2018_2019高中数学第2章平面向量2.4平面向量数量积的坐标运算学案苏教版.docx

第2课时平面向量数量积的坐标运算学习目标1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直知识点一平面向量数量积的坐标表示设i，j是两个互相垂直且分别与x轴，y轴的正半轴同向的单位向量思考1ii，jj，ij分别是多少？答案ii11cos01，jj11cos01，ij0.思考2取i，j为坐标平面内的一组基底，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算ab.答案ax1iy1j，bx2iy2j，ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2i2(x1y2x2y1)ijy1y2j2x1x2y1y2.思考3若ab，则a，b坐标间有何关系？答案abab0x1x2y1y20.梳理若向量a(x1，y1)，b(x2，y2).数量积abx1x2y1y2向量垂直abx1x2y1y20知识点二平面向量的模思考1若a(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示答案axiyj，x，yR，a2(xiyj)2(xi)22xyij(yj)2x2i22xyijy2j2.又i21，j21，ij0，a2x2y2，|a|2x2y2，|a|.思考2若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量的模？答案(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，|.梳理向量的模及两点间的距离向量模a(x，y)|a|以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的向量|知识点三向量的夹角设a，b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，则cos.1若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.()2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.()3若两个非零向量的夹角满足cos0，则两向量的夹角一定是锐角()提示当两向量同向共线时，cos10，但夹角0，不是锐角.类型一平面向量数量积的坐标运算例1已知a与b同向，b(1，2)，ab10.(1)求a的坐标；(2)若c(2，1)，求a(bc)及(ab)c.解(1)设ab(，2)(0)，则有ab410，2，a(2，4)(2)bc12210，ab10，a(bc)0a0，(ab)c10(2，1)(20，10)反思与感悟此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况下(ab)ca(bc)，即向量运算结合律一般不成立跟踪训练1向量a(1，1)，b(1，2)，则(2ab)a_.答案1解析因为a(1，1)，b(1，2)，所以2ab2(1，1)(1，2)(1，0)，则(2ab)a(1，0)(1，1)1.类型二向量的模、夹角问题例2在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图)已知点A(16，12)，B(5，15)(1)求|，|；(2)求OAB.解(1)由(16，12)，(516，1512)(21，3)，得|20，|15.(2)cosOABcos，?.其中16(21)123300.故cosOAB.OAB45.反思与感悟利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤：(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积(2)利用|a|求两向量的模(3)代入夹角公式求cos，并根据的范围确定的值跟踪训练2已知a(1，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，求的取值范围解a(1，1)，b(，1)，|a|，|b|，ab1.又a，b的夹角为钝角，即1且1.的取值范围是(，1)(1，1)类型三向量垂直的坐标形式例3(1)已知a(3，2)，b(1，0)，若向量ab与a2b垂直，则实数的值为_答案解析由向量ab与a2b垂直，得(ab)(a2b)0.因为a(3，2)，b(1，0)，所以(31，2)(1，2)0，即3140，解得.(2)在ABC中，(2，3)，(1，k)，若ABC是直角三角形，求k的值解(2，3)，(1，k)，(1，k3)若A90，则213k0，k；若B90，则2(1)3(k3)0，k；若C90，则1(1)k(k3)0，k.故所求k的值为或或.反思与感悟利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论跟踪训练3在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，4)，B(2，3)，C(2，1)，若(t)，则实数t_.答案1解析(3，1)，t(32t，1t)，又(2，1)，(t)，(32t)2(1t)(1)0.t1.1已知a(3，1)，b(1，2)，则a与b的夹角为_答案解析|a|，|b|，ab5.cosa，b.又a，b的夹角范围为0，a与b的夹角为.2已知向量，则ABC_.答案30解析|1，|1，cosABC，ABC30.3已知向量m(1，1)，n(2，2)，若(mn)(mn)，则_.答案3解析因为mn(23，3)，mn(1，1)，由(mn)(mn)，可得(mn)(mn)(23，3)(1，1)260，解得3.4已知平面向量a，b，若a(4，3)，|b|1，且ab5，则向量b_.