2016_2017学年高中数学第1章解三角形1.2.2余弦定理学案苏教版.docx

第2课时余弦定理(2)1理解余弦定理，能用余弦定理确定三角形的形状2熟练边角互化(重点)基础初探教材整理射影定理和平行四边形的性质定理阅读教材P16P17，完成下列问题1射影定理在ABC中，(1)bcos Cccos Ba；(2)ccos Aacos Cb；(3)acos Bbcos Ac.2平行四边形性质定理平行四边形两条对角线平方的和等于四边平方的和特别地，若AM是ABC中BC边上的中线，则AM.1在ABC中，若BC3，则ccos Bbcos C_.【解析】ccos Bbcos CBC3.【答案】32若ABC中，AB1，AC3，A60，则BC边上的中线AD_.【解析】在ABC中，由余弦定理可知BC.AD.【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型利用正、余弦定理解决实际问题某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10 n mile/h的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14 n mile/h的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？【精彩点拨】先画出示意图，再借助正、余弦定理求解【自主解答】如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x h后在B处追上走私船，则CB10x，AB14x，AC9，ACB7545120，由余弦定理，得(14x)292(10x)22910xcos 120，化简得32x230x270，即x或x(舍去)，巡逻艇需要1.5 h才追赶上该走私船BC10x15，AB14x21.在ABC中，由正弦定理，得sinBAC.BAC3813，或BAC14147(钝角不合题意，舍去)，3813458313.答：巡逻艇应该沿北偏东8313方向去追，经过1.5 h才追赶上该走私船准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、方位角等，将要求解的问题归纳到一个或几个三角形中，通过合理运用余弦定理等解三角形的有关知识，建立数学模型，然后正确求解再练一题1两船同时从A港出发，甲船以20 n mile/h的速度向北偏东80的方向航行，乙船以12 n mile/h的速度向北偏西40方向航行，求一小时后，两船相距多少n mile.【解】一小时后甲船到B处，乙船到C处，如图，ABC中，AB20，AC12，CAB4080120，由余弦定理，得BC220212222012cos 120784，BC28(n mile)即一小时后，两船相距28 n mile.利用正、余弦定理判断三角形的形状在ABC中，已知(abc)(abc)3ab，且2cos Asin Bsin C，试确定ABC的形状. 【导学号：91730012】【精彩点拨】(abc)(abc)3ab求C；2cos Asin Bsin C求A与B的关系【自主解答】(abc)(abc)3ab，a2b2c2ab，2abcos Cab，cos C，C.法一：又2cos Asin Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0，AB，ABC，ABC为等边三角形法二：由2cos Asin Bsin C可知2bc，即b2a2，ab，ABC，ABC为等边三角形利用正、余弦定理判定三角形形状的策略再练一题2在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状【解】法一根据余弦定理得b2a2c22accos B.B60，2bac，2a2c22accos 60，整理得(ac)20，ac.又2bac，2b2a，即ba.ABC是正三角形法二根据正弦定理，2bac可转化为2sin Bsin Asin C.又B60，AC120，C120A，2sin 60sin Asin(120A)，整理得sin(A30)1，A60，C60，ABC是正三角形探究共研型利用正、余弦定理度量平面图形探究1在ABC中，若ADBC，则ABcos BACcos C的值为多少？【提示】如图，易知ABcos BBD，ACcos CCD，又BDCDBC，故ABcos BACcos CBC.探究2在ABC中，若AD是BAC的平分线，则BD与DC有什么关系？【提示】BDDCABAC.探究3在ABC中，若AD是BC边上的中线，则AD与AB，AC，BC间存在怎样的等量关系？【提示】4AD22(AB2AC2)BC2.(2015全国卷)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长【精彩点拨】(1)利用正弦定理和三角形的面积公式求解即可(2)利用余弦定理和(1)中得到的结论求解【自主解答】(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD.因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理，得.(2)因为SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理，知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26.由(1)，知AB2AC，所以AC1.1平面几何中的面积、长度问题常借助正、余弦定理求解，合理转化已知条件是求解此类问题的关键2求解此类问题要特别注意隐含条件的挖掘，如(1)中隐含角平分线的性质定理；(2)中隐含着ADBADC180.再练一题3.如图121，ABC中，ABAC2，BC2，点D在BC边上，ADC45，求AD的长度图121【解】在ABC中，ABAC2，BC2，由余弦定理，得cos C，sin C.