地沟油的识别问题数学建模.doc

地沟油的识别问题摘要本文研究根据题中所给已知优质油和地沟油的七种化学物质成分的含量的数据，建立数学模型，从而判别未知类别的样本的质量的问题。并在保证一定的准确率的情况下，减少化验指标数，达到降低检测成本的目的。首先，本文据对题干和问题一的分析知，待解决的是模式分析中的判别问题，需要判别的对象只有两类，故针对问题一建立模型一，使用fisher判别分析法，通过MATLAB软件制作fisher判别分析器。问题二即在模型一的基础上代入未知类别的样本数据，计算结果见表。表【1】：编号85100的样本质量检测情况序号8586878889909192质量优质油优质油优质油优质油优质油优质油优质油优质油序号93949596979899100质量地沟油地沟油地沟油地沟油地沟油地沟油地沟油地沟油针对问题三，需要减少化验指标数，则要找出对样品质量影响较大的成分，对此采用线性相关分析的方法，利用spss软件分别求出各成分与样品质量之间的相关系数见下表，根据具体的要求的检测项目，按系数的大小进行选择表【2】各成分与样品质量之间的相关系数成分类别成分4成分7成分1成分6成分3成分5成分2相关系数0.7710.6880.4160.2810.1670.1220.058本文在模型简化中，假设两种油的质量区分明显，在检测未知类别的数据时，降低了由数据本身造成的错误率。模型一在建立后对已知类别的样本数据进行检测的时候，准确率达到92%以上，使得模型的可信度较高。在模型二的建立中采用线性相关分析的方法，使得结果客观和清晰的体现变量和因变量之间的关系。关键词：fisher判别法 MATLAB软件 相关系数 spss软件一、问题重述问题背景：地沟油，泛指在生活中存在的各类劣质油，如回收的食用油、反复使用的炸油等。地沟油最大来源为城市大型饭店下水道的隔油池。长期食用可能会引发癌症，对人体的危害极大。本文将研究讨论，根据题目所给的数据和要求建立模型来判别样品的优劣，并对模型进行优化和评价。问题要求：本文将研究讨论，根据题中所给已知优质油和地沟油的七种化学物质成分的含量的数据【数据见附录一】，建立数学模型，对性质未知的样本进行检测判别；并在一定保证准确率的条件下减少化验指标数，降低检测成本。需要解决的问题：（1） 问题一：建立判别地沟油的数学模型，并对你建立的模型进行评价。（2） 问题二：利用你所建立的模型对编号85-100的样品进行判别。（3） 问题三：化验7种化学物质含量花费较大，能否在保证一定的准确率条件下，减少化验指标数。二、问题分析分析题目的特点：样本容量大、样本特征多元化(对其七种化学成分含量进行了检测)，属于统计判别类型。故初步考虑fisher线性判别分析、多元统计分析、贝叶斯判别分析和人工智能化等可行方法。针对问题一：如上分析，fisher线性判别分析可对特征数据分类明确的样本进行有效的判别，其基本思想是，通过寻找一个投影方向(线性变换，线性组合)，将高维问题降低到一维问题解决，并且要求变换后的一维数据具有如下性质：同类样本尽可能聚集在一起，不同的样本尽可能地远。采用fisher线性分析，就是通过给定的样本数据，确定投影方向和阈值,即确定线性判别函数，然后根据这个线性判别函数，对测试数据进行测试，得到测试数据的类别。针对问题二：问题二是在问题一建立的模型基础上，代入样本数据进行判别的过程，从而鉴定未知类型样品的优劣。故利用模型二的程序，代入编号85100的样本数据，计算即可。针对问题三：据问题三的要求，在保证一定的准确率下减少化验指标数，则要求剩下的化验指标即化学物质成分含量更能体现样品的特征，即优劣样品中此成分的含量区别度较大。则可以利用表格，分别对已知类别的样品的成分含量进行直观的体现。 三、模型假设与约定1：假设题中所给的七种化学成分能最大程度上代表样品的特性2：假设题中所提供的两种油的质量区别明显3：假设样本的成分含量都在相同的条件下测得四、符号说明及名词定义表示样本种类样本个体数类样本均值向量类样本总数类样本内离散度矩阵总类离散度矩阵样本间离散度矩阵投影后的一维空间中，类样本均值向量投影后的一维空间中，总内离散度矩阵投影后的一维空间中，样本间离散度矩阵阈值投影方向五、模型建立模型一由上述条件知，本模型采用fisher线性判别分析法，根据其原理：将高维问题降低到一维问题解决，即将题中的七种化学物质的成分含量，通过分析方法转换成一个可以判别样品类别的数值。则需要利用已知类别的数据确定判别的基准值，将未知类别的样本数据带入算法中得到待判别的值，根据判别规则，则可得到结果。