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初二数学同步辅导教材（第8讲）【教学进度】3.7 3.8【教学内容】1三角形全等的判定（三） 2直角三角形全等的判定【重点、难点剖析】一、三角形全等的判定（三） 1边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等。 2三角形全等的判定方法有：定义、边角边公理、角边角公理、角角边推论、边边边公理，但要注意不能用边边角或角角角判定三角形全等。 3灵活应用各公理及推论证三角形全等。 如果有两条边对应相等，还应寻找它们的夹角或者第三边对应相等。如果有一个角和一条边对应相等，还应寻找一个角或者相等的另一边。如果有两个角对应相等，还应寻找一条边对应相等。二、直角三角形全等的判定 1斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 2直角三角是特殊的三角形，它具备一般三角形所没有的特殊性质。对于直角三角形来说“斜边、直角边”公理，就是由直角三角形的特殊性决定的，这个公理为直角三角形所独有，对于一般三角形是不能成立的，直角三角形作为三角形，一般三角形全等的判定方法对其仍适用，故判定直角三角形全等的方法有：定义、SAS、ASA、AAS、SSS及HL。 例1已知：如图1，FD=EB，AB=CD，AD=BC，求证：E=F 分析：要证E=F，需证AEDCFB，由于AD=BC，AE=CF，还缺A=C条件，因此还要证A和C所在的两个三角形全等，即ABDCDB，故需连结BD，添置辅助线。 证明：连结BD 在ABD和CDB中， ABDCDB （SSS） A=C（全等三角形的对应角相等） AB=CB，BE=DF（已知） AE=CF 在AED和CFB中 AEDCFB（SAS） E=F（全等三角形的对应角相等） 例2如图2所示，在ABC和中，AB=，AC=，M是BC中点，是中点，AM=，求证：ABC 证明：延长AM至D，使MD=AM；连结BD，延长到，使=，连结 在AMC和DMB中， AMCDMB（SAS） AC=BD（全等三角形对应边相等） 同理可证 BD= AM=MD（画图） （画图） AM=（已知） AD=2AM=2=（等式性质） 在ABD和中， ABD（SSS） BAD=（全等三角形对应角相等） 同理可证：CAD= BAC=BAD+CAD=+= 在ABC和中， ABC（SAS） 点评：在证三角形全等问题时，当有三角形一边的中线的情况下，常常延长中线成二倍关系，也常利用中线证明三角形全等。 例3如图3，AD是ABC的中线，DEAB于E，DFAC于F，且BE=CF， 求证：（1）AD是BAC的平分线 （2）AB=AC 分析：要证1=2，需证1，2所在的两个三角形全等，即证RtDAERtDAF,由于AD是公共边，若证出DE=DF，就可用HL证全等，ED和DF分别在RtBED和RtCFD中，所以只需证出RtBEDRtCFD即可。 证明:(1) AD是ABC的中线（已知）D BD=CD 在RtEBD和RtFCD中 RtEBDRtFCD(HL) DE=DF(全等三角形的对应边相等) 在RtAED和RtAFD中， RtAEDRtAFD(HL) 1=2(全等三角形的对应角相等) 即AD是BAC的平分线 （2）RtAEDRtAFD(已证) AE=AF（全等三角形的对应边相等） 又 BE=CF（已知） AB=AC 例4如图4所示，已知：ABC中，BAC=900，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BDAE于D，CEAE于E 求证：BD=DE+CE 分析：欲证BD=DE+CE，只需证BD=AE，AD=CE，由此只需证RtABD与RtACE全等，由已知AB=AC，只需证ABD=CAE，由ABD+BAD=CAE+BAD=900，易知ABD=CAE 证明：BDAE于D，CEAE于E（已知） ADB=AEC=900（垂直定义） BAC=900、ADB=900（已知） ABD+BAD=CAE+BAD ABD=CAE（等角的余角相等） 在ABD和CAE中， ABDCAE（AAS） BD=AE， AD=CE（全等三角形对应边相等） AE=AD+DE BD=CE+DE 点评：在证明直角三角形全等时，并不一定总是用“HL”公理。适合证明三角形全等的方法，如SAS、ASA、AAS、SSS等同样适用于直角三角形。【巩固练习】一、选择题 1下列命题中，错误的命题是（ ） （A）两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等。 （B）两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等。 （C）两边和第三边上的中线对应相等两个三角形全等。 （D）两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等。 2如图所示，已知：ABDC，ADBC，BE=DF，则图中全等三角形的总对数是（ ） （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 3在ABC和DEF中：AB=DE；BC=EF；AC=DF；A=D；B=E；C=F，以下不能保证ABCDEF的条件是（ ） （A）满足 （B）满足 C）满足 （D）满足 4下列各组几何图形中，一定全等的是（ ） （A）各有一个角是550的两个等腰三角形 （B）两个等边三角形 （C）腰长相等的两个等腰直角三角形 （D）各有一个角是500的腰长都为5cm的两个等腰三角形 5下面说法不正确的是（ ） （A）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 （B）有两边对应相等的两个直角三角形全等 （C）有两角对应相等的两个直角三角形全等 （D）有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等 6如图所示，点P是BAC内一点，且P到BA、AC的距离PE=PF，则PEAPFA的理由是（ ） （A）HL （B）AAS （C）SSS （D）ASA （第8题）三、证明题 7如图所示，ABC和ADC有公共边AC， E是公共边上一点 （1）已知：1=2，3=4 求证：BCEDCE（第7题）D （2）已知：3=4，5=6 （第9题） 求证：ABEADE （3）已知：AB=AD，BC=DC 求证：ABEADE （4）已知：AB=AD，BE=DE 求证：ABCADC （5）已知：1=2，3=4 求证：7=8 8已知：如图所示，AD/BC，DAB和ABC的平分线交于E，过E的直线交AD于D，交BC于C，求证：DE=EC 9如图所示：以ABC的AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG， AM是ABE的中线，连EG， 求证：EG=2AM10证明：如果两个等腰三角形的腰相等，且底边上的高对应相等，则这两个等腰三角形全等。11求证全等三角形对应边上的高线相等。 12已知两个三角形一边及这边上的中线、高对应相等，求证这两个三角形全等。【参考答案或提示】一、选择题 1D； 2D； 3D； 4C； 5C； 6A二、证明题 7（1）先利用两角夹边对应相等证出ADCABC，再用两边及夹角对应相等，证出BCEDCE； （2）利用两角及夹边对应相等，证出DECBEC，再利用两边及夹角对应相等，证出ABEADE； （3）先利用三边对应相等，证出ABCADC，再利用两边及夹角对应相等，证出ABEADE； （4）先用三边对应相等，证出ABEADE，再用两边及夹角对应相等，证出ABCADC； （5）先用两角及夹边对应相等，证出ABCADC，再用两边及夹角对应相等，证出BECDEC，从而得7=8 8在AB上截取AF=AD，利用两边及夹角对应相等，证出DAEFAE，则DE=EF，D=AFE，又AFE+BFE=1800 ，D+C=1800 （ADBC），可得BFE=C，再利用两角一边对应相等，证出FBECBE从而得FE=CE，从而得DE=CE。 9延长AM到N，使MN=AM，则AC=BN，ABN=900，证明EAGABN，得EG=AN=2AM 10已知，在ABC和中，AB=AC=，交BC于D，交于，求证：AD=证明要点：