高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质1平行线等分线段定理学案新人教A版.docx

一平行线等分线段定理1掌握平行线等分线段定理及其两个推论(重点)2能运用平行线等分线段定理及其两个推论进行简单的证明或计算(难点)基础初探教材整理1平行线等分线段定理阅读教材P2P3定理以上部分，完成下列问题1文字语言如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等2图形语言如图111，l1l2l3，l分别交l1，l2，l3于A，B，C，l分别交l1，l2，l3于A1，B1，C1，若ABBC，则A1B1B1C1.图111教材整理2平行线等分线段定理的推论阅读教材P4P5“习题”以上部分，完成下列问题1推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边2推论2经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰在梯形ABCD中，M，N分别是腰AB与腰CD的中点，且AD2，BC4，则MN等于()【导学号：07370000】A2.5B3C3.5 D不确定【解析】由梯形中位线定理知选B.【答案】B质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型平行线等分线段定理推论1的应用如图112，在ABC中，AD，BF为中线，AD，BF交于G，CEFB交AD的延长线于E.求证：AG2DE.图112【精彩点拨】【自主解答】在AEC中，AFFC，GFEC，AGGE.CEFB，GBDECD，BGDE.又BDDC，BDGCDE.故DGDE，即GE2DE，因此AG2DE.1如果已知条件中出现中点，往往运用三角形的中位线定理来解决问题2本例在证明DGDE时也可以过D作EC的平行线DH.因为BGDHCE且BDCD得DGDE，使用平行线等分线段定理来证明再练一题1如图113，已知AD是三角形ABC的中线，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F.求证：AFAC.图113【证明】过D作DHBF，交AC于H.BDCD，DHBF，FHCH.同理AFFH.AFFHCH，AFAC.平行线等分线段定理推论2的应用如图114所示，梯形ABCD中，ADBC，DCBC，B60，BCAB，E为AB的中点求证：ECD为等边三角形图114【精彩点拨】过E作EFBC，先证明ECED，再连接AC，证明BCE30，从而ECD60.【自主解答】过E作EFBC交DC于F，连接AC，如图所示ADBC，E为AB中点，F是DC中点又DCBC，EFBC，EFDC.由知，EF是DC的垂直平分线，ECD为等腰三角形BCAB，B60，ABC是等边三角形又E是AB中点，CE是ACB的平分线，BCE30，ECD60.由知，ECD为等边三角形1解答本题的关键是通过证明ABC是等边三角形来证明BCE30.2有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理的推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算再练一题2如图115，在梯形ABCD中，ADBC，BC2AD，E，F分别是AB，CD的中点，EF交BD于G，交AC于H.求证：EGGHHF.【导学号：07370001】图115【证明】E，F分别是AB，CD的中点，ADBC.EFAD，EFBC.G，H分别是BD，AC的中点EG綊AD，FH綊AD，EGFH.BC2AD，EHBC，EHAD，又EGAD，GHEHEGADADAD，EGGH，即EGGHHF.探究共研型平行线等分线段定理探究1你还有其它证明定理的方法吗？【提示】证明：过B2作CDA1A3，分别交l1，l3于C，D，则可得到A1A2B2C和A2A3DB2.A1A2CB2，A2A3B2D.A1A2A2A3，CB2B2D.又12，34，B1B2CB3B2D，B1B2B2B3.探究2平行线等分线段定理的逆命题成立吗？【提示】平行线等分线段定理的逆命题是：如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行，这个命题是错误的(如图所示)如图116，已知ACAB，DBAB，O是CD的中点，求证：OAOB.图116【精彩点拨】由于线段OA和OB有共同端点，则转化为证明OAB是等腰三角形即可【自主解答】过O作AB的垂线，垂足为E，如图所示又ACAB，DBAB，OEACDB.