口处的浓度达到标准，第二问中要求每个居民点上游的水质达到标准，则要求临近居民点附近的水质达标，注意居民点的位置，有的要考虑江水的自净作用，有的则不要考虑。基本假设1、 从污水源出来的污水经过污水处理站后只有浓度的改变，不考虑体积的变化。2、 本题考虑的自净系数是指江水自身净化掉的杂质系数，之后的江水杂质浓度为1-。3、 表格1的信息来源可靠、准确、科学。4、 江水的流量处处相等。5、 居民点1紧靠在污水处理站2的下游，居民点2和居民点3分别在污水处理站3和4的下游（非紧靠）。符号说明：第i-1段江水的流量；：第i个污水源排放的污水流量；u：第i个污水源排放的污水浓度；v：第i个污水处理站排放的污水浓度；r：第i个污水处理站每流量单位降低每个浓度单位所需的资金；b：第i段江水的自净系数；z：污水源流量a的变化率；z：污水源浓度u的变化率；z：污水处理费用系数r的变化率；T：第i个污水处理站投入的资金；模型I的建立与求解决策变量：用v表示第i个污水处理站排放的污水浓度决策目标：最小化污水处理的总资金，即：约束条件1） 第i个污水处理站排放的污水浓度小于第i个污水源排放的污水浓度，即：vu2） 各排污口处水质的限制，即：0.8*q+a*vq;(0.8*q+a*v)*(1-b)+a*vq;(0.8*q+a*v)*(1-b)+a*v*(1-b)+a*vq;(0.8*q+a*v)*(1-b)+a*v*(1-b)+a*v*(1-b)+a*vq;模型求解：将以上模型输入LINGO求解，可以得到：Global optimal solution found.Objective value: 590.0000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost Q( 1) 1000.000 0.000000 Q( 2) 1005.000 0.000000 Q( 3) 1009.000 0.000000 Q( 4) 1012.000 0.000000 Q( 5) 1016.000 0.000000 A( 1) 5.000000 0.000000 A( 2) 4.000000 0.000000 A( 3) 3.000000 0.000000 A( 4) 4.000000 0.000000 U( 1) 100.0000 0.000000 U( 2) 70.00000 0.000000 U( 3) 50.00000 0.000000 U( 4) 80.00000 0.000000 V( 1) 41.00000 0.000000 V( 2) 70.00000 0.000000 V( 3) 50.00000 0.000000 V( 4) 80.00000 0.000000 R( 1) 2.000000 0.000000 R( 2) 1.500000 0.000000 R( 3) 1.000000 0.000000 R( 4) 1.500000 0.000000 B( 1) 0.4000000 0.000000 B( 2) 0.5000000 0.000000 B( 3) 0.8000000 0.000000 B( 4) 0.7000000 0.000000 由上面运行的结果可知：第1个污水处理站排放的污水浓度为：41mg/l；第2个污水处理站排放的污水浓度为：70 mg/l；第3个污水处理站排放的污水浓度为：50 mg/l；第4个污水处理站排放的污水浓度为：80 mg/l；在该段江水全面达到国家水质标准的前提下，污水处理站投入的总资金为590万元。模型II的建立与求解决策变量：用v表示第i个污水处理站排放的污水浓度决策目标：最小化污水处理的总资金，即：约束条件：1)第i个污水处理站排放的污水浓度小于第i个污水源排放的污水浓度，即：vu2)各排污口处水质的限制，即：(0.8*q+a*v)*(1-b)+a*vq;(0.8*q+a*v)*(1-b)+a*v*(1-b)+a*vq;(0.8*q+a*v)*(1-b)+a*v*(1-b)+a*v*(1-b)+a*vq;模型求解：将以上模型输入LINGO求解，可以得到： Global optimal solution found. Objective value: 76.50000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 1 Variable Value Reduced Cost Q( 1) 1000.000 0.000000 Q( 2) 1005.000 0.000000 Q( 3) 1009.000 0.000000 Q( 4) 1012.000 0.000000 Q( 5) 1016.000 0.000000 A( 1) 5.000000 0.000000 A( 2) 4.000000 0.000000 A( 3) 3.000000 0.000000 A( 4) 4.000000 0.000000 U( 1) 100.0000 0.000000 U( 2) 70.00000 0.000000 U( 3) 50.00000 0.000000 U( 4) 80.00000 0.000000 V( 1) 100.0000 0.000000 V( 2) 57.25000 0.000000 V( 3) 50.00000 0.000000 V( 4) 80.00000 0.000000 R( 1) 2.000000 0.000000 R( 2) 1.500000 0.000000 R( 3) 1.000000 0.000000 R( 4) 1.500000 0.000000 B( 1) 0.4000000 0.000000 B( 2) 0.5000000 0.000000 B( 3) 0.8000000 0.000000 B( 4) 0.7000000 0.000000由上面运行的结果可知：第1个污水处理站排放的污水浓度为：100mg/l；第2个污水处理站排放的污水浓度为：57.25 mg/l；第3个污水处理站排放的污水浓度为：50 mg/l；第4个污水处理站排放的污水浓度为：80 mg/l；在每个居民点上游水质达到国家水质标准的前提下，污水处理站投入的总资金为76.5万元。