Fisher线性判别的决策规则为：线性判别函数的一般方程式 和各类样本的均值向量各类样本的离散度矩阵和样本的总离散度矩阵样本间的离散度矩阵在投影后的一维空间中，各类样本的均值向量在一维空间中，各类样本的离散度矩阵在一维空间中，样本的总离散度矩阵和样本间的离散度矩阵 Fisher准则函数满足两个性质：投影后，各类样本内尽可能密集，及总类离散度越小越好。投影后，各类样本尽可能远离，及样本间离散度越大越好。根据这个性质确定准则函数：可确定函数取最大值时候的解： 阈值的确定：实验中采取的方法：对于一个未知类型的样本向量，如果，则为优质油，反之为地沟油。综上所述得到问题一的最优化模型：模型二问题二即模型一的延伸，故对问题三中情况建立模型二。要减少化验的项目数，即要减去对样品分析影响较小的成分指标项，留下影响较大的指标项。则要对各成分分别进行分析，考虑使用相关分析的方法。相关分析是研究变量间密切程度的一种常用统计方法，线性相关分析研究两个变量间线性相关程度，相关系数是描述这种线性关系程度和方向的统计量。如果一个变量Y可以确切地用另一个变量X得到的线性函数表示，那么。两个变量间的相关系数是介于+1和1之间。如果变量Y随X的增、减而增、减，及变化的方向一致，这种相关为正相关，其相关系数大于零；反之，变化方向相反，则为负相关，相关系数小于零。在本文中，变量X可看作是各化学物质成分，Y可看作是样品的质量。各成分对应的相关系数，即对样品质量的影响程度不一样，由此可以筛选出符合要求的成分指标。六、模型求解模型一的求解模型一中用到Fisher线性判别函数法，则用MATLAB程序来设计一个Fisher线性分类器，即使用模型一中的求解函数，植入MATLAB软件中源代码见附录二，生成判别分类器。将编号85100的样本数据代入程序中并制成下表。表【3】：编号85100的样本质量检测情况序号8586878889909192质量优质油优质油优质油优质油优质油优质油优质油优质油序号93949596979899100质量地沟油地沟油地沟油地沟油地沟油地沟油地沟油地沟油模型二的求解模型二中的相关分析问题考虑spss软件中统计分析和图表分析功能，对输出结果清晰、直观的表现，将数据代入spss软件中源代码见附录三，得到影响判别的各成分的相关系数，其结果见下表。表【5】各成分与样品质量之间的相关系数成分4成分7成1成分6成分3成分5成分2相关系数0.7710.6880.4160.2810.1670.1220.058根据相关分析的原理知：成分类别与样品质量之间的相关系数越大，该成分对样品质量判别的影响越大，由上表数据知，根据需求依次取成分4、7、1、6、3、5、2等指标项，模型二中取成分1、4、7三项作为检测的指标。七、模型分析本文模型一采用fisher线性判别法，题目中只是简单的两类判别，即判别的条件之用分为两类的情况。虽然模型假设中，假设了样品的质量区分明显，根据要求只需将样本分到两类中即可，不用考虑到该成分计算得的待判别值与阈值相等或者极度接近的情况，此种情况中样品的质量不可分类，但是为了简化模型此点忽略。将编号184的样本数据代入程序中，检验模型一的准确率，有六组数据异常，与题目给出的样品质量分类不同，即准确率为92.86%。将编号184的样本数据代入程序中源代码见附录三，检验模型二的准确率，有八组数据异常，即准确率为90.48%。分析可知，在所检测成分都与样品质量都相关的情况下，进行检测的指标数越多，则更体现样品的特性。分析模型的准确率问题，上述简化模型会对准确率有影响；另一方面，原始数据对于模型也有影响。下面用图的方式(横坐标表示编号，纵坐标表示成分含量)分别对各成分的含量进行直观的分析。由下图易看出，成分1、4、6、7中编号160和编号6184的坐标点有明显区分，而成分2、3、5中编号160和编号6184的坐标点区别不明显。值得注意的是图中有个别数据反常的点，其纵坐标都远远超出同类数据的值，这些异常点对于模型的基准值即阈值有偏差性影响。另外题中所给的样本数据还较少，对于准确确定函数的阈值有影响。图【1】：成分1的含量值图【2】：成分2的含量值图【3】：成分3的含量值图【4】：成分4的含量值图【5】：成分5的含量值图【6】：成分6的含量值图【7】：成分7的含量值八、模型评价优点：1. 采用fisher判别分析可以使不同类别的样本特性，能在一维中清晰的分别开，表达结果直观明了。2. 模型二采用线性相关分析的方法，利用相关系数，比层次分析法更客观的体现变量和因变量之间的联系。缺点：1. 使用spss软件对于数据的分析参考数较少，说服力不太强。2. 本模型中未考虑各成分间的相关性。3. 比较遗憾的是本模型未对检测数据进行结果可信度的计算。改进方法：1. 增加已知类别的样本数据，提高阈值的准确度。2. 可采用多元统计分析的方法，利用多元素的分析过程对双元素进行检验。3. 后期处理数据的时候，根据由未知数据计算得的函数值，与阈值的偏差 程度相比较，得到一个描述可信度的值。