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谈谈如何在初中数学教学中渗透分类思想灵川大境初中 周汉辉分类思想不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握，它要根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认知水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。所以我们在初中数学教学的过程中要不失时机地渗透其思想，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用。如何在初中数学教学中渗透分类思想，可从以下几个方面入手。一、挖掘教材，培养学生分类的数学思想每个学生在日常生活中都具有一定的分类知识，如班级的分类、性别的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认知基础，把生活中的分类迁移到数学学习中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。结合教学过程，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识，并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。二、掌握方法，培养学生思维的严密性在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以讨论解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。分类的方法常有以下几种：（一）根据概念分类有些数学概念是分类定义的，如实数分类：常分为正数、负数、零；角的分类：锐角、角直、钝角；三角形的分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；等腰三角形分类边与角的分类：边分为腰与底；角分为顶角与底角；四边形分类；代数式的分类；方程的分类；函数的分类等。所以应用这些概念解题时，就需进行分类讨论。有些数学概念在下定义时已经对所考虑的对象的范围作了限制（如二次方程，要求二次项系数不为零），当解题过程的变换需要突破这些限制时，就必须分类讨论。例2：已知等腰三角形的两边长分别为5cm 与 6cm，则其周长为多少？分析：因为等腰三角形的边有两类，已知等腰三角形的两边长没有明确给出腰与底，故分两类讨论。由三角形三边关系进行判定两类情况都可构成三角形。所以有：（1）当腰为5cm时，那么底为6cm，则等腰三角形的周长为16cm ；（2）当腰为6cm时，那么底为5cm，则等腰三角形的周长为17cm 。（二）根据数学运算的适用范围分类有些数学运算的进行需要一定的条件，如零不能作除数，不等式两边同乘以或除以（0除外）某数时必须考虑正负等，若在运算中要突破该运算的限制条件，就要进行分类讨论。例3、解不等式 (a+1)xa2 -1如果不加区分，得xa1，那就不对了，因为既可以a+10，或a+1=0，也可以 a+10。不同的情况下有不同的答案。当a+10 即a-1时，则x(a2-1) / (a+1)= a 1当a+1=0即a= -1时，原不等式为0x0，故不等式无解当a+10 即a-1时，则x(a2-1) / (a+1)=a-1这里将a划分成三类：a-1，a = -1，a-1，分别处理，才获得正确的解。（三）根据图形的位置变化关系而进行分类讨论有些几何问题，因图形的位置不能确定或形状不能确定，就必须分类全面讨论。如点与直线位置关系、直线与直线的位置关系、点与圆的的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、圆周角、弦切角的证明、三角形相似中对应顶点的对应性的讨论等。例4：已知半径为a的两圆外切，半径为2a且和这两圆都相切的圆共有（）个。此题在解题时要考虑各种可能的情况。和这两个圆同时相切的圆可分为以下三类：同时外切（有2个）；同时内切（有1个）；以及一个内切一个外切（有2个）。故共有满足条件的圆共有5个。 如在证明圆周角定理时。由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。（如上图）先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条边上）的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。教材中在证明弦切角定理：（弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。）时，也是如此分圆心在弦切角的一条边上，弦切角的内部、弦切角的外部三种不同情况解决的。三、引导分类，培养学生合理解题的能力 一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。例5、已知函救y（m-1）x2（m-2）x1（m是实数）。如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值。分析：这里从函数分类的角度讨论，分 m1=0 和 m-10 两种情况来研究解决问题。解：当ml 时函数就是一个一次函数yx1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。当m1时，函数就是一个二次函数y（m1）x 2（m2）x1当(m-2)2+4（m1）=0，得 m=0 。抛物线 y= - x22x1，的顶点（1，0）在x轴上。当此函数的图象和x轴只有一个交点时，m=0或m=1。例6、平面上A、B两点到直线k距离分别是与，则线段中点C到直线k的距离是（ ）。 分析：点A、点B与直线k的位置关系有两种情形：A、B点在直线k的同侧或异侧。解：）如图，当点A、B两点在直线k的同侧时，设AMk于M，BNk于N，且AM，BM，C是AB的中点，CPk于P，则CP是梯形AMNB的中位线。 。）如图，当A、B两点在直线k的异侧时，过B作BRAM的延长线交于R，延长PC交BR于Q，则AMCQBN。ACBC，RQBQ，PQBN，CQ= ，CP=PQ-CQ= 线段中点C到直线k的距离是2或 。由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论中，可以激发学生学习数学的兴趣。数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，教师在制订教学目的、采用教学方法时，利用现有教材，着意渗透并力求帮助学生初步