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电磁场数值计算实验指导书电信教研室华北电力大学二一年八月目录1 有限差分法12 矩量法63 有限单元法94 附录101 有限差分法有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一种数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上的差分方程组的问题。1.1 二维泊松方程的差分格式图1-1 有限差分的网格分割二维静电场边值问题： (1-1) (1-2)通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为,节点上的电位分别用和表示。设函数在处可微，则沿方向在处的泰勒公式展开为 （1-3）将和分别代入式（13）,得 （1-4） （1-5）由（1-4）-（1-5）得 （1-6）(1-4)+(1-5)得 （1-7）同理 （1-8） （1-9）将式(1-7)、（1-9）代入式（1-1），得到泊松方程的五点差分格式当场域中得到拉普拉斯方程的五点差分格式121.2 边界条件的离散化处理图1-2 边界条件的离散化处理若场域离散为矩形网格(如图2-2示)，差分格式为： (1-10)（1）第一类边界条件:给边界离散节点直接赋已知电位值（2）对称边界条件:合理减小计算场域，差分格式为： (1-11)图1-3 边界条件的离散化处理（3）第二类边界条件:边界线与网格线相重合的差分格式： (1-12)(4)介质分界面衔接条件 的差分格式 (1-13) 其中1.3 差分方程组的求解方法图1-4 高斯赛德尔迭代法(1) 高斯赛德尔迭代法 (1-14)式中： 迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。 迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分格式，直到所有节点电位满足为止。（2）超松弛迭代法 (1-15)式中：加速收敛因子迭代收敛的速度与有明显关系表1-1 迭代收敛的速度与的关系收敛因子（）1.01.71.81.831.851.871.902.0迭代次数（）1000269174143122133171发散最佳收敛因子的经验公式：（正方形场域、正方形网格）（矩形场域、正方形网格） 迭代收敛的速度与电位初始值的给定及网格剖分精细有关 迭代收敛的速度与工程精度要求有关 借助计算机进行计算时，其程序框图15所示启动赋边界节点已知电位值赋予场域内各节点电位初始值累计迭代次数N=0N=N+1按超松弛法进行一次迭代，求所有内点相邻二次迭代值的最大误差是否小于停机打印NY图1-5 迭代解程序框图=V100j练习题试用超松弛迭代法求解接地金属槽内电位的分布已知：给定边值 如图16示给定初值 误差范围 选取 计算：迭代次数N=? 分布。 图1-6接地金属槽的网格剖分(2) 按对称场差分格式求解电位的分布已知：给定边值：如图1-7示给定初值误差范围: 图1-7 接地金属槽内半场域的网格剖分计算：1）迭代次数，将计算结果保存到文件中；2）按电位差画出槽中等位线分布图。（选做，可以不做）2 矩量法矩量法（method of moment）在电磁场分析中有着广泛的应用。其概念相当简单，基本上是用未知场的积分方程去计算给定媒质中场的分布。在静电学中，在由点的电荷分布在点产生的电位分布可以表示为 (2-1)这里实质上是电位分布的源，是点和点间的距离。然而一般情况下是未知的，而源区电位的分布是给定的。因此，为了求出空间每个地方的电位分布，我们必须估计源区的电荷分布。设的一个解是(2-2)这里是源区一些离散位置上预先选定的电荷分布，是待定未知系数，以式（2-2）代入式（2-1）得 (2-3) (2-4)这里。所以考虑在位置的电荷，可以表示为下述电位的线性组合，即： (2-5)所以 (2-6)由于在源区是已知的，所以未知系数可以由 (2-7)确定，或表示成矩阵形式 (2-8)求出后，利用式（2-2），就可以确定源区的电荷分布。