九、模型推广本文利用的是统计和相关分析的方法，来确定变量对于因变量的影响。此处值是分析判别两类的简单应用，推广开来，对于评测影响经济，社会，民生等复杂、具体的因素时，有更好的分析作用。十、参考文献卓金武，魏永生，秦健，李必文 NATLAB在数学建模中的应用 北京:航空航天大学出版社 2011.4十一、附录附录一表【6】：样品的七种化学物质成分的含量编号成分1成分2成分3成分4成分5成分6成分7118.12 25.61 18.87 27.86 24.21 26.66 81.94 212.40 22.23 18.16 26.78 19.41 28.51 77.57 313.27 22.61 15.60 31.04 25.97 29.79 75.10 418.31 24.57 20.44 23.37 23.07 28.88 80.32 516.63 23.94 22.37 23.05 22.74 29.60 77.79 618.36 24.86 16.35 30.64 40.10 27.74 84.46 716.89 24.02 23.97 24.91 19.35 27.91 84.06 813.50 21.78 17.45 28.64 22.73 28.20 78.93 913.08 21.82 17.24 28.40 38.56 26.18 75.25 1017.98 24.44 15.22 28.16 16.35 31.27 81.71 1112.49 21.45 15.55 30.14 26.21 28.01 83.37 1219.44 25.74 15.05 27.89 16.76 29.58 84.71 1317.96 25.91 19.10 27.12 28.98 26.03 75.57 1416.08 130.45 22.95 23.66 24.90 25.53 79.50 1515.01 23.08 19.63 27.65 26.78 27.79 80.82 1616.37 22.92 20.65 24.25 21.38 27.42 81.87 1728.20 30.50 22.16 24.86 24.42 30.75 82.19 1814.58 23.55 10.26 34.30 31.54 29.39 81.50 199.18 19.10 17.48 25.90 9.80 29.24 82.27 2022.17 27.74 19.09 26.42 13.53 24.68 78.74 2117.28 23.58 20.22 27.96 25.41 25.77 80.82 2212.58 21.88 13.96 30.30 19.20 28.46 76.16 2324.79 28.64 14.88 28.89 21.28 27.20 75.58 2417.06 24.14 20.45 25.88 14.32 30.97 84.80 2516.10 24.82 17.64 26.82 17.75 31.08 77.85 2612.09 23.00 19.71 26.42 20.66 230.87 80.95 2711.02 21.03 15.02 29.07 18.79 30.01 84.62 288.38 18.56 12.94 30.87 17.97 31.21 76.86 2913.42 21.99 20.36 25.95 20.55 28.74 76.93 3011.06 20.51 21.70 26.43 17.53 31.73 78.42 3117.42 23.83 23.06 23.86 30.78 30.44 84.33 3213.81 21.77 13.25 33.42 17.27 28.49 78.91 3321.62 26.45 13.86 26.80 33.54 30.02 77.73 3420.65 27.06 13.43 29.77 20.83 28.45 76.52 3515.61 22.93 17.87 27.49 14.58 27.05 78.97 3613.94 22.30 16.09 27.07 19.41 28.82 78.75 3719.31 25.85 22.07 21.73 28.42 28.08 76.31 3810.71 21.45 13.49 31.51 29.12 27.16 79.35 3917.52 24.56 12.60 32.19 23.93 32.07 75.92 4012.50 22.27 18.64 26.99 24.67 28.51 81.15 4113.50 22.70 21.70 24.81 26.67 34.28 75.11 