小升初家长必看：各大杯赛1-5年级奥数热门题型和历年真题解析.doc

小升初家长必看：各大杯赛1-5年级奥数热门题型和历年真题解析各大杯赛都会考些什么热门题型，如何解题？今天，小磊哥为大家解析1-5年级奥数热门题型和历年真题，一方面看看你的孩子是否真的适合奥数，另一方面也希望对孩子的复习有所帮助。一年级题型一巧填符号例题1：请将“+”“-”“”“”分别填入空格内，使之成为两道有趣的算式。试试看，你能很快完成吗？4( )2( )3=54( )2( )3=5【答案】42-3=5；42+3=5【解析】由于3+5=8，而42=8，得到42-3=5；由于3+2=5，而42=2，得到42+3=5。例题2：小军在写作业的时候发现了一道错误的算术题，小朋友们，知道他是怎么改的吗？1+2+3+4+5+6+7+8+9=35【答案】1+2+3+4-5+6+7+8+9=35【解析】原来等式左边的所有数字的和为45，和35之间相差10，是5的2倍，所以将“+5”改成“-5”即可。例题3：请把1,2,3,4,5,6分成相等的三组。（）+（）=（）+（）=（）+（）【答案】1+6=2+5=3+4【解析】1,2,3,4,5,6是依次增大的6个数字，按顺序首尾连接就能合理地分成三组。题型二图形规律例题1：观察下面这组图形的变化规律，在标号处画出相应的图形。【答案】【解析】这道题中的每一个图形都是由里外两部分组成的，我们分开来看。先外面的图形都由、组成,并每一横行(或每一竖行)中都只出现一次。我们可以先确定、外面的图形。通过题目中给出的图形，我们不能直接定的外部图形，因为不论所在的横行还是竖行都只给出1个图形，所以我只能先确定和的外部图形。所在的横行中只有和，因此的外部图是, 所在的竖行只有和，因此的外部图形也是，所在的横行只有和,因此的外部图形是。然后按照这种方法确定内部图形,可知的内部图形是，的内部图形是，的内部图形是，形状确定好以后，我们还要注意各个图形的内部图形是有所不同的，分别为点状、斜线和空白三种，确定的方法和确定形状的方法是相同的，请你自己把三个图的颜色确定出来。例题2：按规律画图：【答案】【解析】第1行图形由左向右变化的规律是左右颠倒、上下颠倒。（或旋转），然后将移到上面的图形以中线为对称轴作出另一半图形。根据这个变化规律，作出要求的图形。二年级题型一按规律填数例题1：找规律填数： 1,13,5,24,11,35,19,( ),( )【答案】46,29【解析】这个数列的奇数项是1,5,11,19推导规律：5-1=4，11-5=6，19-11=8。相邻两个奇数项数的差分别是4,6,8依次增加2。偶数项是13,24,35推导规律：24-13=11,35-24=11，即相邻偶数项的差是11。要求的第一个数是第8项，是偶数项，即35+11=46。要求的第二个数是第9项，是奇数项，即19+10=29。例题2：找规律填数：【答案】第三个图中的问号处应填(350+50)6=2400；第四个图中的问号处应填2500(430+70)=5。【解析】 从前两个图中可以看出，上面的数字加上左面的数字的和乘下面的数字就得出右面的数字，由此规律算出结果即可。题型二移动小火柴例题1：移动一根火柴，使等式成立。【答案】 把数字“0”左下方的一根，移到0的中间并且横放，变成数字“9”。【解析】 因为66-37=29，所以只要移动一根火柴，把20变成29即可。例题2：移动4根火柴，变成共有11个正方形的图形。【答案】【解析】观察图形可知，把上面的4根火柴移动到中间，横着放，则可以分出8个小正方形，且图中也出现了22的正方形3个，8+3=11(个)，所以一共有11个正方形。三年级题型一奇妙的幻方幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字和都相等的方法。幻方分为完全幻方、乘幻方、反幻方。完全幻方是指一个幻方行、列、主对角线及泛对角线各数之和均相等。乘幻方是指一个幻方行、列、对角线各数乘积相等。反幻方是指在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和不相等。【解题技巧】(1) 我国古代数学家对幻方已有了很深的研究，如南宋时期的数学家杨辉已对幻方（纵横图）作了比较详尽的记叙，总结了幻方的十六字编造法，即“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。