接着就可以用式（2-3）预测空间任意点的电位分布。例 2-1 一个长20cm，半径1mm的细圆柱保持1V的电位，用矩量法计算沿着导体的电荷分布。解 图2-1给出了导体的几何尺寸。由对称性，此问题能简化为一个二维问题。设想电荷集中在轴对称线上，即密度为的线电荷。如图2-2所示。图2-1 导体几何结构 图2-2 导体二维模型如图2-3所示，把导体化分为两个单元，并设想单位线电荷都集中在单元中心，即，。距离，和为 图2-3 两单元导体模型在计算中，还假设每单元的线电荷在对应单元内保持不变。现在能用式（2-6）计算为把所有的已知量代入式（2-8）得出从上式求出，以及对应的电荷密度，。 图2-4 点的电位现用矩量法得到的电位表达式和电荷分布来计算在导体的中点和表面的电位。如图2-4所示，在点上的电位 (2-9)解出导体表面的电位。计算得出的电位为外加电位的，这清楚的表明计算得到的电荷分布是不精确的。用一种等效电荷分布去模拟导体，两个单元是不够的。如果把导体数增加到50个，计算结果为。按照式（2-9）计算出的电位为。练习题1、 为例2-1编写计算机程序，计算各段的电荷分布，在程序中考虑单元数为2，4，10，20的情况，讨论单元数对电位的影响。2、 计算各处的电位分布，比较x轴上各点的电位与单元数的关系。3、 各计算结果保存到文件中。注意：求解矩阵的程序去图书馆响应的数值计算书中查找。3 有限单元法有限单元法（finite-element method）最早是由结构工程师应用于计算桥梁、船舶的应力和应变。它属于系统位能的泛函近似极小化方法。这里我们不对它进行详细的分析。附录中给出了利用有限单元法编写的软件SEF2D的使用。练习题图3-1给出了由两个平行无限长导线组成的闭合传输线，利用SEF2D计算此结构中的电位分布。图3-1 传输线附图附录 SEF2D使用简介使用SEF2D2.0分析二维静电场共有四个步骤,如下所示:1 场域结构输入2 介质区域剖分3 有限元计算4.后处理图形显示一、场域结构的输入本软件场域结构的输入方法是灵活多样的，可由鼠标和键盘双向输入。鼠标的右键控制着输入的状态，单击鼠标右键可以切换图形的输入和选择状态。鼠标的左键控制着图形的特征点的选择和输入以及对选择框的操作。场域结构的输入共有五个步骤：第一步：输入场域结构的模型图 第二步：多连域结构化为单连域结构图 注意：SEF2D 2.0的特殊要求:一个区域的边界不能有重复的线段,区域与SEF2D 1.0不同.第三步：输入第一类边界和节点电压值图 3第四步：选择区域并输入相对介电常数图 4第五步：输入完成第一步 输入场域结构的模型1 输入图形1.1 输入线段用鼠标左键单击“线段”按钮，会弹出一“画线段”对话框。当需要用键盘输入时，在对话框内输入两个端点的坐标并按下回车键即可。也可以移动鼠标到相应端点坐标用左键单击，再移动鼠标到另一端点处单击即可。1.2 输入矩形用鼠标左键单击“矩形”按钮，会弹出一“画矩形”对话框。当需要用键盘输入时，在对话框内输入矩形两个对顶点的坐标并按下回车键即可。也可以移动鼠标到相应端点坐标用左键单击，再移动鼠标到另一端点处单击即可。1.2 输入圆用鼠标左键单击“圆”按钮，会弹出一“画圆形”对话框。当需要用键盘输入时，在对话框内输入圆心和圆周上任意一点的坐标并按下回车键即可。也可以移动鼠标到圆心坐标用左键单击，再移动鼠标到圆周上一点坐标处单击即可。1.3 输入圆弧用鼠标画圆弧时，也可以移动鼠标到圆弧一端点用左键单击，再移动鼠标到圆弧另一端点处单击，最后在圆心处单击即可。用键盘画圆弧时，左键单击“圆弧”按钮，会弹出一“画圆弧”对话框。在对话框内输入圆弧两个端点的坐标，圆心坐标和圆心的相对位置并按下回车键即可。注意：圆弧的方向与圆弧的起点和终点的输入顺序有关系，如图。以下两图除起点与终点坐标相反外其它输入都相同，这样画出的两个圆弧恰好是互补的。图 5图 61.4 输入线圈用鼠标左键单击“线圈”按钮，会弹出一“线圈”对话框。用键盘输入时，在对话框内输入线圈顶点的坐标，内部高度、宽度，上下圆角的半径，线饼厚度，同类线圈数，线圈间距离,并按下回车键即可。图 72. 修改图形当需要修改图形时，首先要选中一个图形。