在ADC中，由正弦定理得，AD.构建体系1在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a4bsin A，则cos B_.【解析】a4bsin A，由正弦定理知sin A4sin Bsin A，sin B，cos B.【答案】2若平行四边形两邻边的长分别是和，它们的夹角是45，则这个平行四边形的两条对角线的长分别是_【解析】两条对角线的长分别为和.【答案】3已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，经测量，ABC120，则A，C两地的距离为_ km. 【导学号：91730013】【解析】AC210220221020cos 120，AC10.【答案】104在ABC中，B60，b2ac，则ABC的形状为_【解析】b2a2c22accos 60a2c2ac，a2c2acac，a22acc20，ac.又B60，ABC为正三角形【答案】正三角形5如图122所示，在四边形ABCD中，BC20，DC40，B105，C60，D150，求：图122(1)AB的长；(2)四边形ABCD的面积【解】(1)连结BD，因为ABC105，C60，ADC150，所以A3601056015045.在BCD中，BD2BC2CD22BCCDcos C202402220401 200，于是BD20.因为BD2BC2CD2，所以CBD90.所以ABD1059015，ADB1804515120.在ABD中，所以AB30.(2)因为sin 15sin(4530)，所以四边形ABCD的面积S四边形ABCDSDBCSDBA2020203050(9)我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1在ABC中，若B60，且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为_【解析】在ABD中，ABD60，AB1，BD2，由余弦定理得AD23，故AD.【答案】2如图123所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为_ km.图123【解析】CACBa，ACB1802040120，AB2AC2CB22ACCBcos ACB，即AB2a2a2a23a2，ABa.【答案】a3如图124所示，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是_图124【解析】由余弦定理：x293x13，整理得x23x40，解得x4或x1(舍去)【答案】44在钝角ABC中，a1，b2，则最大边c的取值范围为_【解析】在钝角ABC中，由于最大边为c，所以角C为钝角所以c2a2b2145，即c，又因cab123，所以c0，cx所对的最大角变为锐角【答案】锐角三角形6(2016南通高二检测)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若SABC，则角C的大小为_. 【导学号：91730014】【解析】SABC，absin C2abcos C，tan C1，又C(0，)，C.【答案】7(2016扬州高二检测)在ABC中，AB7，BC5，AC6，则AB等于_【解析】由余弦定理得cos B.B|cos B7519.【答案】198在ABC中，若sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，则A的取值范围是_【解析】由正弦定理，得a2b2c2bc，即b2c2a2bc，2bccos Abc，cos A.又A(0，)且ycos x在(0，)上是减函数，故A.【答案】二、解答题9ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos A.(1)求；(2)若cb1，求a的值【解】由cos A，得sin A.又bcsin A30，bc156.(1)bccos A156144.(2)a2b2c22bccos A(cb)22bc(1cos A)1215625，a5.10(2016苏州高二检测)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，并且a2b(bc)(1)求证：A2B.(2)若ab，判断ABC的形状【解】(1)证明：由a2b(bc)得a2b2bc，又cos B，2sin Acos Bsin Bsin Csin Bsin(AB)即sin Bsin(AB)，BAB或ABB，A2B或A不成立，故A2B.(2)ab，.又由a2b(bc)可得c2b，cos B，所以B30，A2B60，C90，ABC为直角三角形能力提升1(2015天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ABC的面积为3，bc2，cos A，则a的值为_【解析】在ABC中，由cos A可得sin A，所以有解得【答案】82如图125，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，则sin C_.图125【解析】设ABa，则ADa，BD，BC2BD，cos A，sin A.由正弦定理知sin Csin A.【答案】3在ABC中，若lg alg clg sin Alg，并且A为锐角，则ABC为_三角形【解析】lg alg clg sin Alg，sin A.A为锐角，A45，sin Csin Asin 451，C90.【答案】直角4.如图126所示，甲船以30 n mile/h的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75方向的B1处，此时两船相距20 n mile，当甲船航行20 min到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