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7 第二章第二章 一元非线性方程数值解法习题及解答一元非线性方程数值解法习题及解答 2.1 用二分法求方程01 3 = xx在1, 2的近似根，要求误差不超过 3 10 2 1 至少要二 分多少？ 解：给定误差限0.510 3，使用二分法时，误差限为 )( 2 1 1 * abxx k k + 只要取 k 满足0, 所以1, 2是有根区间。又 2 , 1, 0323)( 2 +=xxxxf，所以方程 f(x)=0 在1, 2仅有一根。 计算5 . 1 2 21 0 = + =x，f(1.5)=1.8750 有根区间1.5, 1.75 625 . 1 2 75 . 1 5 . 1 2 = + =x f(1.625)=-0.9380，f(1)=sin1 = x f 迭代发散。 （4）令1)( 3 =xxf，则 2 1 32 ) 1()( =xxxf，由于 1 15 . 1 5 . 1 1 )( 3 2 3 2 = = x x xf 迭代发散。 具体计算时选第二种迭代格式， 9 3 2 1 1 kk xx+= + n=0,1, 计算结果如下： 4727057. 1,481248. 1, 5 . 1 210 =xxx 466243. 1,4670480. 1,4688173. 1 543 =xxx 4656344. 1,4657102. 14658768. 1 876 =xxx 4656000. 1 9 =x 4656000. 1,10 2 1 9 4 89 = xxx 2.5 对于迭代函数)2()( 2 +=xCxx，试讨论： （1） 当 C 取何值时，), 2 , 1 , 0(),( 1 L= + kxx kk 产生的序列 k x收敛于2； （2） C 取何值时收敛速度最快？ 解： （1）)2()( 2 +=xCxx，Cxx21)(+=，由已知条件知，当 1221)2(0 由提意可知 x x24)(=，2ln2)( x x= 对)2 , 1 (x时 12ln2)(= x x 说明方程不能用迭代格式 k x k x24 1 = + 求解 若将原方程写成x x = 42，两边取对数得 )()4ln( 2ln 1 xxx=，则 x x = 4 1 2ln 1 )( )2 , 1 (, 1 4 1 2ln 1 4 1 2ln 1 )(0, 1 . 2 , 0, 0)2(1)( 2 1 += xxxf,故方程 f(x)有唯一根。迭代函数 xx+=2)( 2 1 )2( 2 1 )( +=xx 对于1 . 2 , 0x，有 1 2 1 2 1 )(Lx（L为常 数） ，试问如何将)(xx=化为适合于迭代的形式？ 解：因为 )( 1 ) )( 1 x x = ，故当1)(Lx时， 1 )( 1 ) )( 1 = x x 将)(
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