(2) 巧选突破口，运用排除法、假设法进行逻辑推理。例题1：（第六届“走美杯”决赛）从1、2、3、20这20个数中选出9个不同的数放入33的方格表中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，这9个数中最多有（ ）个质数。【答案】7【解析】1-20中的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，共8个。如果这8个质数都用上，无论另外一个数是奇数还是偶数，根据奇偶性分析，都无法满足题目的要求。所以这8个质数不可能都用上，最多只能用7个。若用7个,只有用3、5、7、11、13、17、19这7个奇数，再加上两个奇数9和15时，恰好是9个连续奇数，方格表可以填出，如图所示。因此最多有7个质数。例题2：（第九届“小机灵杯”复赛）如图所示，a-j分别表示10个各不相同的数，表中的数为所在列与行对应字母的差，例如“b-h=6”，图中“九宫格”中9个数的和是（）【答案】45【解析】由于a-f=5，b-f=4，所以a-b=1。所以a和b只能是6、7、8、9和5、6、7、8。又因为b-h=6，故b只能是7、8。由此用排除法推算可得正解。题型二巧数图形数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。数图形包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。数图形过程中重复计数和遗漏是经常出现的错误，所以在细心的同时还要掌握一定的方法和技巧。【解题技巧】在数图形时，一定要按顺序仔细数，如果给图形编个号，数起来会更方便，不会重复，也不会遗漏。例题1：图中包含“*”的长方形和正方形共有几个？【答案】39【解析】按包含的小块分类计数。包含1小块的有1个；包含2小块的有4个；包含3小块的有4个；包含4小块的有7个；包含5小块的有2个；包含6小块的有6个；包含8小块的有4个；包含9小块的有3个；包含10小块的有2个；包含12小块的有4个；包含15小块的有2个。所以共有1+4+4+7+2+6+4+3+2+4+2=39(个)。例题2：（第九届“走美杯”初赛）如图所示，有一个正方体木块，外表全部涂上红色后将它切成27个小正方体。切好后，涂有1面红色的小正方体有（）块；涂有2面红色的小正方体有（）块；涂有3面红色的小正方体有（）块。【答案】6；12；8【解析】根据正方体表面涂色的特点，分别得出切割后的小正方体涂色面的排列特点：三面涂色的在每个顶点处，共8个；两面涂色的在每条棱长上(除去顶点处的小正方体)，有(3-2)12=12(个)；一面涂色的都在每个面上(除去棱长上的小正方体)，有16=6(个)。四年级题型一和倍差问题及其综合运用和差问题指的是已知两个数的和及两个数的差，求这两个数的问题。和倍问题指的是已知两个数的和与它们的倍数关系，求这两个数的问题。差倍问题是已知两个数的差，以及这两个数的倍数关系，求这两个数的问题。【解题技巧】和差问题，解答时首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式。和倍问题和差倍问题类似，解答时主要是确定两个数量的和(差)及相对应的倍数和(差)。例题1：（第八届“希望杯”初赛）如果两个自然数的和与差的积是23，那么这两个自然数的和除以这两个数的差的商是（）？【答案】23.【解析】和差问题。23只能是1与23的乘积，所以这两个自然数的和是23，差是1。所以和除以差的商为23。例题2：（第十二届“中环杯”初赛）有A、B、C三辆货车，C车装的货物是B车的一半，B车装的货物比A车少180千克，A车装的货物是C车的4倍。A、B两辆车共装货物 （）千克。【答案】540。【解析】和差倍问题。由于A车装的货物是C车的4倍，而B车装的货物是C车的2倍，可知，A车装的货物是B车的2倍。而A车装的货物比B车装的货物多180千克，可知，B车装的货物为180千克，A车装的货物为360千克，C车装的货物为90千克。题目要求A车与B车所装货物之和，可知为360+180=540（千克）。例题3：（第九届“走美杯”初赛）小华问陈老师今年有多少岁，陈老师说：“当我像你这么大时，我的年龄是你年龄的10倍。当你像我这么大时，我已经56岁了。”陈老师今年多少岁?