答案解析|a|5，cosa，b1，a，b方向相同，ba.5已知a(4，3)，b(1，2)(1)求a与b的夹角的余弦值；(2)若(ab)(2ab)，求实数的值解(1)ab4(1)322，|a|5，|b|，cosa，b.(2)ab(4，32)，2ab(7，8)，(ab)(2ab)，(ab)(2ab)7(4)8(32)0，.1平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具2应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力3注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10，abx1x2y1y20.4事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误一、填空题1已知a(1，2)，2ab(3，1)，则ab_.答案5解析因为a(1，2)，2ab(3，1)，所以b2a(3，1)2(1，2)(3，1)(1，3)，所以ab(1，2)(1，3)1235.2已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab与b垂直，则|a|_.答案2解析(2ab)b2ab|b|22(1n2)(1n2)n230，n23，|a|2.3若向量a(1，2)，b(1，1)，则2ab与ab的夹角为_答案解析2ab2(1，2)(1，1)(3，3)，ab(1，2)(1，1)(0，3)，(2ab)(ab)9，|2ab|3，|ab|3.设所求两向量夹角为，则cos，0，.4若a(2，3)，则与向量a垂直的单位向量的坐标为_答案或解析设与a垂直的向量为单位向量(x，y)，(x，y)是单位向量，1，即x2y21，又(x，y)表示的向量垂直于a，2x3y0，由得或5已知平面向量a(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m_.答案2解析因为a(1，2)，b(4，2)，所以cmab(m4，2m2)，所以acm42(2m2)5m8，bc4(m4)2(2m2)8m20.因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以，即，所以，解得m2.6已知向量a(1，2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c_.答案解析设c(x，y)，则ca(x1，y2)，(ca)b，2(y2)3(x1)0.又c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0.由解得x，y.7已知a(3，)，b(1，0)，则(a2b)b_.答案1解析a2b(1，)，(a2b)b1101.8已知ABC是边长为1的正三角形，动点M为ABC所在平面内一点，若0，|1，则的取值范围是_答案解析如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系则B(1，0)，C，设M(x，y)，则(x，y)(1，0)x0，由|1得221，所以x0)，则|2，1321322，2，(4，6)，(1，2)(4，6)(5，4)点B的坐标为(5，4)二、解答题11已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1，2)(1)若|c|2，且c与a方向相反，求c的坐标；(2)若|b|，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.解(1)设c(x，y)，由ca及|c|2，可得所以或因为c与a方向相反，所以c(2，4)(2)因为(a2b)(2ab)，所以(a2b)(2ab)0，即2a23ab2b20，所以2|a|23ab2|b|20，所以253ab20，所以ab.所以cos1.又因为0，所以.12已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(1，4)(1)求证：ABAD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值(1)证明A(2，1)，B(3，2)，D(1，4)，(1，1)，(3，3)，又1(3)130，即ABAD.(2)解，四边形ABCD为矩形，.设C点坐标为(x，y)，则(1，1)，(x1，y4)，解得C点坐标为(0，5)由于(2，4)，(4，2)，所以88160，|2，|2.设与的夹角为，则cos0，矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.13平面内有向量(1，7)，(5，1)，(2，1)，点Q为直线OP上的一个动点(1)当取最小值时，求的坐标；(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cosAQB的值解(1)设(x，y)，Q在直线OP上，向量与共线又(2，1)，x2y0，x2y，(2y，y)又(12y，7y)，(52y，1y)，(12y)(52y)(7y)(1y)5y220y125(y2)28.故当y2时，有最小值8，此时(4，2)(2)由(1)知(3，5)，(1，1)，8，|，|，cosAQB.三、探究与拓展14在RtABC中，BCA90，P为边AB上的一点，.(1)若3，试用，表示；(2)若|4，|3，且|6，求的值解(1)3，3()，.(2)以CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(4，0)，B(0，