如果现在图形输入环境没有处于选择图形状态，单击鼠标右键即可。再次单击鼠标右键取消图形选择状态。选择图形有两种方法，用鼠标拉出一个选择框将要选的图形包含于内或者用鼠标左键单击要选的图形上的任意一点。处于被选中状态的图形变成虚线状态，并且有小矩形画出的可选择点。如下图：图 82.1 修改线段确定“图形移动状态”按钮没有被按下，线段被选中状态下，首先选择要改动的线段端点。用鼠标左键单击要选择的端点，若端点被选中，则代表这一点的小矩形变为红色，否则就是没有选中。移动鼠标到合适的点再单击鼠标左键即完成修改。2.2 修改矩形确定“图形移动状态”按钮没有被按下，矩形被选中状态下，首先选择要改动的矩形端点。用鼠标左键单击要选择的端点，若端点被选中，则代表这一点的小矩形变为红色，否则就是没有选中。移动鼠标到合适的点再单击鼠标左键即完成修改。2.3 修改圆确定“图形移动状态”按钮没有被按下，圆被选中状态下，首先选择要圆周上的可选择点。用鼠标左键单击选择点，若点被选中，则代表这一点的小矩形变为红色，否则就是没有选中。移动鼠标到合适的点再单击鼠标左键即完成修改。2.4 修改圆弧确定“图形移动状态”按钮没有被按下，圆弧被选中状态下，首先选择要改动的端点。用鼠标左键单击要选择的端点，若端点被选中，则代表这一点的小矩形变为红色，否则就是没有选中。移动鼠标到合适的点再单击鼠标左键即完成修改。圆弧可修改端点位置和半径，如下图。图 9图 103 移动图形当需要移动图形时，首先要选中一个图形。如果现在图形输入环境没有处于选择图形状态，单击鼠标右键即可。选择图形有两种方法，用鼠标拉出一个选择框将要选的图形包含于内或者用鼠标左键单击要选的图形上的任意一点。处于被选中状态的图形变成虚线状态，并且有小矩形画出的可选择点。确定“图形移动状态”按钮已经被按下，用鼠标左键单击要选择的端点，若端点被选中，则代表这一点的小矩形变为红色，否则就是没有选中。移动鼠标到合适的点再单击鼠标左键即完成移动。可一次移动多个图形。图 114 复制图形当需要复制图形时，首先要选中图形。如果现在图形输入环境没有处于选择图形状态，单击鼠标右键即可。选择图形有两种方法，用鼠标拉出一个选择框将要选的图形包含于内或者用鼠标左键单击要选的图形上的任意一点。处于被选中状态的图形变成虚线状态，并且有小矩形画出的可选择点。按下“复制”按钮，即可完成复制。被复制的图形仍处于原位置，也就是说此时有两个相同的图重叠在一起。复制的图形处于被选择状态，可以在这时将被复制的图形移动到合适的位置。图 125. 删除图形首先选中要删除的图形，在按下delete键即可。第二步 多连域结构化为单连域结构多连域化为单连域的目的是为了加快计算速度和避免计算错误。通过增加一些线段使多连域分割为单连域。这一步的操作方法与第一步的对线段的操作方法是相同的。第三步 输入第一类边界和节点电压值1 .改正输入错误在进入第三步时，如果弹出一对话框警告“有不连通节点，请改正”，（黑色实心的节点为不连通节点）。这是说明在第一步输入时有输入错误，通常情况时两条应该相连的曲线没有正确的连接上。按两次“上一步”按钮回到第一步改正错误，直到不出现该警告为止。警告：如果不改正该错误在第四步时会出现无法选中区域的后果。2 选中第一类边界选中第一类边界的方法是，移动鼠标到第一类边界边上，按下鼠标左键，若这条边界的颜色变为蓝色，则这条边界被确定为第一类边界边。若颜色仍然为黑色，则这条边界没有被确定为第一类边界边。如果用鼠标再次选中第一类边界边，则这条边界又变为黑色，被重新确认为非第一类边界。3 输入节点电压值输入节点电压值的方法是，移动鼠标到第一类边界边的节点上，按下鼠标左键，若代表这个节点的小矩形的颜色变为红色，则弹出一个对话框，在这个对话框内输入节点电压值并按下回车键。没有输入电压值的节点的颜色为白色，已经输入电压值的节点为蓝色，正在输入电压值的节点的颜色为红色。若要重新输入一个节点的电压值，首先选中这个节点，这时此节点由蓝色变为红色，在弹出的对话框内显示的是以前输入的电压值，在对话框内重新输入电压值并按下回车键。4 查看节点电压值查看节点电压值的方法是，按下“显示数据”按钮，则在每个节点的右上方显示出节点电压值，并且按钮上的汉字变为“隐藏数据”。