【答案】38岁【解析】和差倍问题(年龄问题)，差不变。设当陈老师与小华一样大时，小华为1份，则陈老师为10份，此时年龄差为9份，所以现在小华为10份，陈老师为19份。当小华像陈老师一样大时，小华19份，陈老师为28份，此时1份为2，所以陈老师今年38岁。题型二长方形问题长方形的问题大都围绕周长、面积、计数展开。想要做好有关长方形的奥数题目，除了掌握基本的周长和面积公式外，我们还要学会一些平移、转化、分解、合并等技巧，使得我们在解题中能顺利地找到突破口，化难为易，化繁为简。【解题技巧】1. 求长方形的周长(1) 利用图形周长公式直接求得(2) 将图形变形伸缩2. 求长方形的面积:(1) 利用图形面积公式直接求得(2) 用大块面积减去小块面积(3) 将不规则图形分割成几块学过的平面图形再求和例题1：某小学的操场长90米，宽45米。改造后，长增加10米，宽增加5米。现在操场面积比原来增加了多少平方米？【答案】950平方米【解析】用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积。操场现在的面积是(90+10)(45+5)=5000(平方米)，操场原来的面积是9045=4050(平方米)。所以，现在的面积比原来增加5000-4050=950(平方米)。例题2：北京某四合院正好是一个边长为10米的正方形，在院子中央修了一条宽2米的“十字形”甬路，如图所示。这条“十字形”甬路的面积是多少平方米？【答案】36平方米【解析】如图所示，把阴影部分先平移，再分割。S阴影=S总-S空白=100-88=36(平方米)五年级题型一抽屉原理及其运用抽屉原理也称为鸽笼原理或鞋箱原理，它是组合数学中一个重要的原理。抽屉原理可以简单地概括为：如果把n+1个球或更多的球放到n个抽屉，必有一个抽屉至少有2个球。【解题技巧】利用最值原理解题：将题目中没有阐明的量进行极限讨论，有时也称为“最不利原则”，即从最糟糕的极端情况开始讨论问题。例题1：（“第十三届中环杯”初赛)一个口袋中有51个编有号码的相同的小球，编号为1、2、3、4、5的小球分别有3个、6个、10个、12个、20个。任意从口袋中取球，至少要取出（）个小球，才能保证其中至少有7个号码相同的小球。【答案】28【解析】考虑最差情况：3个1号球，6个2号球全部取出，其他3、4、5号球各取6个，一共取出3+64=27(个)，再任意取出一个球，必能保证有7个号码相同的小球，即为3+64+1=28(个)例题2：有100个旅客入住99个单人间，这100个旅客每次有99个人同时入住，管理员给每人配了一些钥匙，他想让每人都能入住，且不用找别人借钥匙，问他至少一共需要配多少把钥匙？【答案】198.【解析】由于共有99个房间，却有100人住店，想让每人都能入住且不用找别人借钥匙，那么至少要保证每个房间有两把钥匙。可以这样分配钥匙：1,2,3,99号人分别拿一把1,2,9 9号房间钥匙，第100个人拿着每个房间的钥匙。这样，假如第100个人不住，其他人就都可以住进去。假如第100个人住店，1,2,99号中就有一个不住，100号就能进入这个房间入住。所以，他至少要配99+99=198(把)钥匙。题型二工程问题工程问题也是教材的难点。工程问题常把工作总量看成单位“1”，它具有抽象性，所以认知起来比较困难。【解题技巧】工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。工作总量一般被抽象成单位“1”,工作效率为单位时间内完成的工作量。例题1：（第三届“希望杯”决赛）光明村计划修一条公路，由甲、乙两个工程队共同承包，甲工程队先修完公路的1/2后，乙工程队再接着修完余下的公路，共用40天完成。已知乙工程队每天比甲工程队多修8千米，后20天比前20天多修了120千米。求：乙工程队共修路多少天？【答案】15天【解析】由题意知。甲、乙两个工程队均修公路的1/2，且乙工程队每天比甲工程队多修8千米，所以甲工程队比乙工程队修公路的时间长，而甲、乙两个工程队修完公路共用40天，所以前2 0天中只有甲工程队修公路，而后20天中，甲工程队先修了若干天，乙工程队接着修完余下的公路。因为甲工程队修路速度不变，而乙工程队每天比甲工程队多修8千米。又后20天比前20天多修了120千米，所以乙工程队共修路1208=15(天)。例题2：(2009年“学而思杯”)放满一个水池，如果同时