又O为CD的中点，E为AB的中点，又OEAB，OAB是等腰三角形，OAOB.1本题中由ACAB，DBAB知ACDB，联想到作OEAB，再根据平行线等分线段定理证明点E是AB的中点2平行线等分线段定理应在有线段的中点时应用，在没有线段的中点时构造线段的中点来应用再练一题3如图117，已知ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点A，B，C，D，O分别作直线a的垂线，垂足分别为A，B，C，D，O.求证：ADBC.图117【证明】ABCD的对角线AC，BD交于点O，OAOC，OBOD.AAa，OOa，CCa，AAOOCC，OAOC，同理ODOB，ADBC.构建体系1如图118所示，DE是ABC的中位线，F是BC上任一点，AF交DE于G，则有()图118AAGGFBAGGFCAGFNBFMFNCFMFND不能确定【解析】ADBC，AEDC，四边形AECD是平行四边形. ADECBC，即BEECAD.ADFEBF，AFFE，AFMEFN，FMFN.【答案】C二、填空题6如图1118所示，在梯形ABCD中，ADBC，AD2，BC6，E，F分别为对角线BD，AC的中点，则EF_.图1118【解析】如图所示，过E作GEBC交BA于G.E是DB的中点，G是AB的中点，又F是AC的中点，GFBC，G，E，F三点共线，GEAD1，GFBC3，EFGFGE312.【答案】27如图1119，已知在ABC中，ADDC11，E为BD的中点，AE延长线交BC于F，则BF与FC的比值为_【导学号：07370004】图1119【解析】过D作DG平行于BC，交AF于点G，再根据平行线等分线段定理即可解决【答案】8如图1120，在ABC中，E是AB的中点，EFBD，EGAC，CDAD，若EG5 cm，则AC_；若BD20 cm，则EF_.图1120【解析】E为AB的中点，EFBD，F为AD的中点E为AB的中点，EGAC，G为BD的中点，若EG5 cm，则AD10 cm，又CDAD5 cm，AC15 cm.若BD20 cm ，则EFBD10 cm.【答案】15 cm10 cm三、解答题9(2016南京模拟)如图1121，在梯形ABCD中，CDBC，ADBC，E为腰CD的中点，且AD2 cm，BC8 cm，AB10 cm，求BE的长度图1121【解】过E点作直线EF平行于BC，交AB于F，作BGEF于G(如图)，因为E为腰CD的中点，所以F为AB的中点，所以BFAB5 cm，又EF5(cm)，GFBCFE8 cm5 cm3 cm，所以GB4 cm，ECGB4 cm，所以BE4(cm)10用一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？如图1122(1)，先把矩形纸ABCD对折，设折痕为MN；再把B点叠在折痕线上，得到RtABE，沿着EB线折叠，就能得到等边EAF，如图(2)想一想，为什么？图1122【解】利用平行线等分线段定理的推论2，N是梯形ADCE的腰CD的中点，NPAD，P为EA的中点在RtABE中，PAPB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，13.又PBAD，32，12.又1与和它重合的角相等，1230.在RtAEB中，AEB60，1260，AEF是等边三角形能力提升1如图1123，AD是ABC的高，E为AB的中点，EFBC于F，如果DCBD，那么FC是BF的()图1123A.倍B.倍C.倍D.倍【解析】EFBC，ADBC，EFAD.又E为AB的中点，由推论1知F为BD的中点，即BFFD.又DCBD，DCBF.FCFDDCBFDCBF.【答案】A2梯形的一腰长10 cm，该腰和底边所形成的角为30，中位线长为12 cm，则此梯形的面积为()A30 cm2 B40 cm2C50 cm2D60 cm2【解析】如图，过A作AEBC，在RtABE中，AEABsin 305 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm，ADBC21224(cm)梯形的面积S(ADBC)AE52460(cm2)【答案】D3如图1124，ABAC，ADBC于D，M是AD的中点，CM交AB于P，DNCP，若AB9 cm，则AP_；若PM1 cm，则PC_.【导学号：07370005】图1124【解析】由ABAC和ADBC，结合等腰三角形的性质，得D是BC的中点再由DNCP，可得N是BP的中点同理可得P是AN的中点，由此可得答案【答