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高难拉分攻坚特训(六)1设函数f(x)x33x2ax5a，若存在唯一的正整数x0，使得f(x0)0，得x2，故g(x)在(，0)，(2，)上单调递增，由g(x)0，得0x2，故g(x)在(0,2)上单调递减，画出函数g(x)和h(x)的大致图象如图所示，h(x)过定点(1,0)由图可知要使存在唯一的正整数x0，使得f(x0)0，即存在唯一的正整数x0，使得g(x0)h(x0)，只需即解得b0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1，1，由此可得1，因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23，因此a26，b23.所以M的方程为1.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为yxn，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260，于是x3,4.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|x4x3|.由已知得，四边形ACBD的面积S|CD|AB|.当n0时，S取得最大值，最大值为，所以四边形ACBD面积的最大值为.4已知函数f(x)x21aln (1x)，aR.(1)若函数f(x)为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)存在两个极值点x1，x2，且x1.解(1)由题意可知，函数f(x)的定义域为(，1)，f(x)2x(x0，即a，当x(，x1)时，f(x)0，f(x)单调递增，不合题意综上，a的取值范围为.(2)证明：因为函数f(x)有两个极值点，所以f(x)0，在x1上有两个不等实根即2x22xa0在(，1)有两个不等的实根x1，x2，设x1x2，0a，x1，x2(1x1)2x1ln (1x1)，同理：(1x2)2x2ln (1x2)设g(x)(1x)2xln (1x)，x(0,1)，则g(x)12ln (1x)，设h(x)12ln (1x)，x(0,1)，h(x)0，在(0,1)上恒成立，所以h(x)为(0,1)上的减函数h(x)h
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