4212.49 240.00 15.51 27.46 14.54 27.32 80.73 4317.15 24.34 14.08 29.19 19.63 29.30 82.90 4412.09 21.34 17.54 27.18 12.39 31.64 77.35 4511.02 20.46 12.93 29.76 20.40 34.28 79.48 4617.07 24.41 18.05 27.51 28.51 28.70 80.69 4713.42 22.22 20.57 28.98 27.16 26.18 75.61 4816.35 23.59 18.67 25.67 36.27 29.85 79.96 4913.68 22.48 12.08 32.64 23.97 24.96 81.42 5016.01 24.06 16.34 26.55 10.49 27.37 77.21 515.40 18.28 17.06 29.96 32.80 28.63 83.37 5216.74 24.00 23.62 21.05 30.44 31.43 84.71 5323.34 29.79 14.97 17.24 22.67 14.86 93.46 5418.92 25.63 16.72 15.14 28.95 19.12 90.06 5521.79 29.80 16.27 16.69 13.77 12.67 87.79 5618.03 24.67 16.15 16.39 27.04 16.67 92.47 5720.99 27.78 17.05 15.44 219.00 16.00 87.37 5824.78 30.71 16.22 16.06 15.12 14.87 94.57 5919.47 25.19 16.25 15.55 26.88 16.61 91.20 6018.09 24.87 17.72 14.20 23.02 14.81 91.00 6117.49 25.73 17.93 14.10 19.21 17.29 86.73 6221.16 28.20 19.88 10.31 35.27 16.10 85.90 6323.03 27.75 17.36 14.74 25.63 13.54 87.55 6425.41 32.72 17.07 15.76 20.16 12.36 93.59 6519.16 25.05 16.32 15.71 23.11 15.57 94.11 6619.49 25.20 16.77 16.71 21.66 17.72 92.00 6717.09 22.57 16.94 15.58 22.32 16.27 92.25 6823.86 29.13 14.92 17.08 24.45 16.08 87.30 6918.77 24.29 16.70 15.22 16.41 17.03 90.76 7017.57 22.30 238.12 13.70 14.94 13.91 93.11 7125.59 31.78 16.32 16.02 23.74 18.14 89.04 7221.44 27.87 17.58 14.99 35.33 14.66 94.88 7321.16 27.64 18.17 13.34 18.67 16.06 85.90 7415.97 21.33 18.27 13.91 13.30 15.45 88.21 7520.31 26.23 17.92 15.51 19.19 16.22 90.11 7620.57 26.79 14.33 19.02 17.32 13.08 85.61 7715.71 22.00 16.33 16.54 18.51 18.29 92.26 7818.32 26.07 18.07 12.99 24.61 16.82 90.57 7917.78 24.53 17.47 13.96 20.01 19.01 90.29 8020.59 26.35 17.01 15.21 16.48 18.13 93.30 8115.96 22.49 17.52 14.30 17.63 16.02 93.59 8222.29 28.29 18.34 11.93 10.95 14.59 92.89 8324.38 28.42 17.18 13.40 14.47 13.39 88.18 8418.08 20.64 16.10 17.00 10.26 16.03 89.52 8512.94 23.04 16.09 28.90 25.34 29.66 82.52 8610.66 19.66 14.67 29.18 29.92 26.05 76.10 8712.17 21.39 18.91 24.07 