若不想显示节点电压值，按下“隐藏数据”按钮，则数据不再显示，并且按钮上的数字又变为“显示数据”。第四步 选择区域并输入相对介电常数1 选择区域并输入相对介电常数值将鼠标移动到要选择的区域内，按下鼠标左键，则此区域被填充为浅绿色，并且弹出一对话框，在此对话框内输入相对介电常数并按下会车键。当前被选择的区域为浅绿色，已经被选择过的区域为蓝色。如果按下鼠标左键而区域没有变为浅绿色，说明此区域不闭合，回到第一步修正此区域的组成边界为闭合边界。若要重新输入相对介电常数值，将鼠标移动到要选择的区域内，按下鼠标左键，则此区域被填充为浅绿色，并且弹出一对话框，对话框内显示的是以前输入的相对介电常数值，在此对话框内输入相对介电常数并按下会车键。2 查看相对介电常数值查看相对介电常数值的方法是，按下“显示数据”按钮，则在每个区域的内部显示出相对介电常数值，并且按钮上的汉字变为“隐藏数据”。若不想显示相对介电常数值，按下“隐藏数据”按钮，则数据不再显示，并且按钮上的数字又变为“显示数据”。第五步 输入完成按下“完成”按钮后，场域输入的工作全部完成。这是程序缺省的剖分密度时对应于计算精度为2.0%的剖分密度。若想修改剖分密度，用鼠标单击“计算”菜单中的“设置精度”选项，会弹出一对话框，在对话框中可以控制下一步剖分时的剖分密度，在这个对话框中，可以通过选择计算精度来选择剖分密度。二、剖分功能剖分功能可以分为全部剖分，局部细剖分和二次剖分。1 全部剖分在场域输入部分完成后，点击剖分按钮，在状态框理会出现“正在剖分，请等待”的提示字样，同时鼠标光标变成纺锤状。这是软件正在进行剖分工作，在剖分完成后，状态框的提示变为“剖分完成”，同时鼠标光标恢复原状。按下“剖分视图”按钮查看剖分效果。2 局部细剖分首先回到场域结构输入的环境中，确认场域结构输入各个步骤已经全部完成。用鼠标操作选择框选中将要进行网格加密的区域，然后按下“局部细剖”按钮，这是会弹出一个对话框，在对话框输入想要加密的倍数，按确定按钮。下一步剖分会对该区域进行局部细剖分。这一步骤可反复进行多次。图 13图 143 二次剖分在计算完成后，按下“准备二次剖分”按钮，会弹出以对话框。打开按照对话框的要求打开相应的文件，用鼠标操作选择框选中将要进行网格加密的区域，然后按下“二次剖分”按钮，这是会弹出一个对话框，在对话框中输入想要加密的倍数，按确定按钮。下一步剖分会对该场域进行二次剖分。注意：二次剖分前最好保存数据文件，以便能够进行多次二次剖分。图 15图 16图 17图 18图 19三、场域的有限元计算本软件的有限元计算采用一般有限元方法计算节点电位和单元平均电场强度，采用“边界电场约束方程法”计算第一类边界上的电场强度，采用“计算电场的互补变分法”计算场域内的电场强度。在求解线形方程组方面，采用了ICCG算法。在剖分完成后，只要按下“有限元计算”按钮即可进行有限元计算。本软件既可以计算平行平面场，也可以计算轴对称场，缺省的区域是平行平面场，若要计算轴对称场，只要在计算前用鼠标单击“选项”菜单中的“轴对称场”即可。四、后处理图形显示后处理图形显示共有五个视图，分别是：电力线视图、等位线视图、场强矢量视图、一类边界视图和一类边界场强曲线视图。查看各视图只要在计算完成或按下相应的按键即可。1 调节视图显示画面1.1调整电力线视图在电力线视图中，缺省的电力线条数是12条。若想调整电力线的条数，用鼠标左键单击场域内的任意一点，会弹出一个对话框，让用户输入所需显示的电力线条数。用键盘在对话框输入任意一个不小于零的整数并敲击回车键，视图就会显示相应数目的电力线。若弹出对话框后，用户不想做任何输入，单击鼠标右键或者按下ESC键，对话框就会消失。1.2调整电力线视图在电力线视图中，缺省的电力线条数是12条。若想调整电力线的条数，用鼠标左键单击场域内的任意一点，会弹出一个对话框，让用户输入所需显示的电力线条数。用键盘在对话框输入任意一个不小于零的整数并敲击回车键，视图就会显示相应数目的电力线。若弹出对话框后，用户不想做任何输入，单击鼠标右键或者按下ESC键，对话框就会消失。1.3调整场强矢量视图在场强矢量视图中，缺省的几何系数是6。若想调整场强矢量箭头的大小，用鼠标左键单击场