模型III的建立与求解决策变量：用表示第i个污水处理站排放的污水浓度决策目标：最小化污水处理的总资金，即：约束条件：1)第i个污水处理站排放的污水浓度小于第i个污水源排放的污水浓度，即：v（1+z）u2)水流量的限制，即：q=1000;q=q+(1+z)*a3)各排污口处水质的限制，即：0.8*q+(1+z)a*vq;(0.8*q+(1+z)a*v)*(1-b)+(1+z)a*vq;(0.8*q+(1+z)a*v)*(1-b)+(1+z)a*v*(1-b)+(1+z)a*vq;(0.8*q+(1+z)a*v)*(1-b)+(1+z)a*v*(1-b)+(1+z)a*v*(1-b)+(1+z)a*vq;模型求解：将以上模型输入LINGO求解，可以得到：由上面的表格可知：（1）当固定两个变化量，改变其中一个时：q增加或减少10%时，处理费T增加或减少16.7797%；u增加或减少10%时，处理费T增加或减少16.9492%；r增加或减少10%时，处理费T增加或减少10%；则浓度u的变化对处理费T影响最大，q次之，r影响最小；（2）当三个量减小到一定程度时，处理费会达到0。这个可以理解为，当污水的浓度、污水的排放量小到一定程度时，根本就无需建造污水处理站，这显然是我们所希望发生的。模型III的建立与求解决策变量：用v表示第i个污水处理站排放的污水浓度决策目标：最小化污水处理的总资金，即：约束条件包括两个方面：1)第i个污水处理站排放的污水浓度小于第i个污水源排放的污水浓度，即：v（1+z）u2)水流量的限制，即：q=1000;q=q+(1+z)*a3)各排污口处水质的限制，即： (0.8*q+(1+z)a*v)*(1-b)+(1+z)a*vq;(0.8*q+(1+z)a*v)*(1-b)+(1+z)a*v*(1-b)+(1+z)a*vq;(0.8*q+(1+z)a*v)*(1-b)+(1+z)a*v*(1-b)+(1+z)a*v*(1-b)+(1+z)a*vq;模型求解：将以上模型输入LINGO求解，可以得到：由上面的表格可知：（1）如模型III中结果分析的一样，浓度u的变化对处理费T影响最大，q次之，r影响最小；（2）当三个量减小到一定程度时，处理费会达到0。这个可以理解为，当污水的浓度、污水的排放量小到一定程度时，根本就无需建造污水处理站，这显然是我们所希望发生的模型IV的建立与求解1、 本题的问题中值在变化，可以用MATLAB先画出（C,）的散点图如下图所示： 通过一次、二次和三次拟合可以得到如图所示的拟合图线，并得到对应的如下函数表达式：一次拟合：；二次拟合：；三次拟合：，然后结合散点图比较上面三条曲线，一次函数显然没有二次函数和三次函数拟合的程度好，所以我们选择用二次或三次拟合，又由于二次和三次拟合结果相当，为了实际当中计算简便，我们选择采用二次函数来拟合自净系数与污水浓度的关系。附件：LINGO程序如下：问题一model:sets:water/1.5/:q;wushui/1.4/:a,u,v,r,b;endsetsdata:b=0.40.50.80.7;a=5434;u=100705080;r=21.511.5;enddatamin=sum(wushui(i):r(i)*a(i)*(u(i)-v(i);for(wushui(i):v(i)u(i);q(1)=1000;for(water(i)|i#ge#2:q(i)=q(i-1)+a(i-1);0.8*q(1)+a(1)*v(1)q(2);(0.8*q(1)+a(1)*v(1)*(1-b(1)+a(2)*v(2)q(3);(0.8*q(1)+a(1)*v(1)*(1-b(1)+a(2)*v(2)*(1-b(2)+a(3)*v(3)q(4);(0.8*q(1)+a(1)*v(1)*(1-b(1)+a(2)*v(2)*(1-b(2)+a(3)*v(3)*(1-b(3)+a(4)*v(4)q(5);end问题二model:sets:water/1.5/:q;wushui/1.4/:a,u,v,r,b;endsetsdata:b=0.40.50.80.7;a=5434;u=100705080;r=21.511.5;enddatamin=sum(wushui(i):r(i)*a(i)*(u(i)-v(i);for(wushui(i):v(i)u(i);q(1)=1000;for(water(i)|i#ge#2:q(i)=q(i-1)+a(i-1);(0.8*q(1)+a(1)*v(1)*(1-b(1)+a(2)*v(2)q(3);(0.8*q(1)+a(1)*v(1)*(1-b(1)+a(2)*v(2)*(1-b(2)+a(3)*v(3)q(4);(0.8*q(1)+a(1)*v(1)*(1-b(1)+a(2)*v(2)*(1-b(2)+a(3)*v(3)*(1-b(3)+a(4)*v(4)q(5);end问题三第一小问model:sets:water/1.5/:q;wushui/1.4/:a,u,v,r,b;bianhualv/1.3/:z;endsetsdata:z=000;b=0.40.50.80.7;a=5434;u=100705080;r=21.511.5;enddatamin=sum(wushui(i):(1+z(1)*(1+z(3)*r(i)*a(i)*(1+z(2)*u(i)-v(i);for(wushui(i):v(i)(1+z(2)*u(i);q(1)=1000;for(water(i)|i#ge#2:q(i)=q(i-1)+(1+z(1)*a(i-1);0.8*q(1)+(1+z(1)*a(1)*v(1)q(2);(0.8*q(1)+(1+z(1)*a(1)*v(1)*(1-b(1)+(1+z(1)*a(2)*v(2)q(3);(0.8*q(1)+(1+z(1)*a(1)*v(1)*(1-b(1)+(1+z(1)*a(2)*v(2)*(1-b(2)+(1+z(1)*a(3)*v(3)q(4);(0.8*q(1)+(1+z(1)*a(1)*v(1)*(1-b(1)+(1+z(1)*a(2)*v(2)*(1-b(2)+(1+z(1)*a(3)*v(3)*(1-b(3)+(1+z(1)*a(4)*v(4)q(5);end第二小问model:sets:water/1.5/:q;wushui/1.4/:a,u,v,r,b;bianhualv/1.3/:z;endsetsdata:z=000;b=0.40.50.80.7;a=5434;u=100705080;r