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恒成立问题的一般解法 （一）分离参数法 （二）构造函数法 （三）更换主元法 （四）数形结合法 例1、已知不等式 ax2 -2x + 2a x2对任 意的a(0，+)都成立，求实数x的取 值范围. 一、利用分离参数法解决恒成立问题 已知函数f(x)=ax -lnx . 若f(x)1在 (1，+)上恒成立，求a的取值范围. 解题依据： （1）af(x)恒成立 （2）af(x)恒成立 对于一些含参数的不等式恒成立问题对于一些含参数的不等式恒成立问题 ，如果能够将不等式进行同解变形，将，如果能够将不等式进行同解变形，将 不等式中的变量和参数进行剥离，即使不等式中的变量和参数进行剥离，即使 变量和参数分别位于不等式的左、右两变量和参数分别位于不等式的左、右两 边，则可将恒成立问题转化成函数的最边，则可将恒成立问题转化成函数的最 值问题求解。值问题求解。 注意：对这类题要注意看函数能否取得 最值，因为这直接关系到最后所求参数 的取值. 例2、设函数f(x)=tx2+2t2x+t -1(xR，t0) （1）求f(x)的最小值h(t)； （2）若h(t)0 对满足 0x1的所有实数x都成立，求m的取值 范围. 求解恒成立问题时，可依据不等式的特 征先构造出某个区间上的函数，再利用函数 的性质解题。 （2）若构造二次函数，可利用二次函数的 图象特征、判别式等求解。 （1）形如f(x)g(x)(xI)的恒成立问题，可 构造函数h(x)=f(x)-g(x)，则原不等式等价于 h(x)0(xI)恒成立，继而可利用导数研究函 数h(x)的单调性、极值，便可求解； 例3、已知不等式 ax2 -2x + 2a x2对任 意的a(0，+)都成立，求实数x的取 值范围. 三、利用更换主元法解决恒成立问题 对于0p4的一切实数，不等式 x2+px4x+p -3 恒成立，求x的取值范围. 对于一次函数f(x)=kx+b，xm，n有： 当不等式中出现参数时，我们往往 以自变量为主元，有时易致使解题思路 受阻，解题过程不畅。若将题中已知范 围的参数与自变量“主、客转化”，问题 就会变得简单。 四、利用数形结合法解决恒成立问题 例4、若不等式3x2 -logax g(x)对一切xI恒成立等价 于f(x)的图象在g(x)的图象上方. 一般地，解决不等式恒成立问题的思想方法一般地，解决不等式恒成立问题的思想方法 是：分类讨论、数形结合、参数分离、变换是：分类讨论、数形结合、参数分离、变换 主元等。主元等。 这节课我们学习了解决恒成立问题的一般 法。
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