大学物理课后题答案.doc

习 题 四4-1 质量为m=0.002kg的弹丸，其出口速率为300，设弹丸在枪筒中前进所受到的合力。开抢时，子弹在x=0处，试求枪筒的长度。解 设枪筒长度为L，由动能定理知 其中 而， 所以有： 化简可得： 即枪筒长度为0.45m。4-2 在光滑的水平桌面上平放有如图所示的固定的半圆形屏障。质量为m的滑块以初速度沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为，试证明：当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所作的功为证明 物体受力：屏障对它的压力N，方向指向圆心，摩擦力f方向与运动方向相反，大小为 (1)另外，在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力，二者互相平衡与运动无关。由牛顿运动定律 切向 (2) 法向 (3) 联立上述三式解得 又 所以 即 两边积分，且利用初始条件s=0时，得 即 由动能定理 ，当滑块从另一端滑出即时，摩擦力所做的功为 4-3 质量为m的质点开始处于静止状态，在外力F的作用下沿直线运动。已知，方向与直线平行。求：(1)在0到T的时间内，力F的冲量的大小；(2)在0到时间内，力F冲量的大小；(3)在0到时间内，力F所作的总功；(4)讨论质点的运动情况。解由冲量的定义，在直线情况下，求冲量的大小可用代数量的积分，即 (1) 从t0到 t=T，冲量的大小为： =0 (2) 从t=0到 t=T/2，冲量的大小为 (3) 初速度，由冲量定理 当 t=T/2时，质点的速度又由动能定理，力F所作的功 (4) 质点的加速度，在t=0到t=T/2时间内，a0，质点作初速度为零的加速运动，t=T/2时，a=0，速度达到最大；在t=T/2到t=T时间内，a0，故质点作减速运动，t=T时 a=0，速度达到最小，等于零；此后，质点又进行下一周期的相似运动。总之，质点作速度方向不变的变速直线运动。 4-4 如图所示，将质量为 m的球，以速率射入最初静止于光滑平面上的质量为M的弹簧枪内，使弹簧达到最大压缩点，这时球体和弹簧枪以相同的速度运动。假设在所有的接触中无能量损耗，试问球的初动能有多大部分贮存于弹簧中?解 设地球和弹簧枪的共同速度为，将球体和弹簧枪看作一个系统，因为水平方向所受合外力为零，所以该系统在水平方向上动量守恒，且碰撞前后速度方向相同，故有 (1)把球体、弹簧枪、地球看作一个系统，不考虑接触时的能量损失，则该系统的机械能守恒，所以贮存于弹簧中的能量 (2)联立以上两式得 4-5 角动量为L，质量为m的人造地球卫星，在半径为r的圆形轨道上运行，试求其动能、势能和总能量。解 将人造地球卫星看作质点，因为卫星作圆周运动，所以，由知， 所以卫星的动能 选无穷远处为势能零点，由牛顿运动定律得：所以 又 所以 所以 4-6 已知某人造卫星的近地点高度为，远地点高度为，地球的半径为。试求卫星在近地点和远地点处的速率。解 地球卫星在其轨道上运行，角动量守恒，即。在近地点和远地点速度方向与轨道半径方向垂直。故 (1)设在无穷远处为引力势能的零点，则在近地点和远地点系统势能分别为和，由机械能守恒定律得 (2)在地球表面附近有 (3)联立以上三式解得 4-7 一质量为与另一质量为的质点间有万有引力作用。试求使两质点间的距离由增加到时所需要作的功。解 万有引力 两质点间的距离由x增加到时，万有引力所作的功为故外力所作的功此题也可用功能原理求： 4-8 设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为，k为常数。若取无穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为r时的势能。解由势能的定义知r处的势能为: 4-9 如图所示，有一门质量为M(含炮弹)的火炮，在一斜面上无摩擦地由静止开始下滑。当滑到距顶端为l时从炮口沿水平方向射出一发质量为m的炮弹。欲使炮车发射炮弹后的瞬时停止滑行，炮弹的初速度v应是多大?解 大炮从静止滑动距离L的过程中，取大炮(含炮弹）和地球组成的系统为研究对象，系统机械能守恒。设末态大炮的速度为V，取末态重力势能为零，则由机械能守恒定律，得 (1) 大炮发射炮弹的过程中，取大炮和炮弹组成的系统为研究对象，由于重力的冲量可以忽略（与斜面的作用力冲量相比），而斜面的作用力垂直于斜面（斜面光滑），故斜面方向动量守恒，设炮弹初速为v， 沿斜面方向的分量为，又因炮车末态静止，则 (2) 由(1)、(2)两式得 4-10 设地球的质量为M，万有引力恒量为，一质量为m的宇宙飞船返回地球时，可认为它是在地球引力场中运动(此时飞船的发动机已关闭)。