13.23 26.17 76.10 8813.79 21.16 21.23 23.90 25.40 29.67 77.70 8910.20 20.54 21.59 22.28 25.91 31.88 80.25 9014.92 21.81 17.21 25.71 23.48 27.11 84.73 9116.36 23.11 17.93 29.62 23.92 26.84 82.10 9211.15 20.62 17.25 27.46 19.94 28.94 88.12 9322.23 28.78 15.95 17.66 8.71 15.49 87.91 9421.92 30.07 17.10 15.69 21.14 14.61 93.50 9519.81 25.20 16.29 14.64 17.76 16.01 94.12 9617.09 21.99 16.56 14.99 5.54 17.71 91.39 9720.90 25.77 16.01 15.72 10.90 16.64 87.55 9818.76 24.34 16.67 16.03 18.57 16.27 85.89 9923.15 29.32 21.22 9.66 27.27 16.99 93.38 10014.75 20.49 21.03 9.53 19.26 16.88 90.85 附录二模型一源代码clear clc%-样本数据-A=18.12 25.61 18.87 27.86 24.21 26.66 81.94 12.40 22.23 18.16 26.78 19.41 28.51 77.57 13.27 22.61 15.60 31.04 25.97 29.79 75.10 18.31 24.57 20.44 23.37 23.07 28.88 80.32 16.63 23.94 22.37 23.05 22.74 29.60 77.79 18.36 24.86 16.35 30.64 40.10 27.74 84.46 16.89 24.02 23.97 24.91 19.35 27.91 84.06 13.50 21.78 17.45 28.64 22.73 28.20 78.93 13.08 21.82 17.24 28.40 38.56 26.18 75.25 17.98 24.44 15.22 28.16 16.35 31.27 81.71 12.49 21.45 15.55 30.14 26.21 28.01 83.37 19.44 25.74 15.05 27.89 16.76 29.58 84.71 17.96 25.91 19.10 27.12 28.98 26.03 75.57 16.08 130.45 22.95 23.66 24.90 25.53 79.50 15.01 23.08 19.63 27.65 26.78 27.79 80.82 16.37 22.92 20.65 24.25 21.38 27.42 81.87 28.20 30.50 22.16 24.86 24.42 30.75 82.19 14.58 23.55 10.26 34.30 31.54 29.39 81.50 9.18 19.10 17.48 25.90 9.80 29.24 82.27 22.17 27.74 19.09 26.42 13.53 24.68 78.74 17.28 23.58 20.22 27.96 25.41 25.77 80.82 12.58 21.88 13.96 30.30 19.20 28.46 76.16 24.79 28.64 14.88 28.89 21.28 27.20 75.58 17.06 24.14 20.45 25.88 14.32 30.97 84.80 16.10 24.82 17.64 26.82 17.75 31.08 77.85 12.09 23.00 19.71 26.42 20.66 230.87 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clc%-样本数据-A=18.1227.8681.9412.426.7877.5713.2731.0475.118.3123.3780.3216.6323.0577.7918.3630.6484.4616.8924.9184.0613.528.6478.9313.0828.475.2517.9828.1681.7112.4930.1483.3719.4427.8984.7117.9627.1275.5716.0823.6679.515.0127.6580.8216.3724.2581.8728.224