求它从距地心下降到处时所增加的动能。解 由动能定理，宇宙飞船动能的增量等于万有引力对飞船所作的功，而此功又等于这一过程中地球与飞船系统势能增量的负值，即： 4-11 双原子中两原子间相互作用的势能函数可近似写成，式中a、b为常数，x为原子间距，两原子的势能曲线如图所示。(1)x为何值时?x为何值时为极小值?(2)试确定两原子间的作用力；(3)假设两原子中有一个保持静止，另一个沿x轴运动，试述可能发生的运动情况。解 (1) 当=0时，有： 即 或 故 (x)为极小值时，有 即 所以 (2)设两原子之间作用力为，则 在一维情况下，有 (3)由原子的受力情况可以看出可能发生的运动情况为:当x0，它们互相排斥，另一原子将远离；当xx2 时f(x)0，它们又互相吸引，另一原子在远离过程中减速，直至速度为零，然后改变方向加速靠近静止原子，再当xx2 时，又受斥力，逐渐减速到零，原子又将远离。如此循环往复。若开始时两原子离得很远，则f(x)趋于零，两原子互不影响。4-12 一个质子在一个大原子核附近的势能曲线如图所示。若在处释放质子，问：(1)在离开大原子核很远的地方，质子的速率为多大? (2)如果在处释放质子呢?解 当时，将原子核和质子看作一个系统，可忽略重力作用，则在原子核的引力场中，系统的能量守恒，故，又，其中为质子的质量，得到 (1) 时，所以 (2) 时，所以 4-13 两核子之间的相互作用势能，在某种准确程度上可以用汤川势来表示，式中约为50MeV，约为。(1)试求两个柱子之间的相互作用力F与它们之间距离r之间的函数关系；(2)求时相互作用力的值； (3)求，时作用力的值，并通过比较解释什么是短程力。解 (1) 0为引力 (2) 当时， (3) 当时， 当时， 当时， 由以上的计算结果知，当r增大时，F值迅速减小，即F只在r比较小的范围内(数量级均为)有明显作用，这种力就叫做短程力。4-14 如图所示，在水平光滑平面上有一轻弹簧，一端固定，另一端系一质量为m的滑块。弹簧原长为，倔强系数为k。当t0时，弹簧长度为。滑块得一水平速度，方向与弹簧轴线垂直。t时刻弹簧长度为L。求t时刻滑块的速度v的大小和方向(用角表示)。解因为弹簧和小球在光滑水平面上运动，所以若把弹簧和小球作为一个系统，则系统的机械能守恒，即 (1)小球在水平面上所受弹簧拉力通过固定点，则小球对固定点角动量守恒，即 恒量故 (2)由(1)式得 代入(2)式得4-15 如图所示，一太空探测器沿着抛物线路径接近金星，当抵达点B时最靠近金星。此时点燃制动火箭减速，使它进入椭圆轨道，以便在点A作切向着陆。点B距金星中心16090km，金星半径为5990km，质量为地球的0.815倍。试求；(1)探测器达到点B的速率；(2)制动火箭点燃后，探测器的速率；(3)在A处着陆时探测器的速率。解 (1) 探测器以抛物路径到达B点，其条件是E=0(以金星中心为原点)，而 所以 (2) 当探测器以椭圆轨道在A点作切向着陆时，它所受的是金星对它的有心力，且是保守力，所以应满足角动量守恒和机械能守恒定律的条件。设在B点和A点的速率分别为和，则有 写成标量形式为 (1) (2)将上述两式联立，可得(3) 由(2)式知，4-16 如图所示，两飞船和在绕地球的两个圆形轨道上作逆时针方向飞行，两轨道同处一个平面内，半径分别为和。现从上沿其轨道的切向发射的补给火箭，使其速度能在抵达时与的轨道相切。补给火箭发射后，就在自由飞行的条件下完成其旅程。试求：(1)补给火箭相对于的发射速率；(2)补给火箭到达B处的速率；(3) 的轨道速率；(4)对比(2)和(3)的结果后，为了使和连接，还应当采取什么措施? 解 (1) 补给火箭的轨道是一个半椭圆，设其相对于地心的速率为，由于上题的(1)、(2)两式可得为求补给火箭相对于的速率，先要知道相对于地心的速率，由于作半径为的圆周运动，由牛顿运动定律和万有引力公式得所以 (2)设补给火箭到达B处的速率为，根据动量守恒有 (m为补给火箭的质量)所以 (3) 设的轨道速率为，根据牛顿运动定律和万有引力公式，有所以 (4) 对比(2)和(3)可知，。所以补给火箭抵达B后，必须开动引擎使其速率增至的轨道速率，否则不能连结。4-17 求证：两个小球在一维弹性撞过程中，最大弹性形变势能为式中、是小球的质量，、是碰撞前小球的速率。解 在弹性碰撞过程中，动量守恒，机械能守恒，当二者速度相等时，弹性势能最大，此时，由动量守恒定律，得 (1) 又由机械能守恒定律得， (2)由(1)式，解出v，代入(2)式中，得 4-18 在核反应堆中，石墨被用作快速中子的减速剂，裂变产生的快中子的质量为